概率论的基本概念new

会计学1概率论的基本概念new概率论的起源赌博德.梅勒是一位军人、语言学家、古典学者、赌徒、数学家。“点问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ”A和B每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注。A选择的点数“正”出现了2次，而B选择的点数“反”只出现了一次。这时候，A由于国王召见必须离开，游戏停止。他们该如何分配60个金币的赌注呢？故事背景：第1页/共76页看法1：既然B选择的点数的机会是A的一半，那么B该拿到A所得的一半，即B得20个,A拿40个.看法2：再掷一次骰子，有两种可能:游戏是平局，每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是“正”，A就赢了，可拿走60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。第2页/共76页他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，但也难住了帕斯卡。他们两人多再赌两局即可分出胜负，这两局有4种可能的结果：正,正、正,反、反,正、反,反。前3种情况都是甲最后获胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币，乙得15个。帕斯卡又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信。总共用了三年的时间，解决了这一问题，在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志。第3页/共76页三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书，这就是最早的概率论著作。概率论诞生了！第4页/共76页　　公元1814年，法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794－1827)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了一下有趣的统计．他根据伦敦，彼得堡，柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22：21．可奇怪的是，当他统计1745－1784整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一个比是25：24，与前者相差0.14%．拉普拉斯感到困惑不解，他深信自然规律，他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因素．于是，他深入进行调查研究，终于发现：当时巴黎人“重女轻男”，有抛弃男婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22：21．数理统计：男女出生比例第5页/共76页目前世界男女比例2120而中国目前男女出生比例120:100预计到2020年将会出现3000万“光棍”第6页/共76页1-5章为概率论6-8章为数理统计部分本学期的教学内容第7页/共76页起源于为碰运气而取胜的游戏的研究所产生的一门科学(概率论),竟成为人类知识的最重要的内容,这实在是值得注意的。——(法国数学家）拉普拉斯什么是概率论第8页/共76页自然现象：确定性、随机确定性现象垂直上抛一重物，该重物会垂直下落太阳从东方升起，西方落下什么是概率论第9页/共76页随机现象掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科什么是概率论大量重复试验中呈现统计规律性第10页/共76页第1章随机事件及其概率第11页/共76页研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验（即进行随机试验）一、随机试验与样本空间1.1随机事件第12页/共76页掷骰子试验“掷出1点”“掷出2点”第13页/共76页相同条件下可重复全部可能结果不止一个,但事先可预知每一次试验都会出现某一个可能结果，但无法预知是具体哪一个随机试验的特点第14页/共76页样本空间、样本点随机试验的每个可能结果称为样本点，记作ω，全体样本点的集合称为样本空间，用Ω 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示样本点ω.Ω第15页/共76页E1:将一枚硬币抛掷两次，观察正面（H）和反面（T）出现的情况;E2:将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，观察可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;求随机试验的样本空间、样本点第16页/共76页E1抛掷一硬币两次的正反面情况　　样本空间Ω1={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现第17页/共76页E2连抛三次的正反面情况Ω2={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(T,T,H),(T,H,T),(H,T,T),(T,T,T)}E3连抛三次的正面次数Ω3={0,1,2,3}样本点与样本空间是根据试验的内容(目的)确定的！第18页/共76页E6测试某灯泡的寿命样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果：Ω6={t：t≥0｝第19页/共76页二、随机事件试验的结果，即在试验中可能出现或可能不出现的情况称为“随机事件”,简称“事件”，用大写字母A、B、C等表示称事件A发生当且仅当这一子集中的一个样本点出现（发生）由一个样本点组成的事件称基本事件任何事件均可表示为样本空间的某个子集第20页/共76页必然事件、不可能事件　每次试验的结果中，一定发生的事件，称必然事件一定不发生的事件，称不可能事件　必然事件用Ω表示，不可能事件用表示，它们是特殊的随机事件　任何事件发生时，不可能事件均不发生，所以不可能事件不包含任何样本点，而必然事件包含所有样本点第21页/共76页Ω={1,2,3,4,5,6｝掷一颗骰子一次，观察点数事件B:出现奇数点B发生当且仅当样本点1,3,5中的某一个出现B={1,3,5｝“掷出点数小于7”是必然事件而“掷出点数8”则是不可能事件第22页/共76页三、随机事件的关系及运算包含关系“A发生必导致B发生”，记为AB。（即：A的样本点都是B的样本点）A＝BAB且BA.相等第23页/共76页和事件“事件A与B至少有一个发生，记作随机事件的关系及运算第24页/共76页例8.Page4.第25页/共76页积事件：“事件A与B同时发生”,记作或随机事件的关系及运算第26页/共76页互不相容事件（互斥的事件）如果事件A与B不可能同时发生，即，则称事件A与B互不相容(互斥).基本事件是两两互不相容的.A与B没有公共的样本点随机事件的关系及运算第27页/共76页差事件A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生。思考：何时A-B=?何时A-B=A？随机事件的关系及运算第28页/共76页对立事件(互逆事件)对事件A,B，若满足，则称事件A与B互为逆事件或对立事件.注意:对立事件必互斥；但互斥的事件未必为对立事件。随机事件的关系及运算第29页/共76页例9.Page5.