2014中考数学综合题专题汇编-解析版

2014年1月期末试题分类汇编——代几综合（2014·石景山1月期末·26.）已知点和点在抛物线上.（1）求的值及点的坐标；（2）点在轴上，且满足△是以为直角边的直角三角形，求点的坐标;（3）平移抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为.点M（2,0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式.26．解：（1）……………………1分抛物线解析式为：……………………2分(2)记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，………………………3分①以A为直角顶点，则则又…………………4分②以为直角顶点，则………………………5分（3）记点A关于x轴的对称点为则BE:令y=0,得即BE与x轴的交点为……6分故抛物线向右平移个单位时最短此时，抛物线的解析式为…………………7分（2014·西城1月期末·25）已知：二次函数的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为；②求二次函数的解析式；（2）点D的坐标为（－2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且，求点P的横坐标；（3）点E在x轴的正半轴上，，点O与点关于EC所在直线对称．作⊥于点N，交EC于点M．若EM·EC＝32，求点E的坐标．25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线；1分②∵当x=0时，y=－4，∴点C的坐标为．∵＝12，∴AB=6．又∵点A，B关于直线对称，∴A点和B点的坐标分别为，．∴．解得．∴所求二次函数的解析式为．2分（2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：(ⅰ)当点P在直线AD的下方时，如图所示．由（1）得点A，点D，∴DF=1，AF=2．在Rt△ADF中，，得．延长DF与抛物线交于点P1，则P1点为所求．∴点P1的坐标为．3分(ⅱ)当点P在直线AD的上方时，延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．可证△GHA≌△．∴HA=AF，GH=P1F，GA=P1A．又∵，，∴点的坐标是．在△ADP1中，，DP1＝５，，∴．∴．∴DA⊥．∴．∴．∴．设DG与抛物线的交点为P2，则P2点为所求．作DK⊥GH于点K，作P2S∥GK交DK于点S．设P2点的坐标为，则，．由，，，得．整理，得．解得．∵P2点在第二象限，∴P2点的横坐标为（舍正）．综上，P点的横坐标为－2或．5分（3）如图，连接O，交CE于T．连接C．∵点O与点关于EC所在直线对称，∴O⊥CE，CE，∠CE．∴C⊥E．∵ON⊥E，∴C∥N．∴CE．∴．6分∴．∵在Rt△ETO中，，，在Rt△中，，，∴．∴．同理．∴．∵，∴．∵点E在x轴的正半轴上，∴E点的坐标为)．8分（2014·海淀1月期末·25）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧)，顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、．求证：平分；（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．备用图1备用图2图125.（本小题满分8分）解：（1）∵点D（1，m）在图象的对称轴上，∴．∴．∴二次函数的解析式为．………………………………………1分∴C（1，-4）．…………………………………………………………………2分图1（2）∵D（1，1），且DE垂直于y轴，∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．∴．令，则，解得．∵点E位于对称轴右侧，∴E．∴DE=．令，则，求得点A的坐标为（3,0），点B的坐标为（-1,0）．∴BD=．∴BD=DE．……………………………………………………………………3分∴．∴．∴平分．……………………………………………………………4分（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，且△GDE为直角三角形，∴△ACG为直角三角形．图2∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，∴．∵A（3,0）C（1，-4），,∴求得G点坐标为（1，1）．∴AG=，AC=．∴AC=2AG.∴GD=2DE或DE=2GD.图3设（t>1），.当点D在点G的上方时，则DE=t-1，GD=()=.i.如图2，当GD=2DE时，则有，=2(t-1).解得，.(舍负)………………………5分ii.如图3，当DE=2GD时，图4则有，t-1=2().解得，.(舍负)…………………6分.当点D在点G的下方时，则DE=t-1，GD=1-()=-.i.如图4，当GD=2DE时，则有，=2（t-1）.图5解得，.(舍负)………………………7分ii.如图5，当DE=2GD时，则有，t-1=2（）.解得，.(舍负)…………………8分综上，E点的横坐标为或或或.（2014·朝阳1月期末·24）在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.点D的坐标为，连接CA，CB，CD.（1）求证：；（2）是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E.①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标.24.解：（1）∵抛物线y=mx2+(m+2)x+2过点（2，4），∴．∴抛物线表达式为．………………………1分∴A(－1，0)，B(6，0)，C(0，2)．作BM⊥CD，交CD延长线于点M，在Rt△DOC中，∵OC=OD=2，∴∠CDO＝∠BDM＝45o，CD=．在Rt△BMD中，∵BD=4，∴DM=BM=．在Rt△CMB中，．在Rt△AOC中，．∴tan∠BCM＝tan∠ACO．∴∠BCD＝∠ACO．………………………………………………2分（2）①，．……………………………………4分②设，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交CD延长线于点Q，直线CD的解析式为y＝－x＋2．∴Q(x，－x＋2)．．∴（0＜x＜6）．………5分当x＝4时，最大，此时．……………6分直线PD的解析式为．直线CB的解析式为．PD与CB的交点为．………………………7分∴当△CDP的面积最大时，点E坐标为.（2014·东城1月期末·25）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．（1）求m的值及点A的坐标；（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．25．解：（1）由题意可知，．∴二次函数的解析式为．∴点A的坐标为（-2,0）．…………………………..2分（2）①∵点E（0,1），由题意可知，．解得．∴AA′=．……………………………..3分②如图，连接EE′．由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2-n．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2–n)2+42=n2-4n+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=n．又BE=OB-OE=3.∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2+9，∴A′B2+BE′2=2n2-4n+29=2(n–1)2+27．