高中数学动点轨迹问题专题讲解

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流【精品文档】第PAGE14页高中数学动点轨迹问题专题讲解动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点的轨迹方程实质上是建立动点的坐标之间的关系式，首先要 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点是随另一个在已知曲线：上的动点的变化而变化，且能用表示，即，，则将代入已知曲线，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率等），分别求出动点坐标与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（）已知、是定点，，动点满足，则动点的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2．（）设，，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是（A）（）（B）（）（C）（）（D）（）3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4．P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是；5．已知圆C：内一点，圆C上一动点Q，AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为．6．△ABC的顶点为、，△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是；（）变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是；7．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是8．抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是．9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为．解法分析：解法1当直线的斜率存在时，设PQ所在直线方程为　与抛物线方程联立，　消去得　．设，，中点为，则有　消得．当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程．故所求轨迹方程为．解法2　设，，由　得，设中点为，当时，有，又，所以，，即．当时，易得弦的中点为，也满足所求方程．故所求轨迹方程为．10．过定点作直线交抛物线于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________．（二）解答题1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．（定义法）2．过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，求动点的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹．（交轨法）4．已知点G是△ABC的重心，，在轴上有一点M，满足（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围．解：（1）设，则由重心坐标公式可得．∵，点在轴上，∴　．∵，，∴　，即．故点的轨迹方程为（）．（直接法）（2）设直线的方程为（），、，的中点为．由消，得．∴，即．①又，∴，∵，∴，∴，即，∴，又由①式可得，∴且．∴且，解得且．故的取值范围是且．5．已知平面上两定点、，为一动点，满足．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（直接法）（Ⅱ）若A、B是轨迹上的两动点，且．过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 为定值．解：(Ⅰ)设．由已知，，,，……………………………………………3分整理，得．即动点的轨迹为抛物线，其方程为．6．已知O为坐标原点，点、，动点、、满足（），，，．求点M的轨迹W的方程．解：∵，，∴MN垂直平分AF．又，∴点M在AE上，∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，∴点M的轨迹W的方程为（）．7．设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（1）求点的轨迹的方程；（定义法）（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）；（2）因为过轴上的点．若直线是轴，则两点是椭圆的顶点．，所以与重合，与四边形是矩形矛盾．故直线的斜率存在，设方程为，．由消得此时＞恒成立，且，，，所以四边形是平行四边形．若存在直线，使得四边形是矩形，则，即．即．．，得．故存在直线：，使得四边形是矩形．8．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：=2，且于G，点Q是直线上一动点，点M满足：，点P满足：，．（=1\*ROMANI）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；（=2\*ROMANII）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，当时，求直线的斜率的取值范围．解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则，，．即所求点的轨迹方程为．（2）设点设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为由…………6分…………7分…………8分…………10分由于…………11分解得…………13分∴直线斜率k的取值范围是9．如图所示，已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，．（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与动点的轨迹交于、两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．解：（1）设，由得，又，∴，即动点的轨迹方程为．（2）10．已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足，．（1）求点轨迹的方程；（2）将（1）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线，分别交轴与、两点，求的取值范围．解：（1）设、、，则、、由题意得∴∴，故动点的轨迹方程为．（2）11．如图和两点分别在射线、上移动，且，为坐标原点，动点满足．（1）求的值；（2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程．解：（1）由已知得，（2）设P点坐标为（），由得∴消去，可得，又因，∴P点的轨迹方程为．它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支．（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得即，易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又，设，则∵l与C的两个交点在轴的右侧∴，即，又由同理可得，由得，∴由得，由得，消去得考虑几何求法！！解之得：，满足．故所求直线l存在，其方程为：或．12．设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．（=1\*ROMANI）求轨迹C的方程；（=2\*ROMANII）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．解：（=1\*ROMANI）设，因为A、B分别为直线和上的点，故可设　　　又，　　　∴．　　　∴．　　即曲线C的方程为．（=2\*ROMANII）设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）=(s，t-16)．故，．∵M、N在曲线C上，∴消去s得．由题意知，且，解得．又，∴．解得（）．故实数的取值范围是（）．13．设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）（2）若A、B分别为、上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（）提示：，又，，则，．又，代入距离公式即可．（3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点，直线，设动点P到直线的距离为，已知，且．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，求向量与的夹角；（3）如图所示，若点G满足，点M满足，且线段MG的垂直平分线经过点P，求△PGF的面积．15．如图，直线与椭圆（）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．（1）若，且四边形OAPB为矩形，求的值；（）（2）若，当变化时（），求点P的轨迹方程．（（））16．双曲线C：（，）的离心率为2，其中，，且．（1）求双曲线C的方程；（2）若双曲线C上存在关于直线：对称的点，求实数的取值范围．解：（I）依题意有：解得：　　所求双曲线的方程为………………………………………6分（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称．由l⊥MN，直线MN的方程为．则M、N两点的坐标满足方程组由消去y得．…………………………………9分显然，即．①设线段MN中点D（）则∵D（）在直线l上，∴．即②把②带入①中得，解得或．∴或．即或，且k≠0．∴k的取值范围是．…………………14分17．已知向量=(2，0)，==(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足·=K(·-d2)，其中O为坐标原点，K为参数.（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数K的取值范围.18．过抛物线的焦点作两条弦、，若，，．（1）求证：直线过定点；（2）记（1）中的定点为，求证为钝角；（3）分别以、为直径作圆，两圆公共弦的中点为，求的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，是抛物线上上的一点，动弦、分别交轴于、两点，且．（1）若为定点，证明：直线的斜率为定值；（2）若为动点，且，求△的重心的轨迹．思路分析：（1）由直线（或）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用点的坐标将、点的坐标表示出来，进而表示出点坐标，消去即得到的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设，直线的斜率为（），则直线的斜率为，方程为．∴由，消得，解得，∴，∴(定值)．所以直线的斜率为定值．法二：设定点，、，由得，即；同理．∵，∴，即，∴．所以，（定值）．第一问的变式：过点作倾斜角互补的直线ME、MF，则直线EF的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）直线ME的方程为由得同理可得设重心G（x,y），则有消去参数得．20．如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为，折痕与交于点，点满足关系式．（1）建立适当的直角坐标系，求点的轨迹方程；（2）若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，是边上的一点，，过点的直线交曲线于、两点，且，求实数的取值范围．