当n=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）．……………………………..5分③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴，∴AA′=，∴EE′=AA′=，∴点E′的坐标是（，1）．………………………………………….8分（2014·丰台1月期末·24）已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；备用图（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．24．解：（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0），∴0=4k-3，解得k=．[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴直线的解析式为y=x-3．……………………………………1分由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0，-3)．∴，解得m=．∴抛物线解析式为………………………2分（2）对于抛物线，令y=0，则，解得x1=1，x2=4．∴B(1，0).………………………………………………3分∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1），∴△AP1Q1∽△AOC.∴,∴．解得t=；………4分②若∠P2Q2A=90°,∵∠P2AQ2=∠OAC，∴△AP2Q2∽△AOC.∴,∴．解得t=；………………5分综上所述，当t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似．（3）答：存在．过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）.∴S△ADF=DF·AE，S△CDF=DF·OE．∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=DF×(AE+OE)=×4(DE+EF)=2×()=．…………6分∴S△ACD=（00∴CO=4,AO=8,BO=2∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4)..................................................................................................3分∵抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，∴c=4∴解得.............................4分设直线DC交x轴于点F，易得∆AOC∽∆ADC∴AD=AO=8,∵O'C‖AD∴∆FO’C∽∆FAD∴∴8(BF+5)=5(BF+10),∴BF=,F(,0)设直线DC的解析式为y=kx+m,则即∴..................................................................................5分由将E（-3，）代入直线DC的解析式中右边=∴抛物线顶点E在直线CD上..................................................................................6分存在,.................................................................................8分（2014·顺义1月期末·25）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A（6，0）和点B（3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿x轴翻折得抛物线，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使与相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．25．解：（1）依题意，得　　解得∴抛物线的解析式为．………………………　2分（2）将抛物线沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点．设抛物线的解析式为，∴解得∴抛物线的解析式为．………………………5分（3）过点B作BC⊥x轴于点C，则有．∴，．∵OC=3，OA=6，∴AC=3.∴，．[来源:Z*xx*k.Com]∴OB=AB．即是顶角为120º的等腰三角形．分两种情况：①当点M在x轴下方时，就是，此时点M的坐标为．②当点M在x轴上方时，假设，则有AM=OA=6，．过点M作MD⊥x轴于点D，则．∴，．∴OD=9.而（9，）满足关系式，即点M在抛物线上．根据对称性可知，点也满足条件．综上所述，点M的坐标为，，．………………………………　8分（2014·燕山1月期末·25.）定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0,8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式，自变量的取值范围是；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为，…………………2分自变量的取值范围是；…………………3分（2）如图，连接，设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为．∴．…………………4分∵，在中，∵，，∴，…………………5分∵∽，∴，∴．∴点的坐标为（-8.，0）．……………6分（3）设过点，“蛋圆”切线的解析式为．由题意得，方程组只有一组解，……………7分即有两个相等实根，∴∴过点“蛋圆”切线的解析式为．………8分（2014·平谷1月期末·25）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、D、B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线：的顶点．（1）求A、B两点的坐标．（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当为直角三角形时，直接写出m的值．______25.解：（1）在中，令y=0，则，解得x=3或x=-1．∴A、B两点的坐标为：A（-1，0）、B（3，0）．-------------------------------2分（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为，把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入中，得解得∴．-------------------3分[来源:学_科_网]设过B（3，0）、C（0，）两点的解析式为，代入，得．-----------------------------------------------------------------------4分设“蛋线”在第四象限上存在一点P，过P点作PH⊥AB，垂足为H，交BC于点G.[来源:学*科*网]设H点坐标为（x，0），则G（x，），P（x，）．则PG=-()=.----------------------------------------5分∵∴“蛋线”在第四象限上存在使得面积最大的点P，最大面积是．---------------------------------------------------------6分（3）或-----------------------------------------------------8分