第30页/共76页完备事件组第31页/共76页事件的运算规律特别记：摩根律事件间的关系与运算与集合的关系与运算是完全相似的，运算规律也是完全相似的但要注意，应该用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且会用这些运算关系来表示一些复杂的事件第32页/共76页设A,B,C是三个事件，则1）三个事件至少发生一个:2）三个事件都不发生:3）A发生而B与C不发生:4）三个事件至少有一个不发生:（等价：三个事件不都发生）事件的运算规律第33页/共76页例10.Page6.例11.Page6.第34页/共76页主要概念概率论、随机试验样本空间、样本点事件：随机、不可能、必然包含、和、差、积互斥事件、互逆事件完备事件组、摩根律第35页/共76页1.2概率研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！第36页/共76页对一个随机事件A，我们用一个数P(A)来表示A发生的可能性大小，称之为随机事件A的概率那么，怎么来规定P(A)的大小呢？什么是概率第37页/共76页频率定义随机事件A在n次试验中发生m次,称比值m/n称为随机事件A的频率,记为W(A).频率和概率的统计定义任何随机事件A的频率是介于0和1之间的一个数第38页/共76页当试验重复多次时，事件A发生的频率具有一定的稳定性，次数充分大时频率在一个数附近摆动。频率和概率的统计定义第39页/共76页抛掷匀质硬币出现正反面的机会在0.5左右实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005频率和概率的统计定义第40页/共76页根据上述频率稳定性的讨论，似乎可以提出这样的猜想，即当n足够大时，W(A)与P(A)应充分接近，这就是所谓的概率的统计定义。概率的统计定义：随机事件A在试验中发生的可能性大小的介于0与1之间的数叫做随机事件A的概率，记作P(A)。频率和概率的统计定义第41页/共76页概率的（公理化）定义随机试验的样本空间为Ω，对随机事件A赋予一个实数P(A)，满足下列三个公理：(1)非负性(2) 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性(3)可加性则称P(A)为事件A的概率第42页/共76页概率的性质性质1性质2(有限可加性)第43页/共76页性质3证明由可加性知,移项即得结论.概率的性质第44页/共76页2.对任意事件A,有若没有条件则有“减法”公式概率的性质第45页/共76页性质3*(逆事件的概率)证明对任何事件A,有Ａ由规范性及可加性，概率的性质第46页/共76页性质4(加法公式)证明对任意两事件A,B,有由性质3得Ω第47页/共76页推广:三个事件的加法公式证明留作思考.一般地,第48页/共76页ΩBABA知识点：加法公式、减法公式、摩根律第49页/共76页ΩBABA知识点：加法公式、减法公式、摩根律第50页/共76页频率、概率三个公理四条性质第51页/共76页没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西。第52页/共76页§3古典概型与几何概型*假定某个试验有有限个可能的结果，记：假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej，更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会e1,e2,…，eN,一、古典概型（等可能概型）第53页/共76页常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN试验结果（有限个）你认为哪个结果出现的可能性大？第54页/共76页23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，闭上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.第55页/共76页例1.Page10.例2.Page10.第56页/共76页称这种试验为古典概型(或等可能概型).若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.第57页/共76页求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理1.加法原理设完成一件事有m类方式，第一类方式有n1种方法，第二类方式有n2种方法,…；第m类方式有nm种方法,则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.一步完成第58页/共76页例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2种方法回答是第59页/共76页基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,多步完成例如,A地到B地有两种走法,B地到C地有三种走法,C地到D地有四种走法,则A地到D地共有种走法.第60页/共76页例3---9.Page11-13第61页/共76页特别,k=n时称全排列排列、组合的定义及计算公式1、排列:从n个元素中取k个不同元素的排列数为：阶乘若允许重复,则从n个元素中取k个元素的排列数为：注意第62页/共76页2、组合:从n个元素中取k个元素的组合数为：推广:n个元素分为s组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rs的分法总数为第63页/共76页例1口袋中有个标有数字：1，1，2，2，2，3，3，3的乒乓球,从中随机地取3个,求这3个球上的数字之和为6的概率。古典概率计算举例事件包含基本事件数:分析：（用列举法）可能取法1，2，3或2,2,2第64页/共76页例2设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样,称超几何分布.次品正品M件次品N-M件正品解思考:若是有放回抽样呢?第65页/共76页例3全班有50个学生，问至少有2人生日相同的概率为多少？（设一年有365天）解事件总数:有利场合数:概率之大有点出乎意料.从下表中看出,当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.第66页/共76页人数至少有两人同生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994第67页/共76页例4一个家庭中，若有两个孩子，问恰都是男孩的概率多大？假定男女出生率相同。解以下解法是错误的:样本空间取为{两男,两女,一男一女},所以p=1/3.注意：在古典概型中，样本空间中的基本事件必须是等可能的。错误在于样本点不是等可能的.正确的解法是:样本空间取为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.所以p=1/4.第68页/共76页理由：用减法公式和互不相容的条件第69页/共76页09年2+21.袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不小于7的概率为.第70页/共76页分析：得分大于等于7的取法：取一只黑球+3只红球或4只红球解：概率为第71页/共76页08年2+21.将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去,杯子中乒乓球的最大数为2的概率值为.第72页/共76页分析：乒乓球的最大数为2放法：3球中2球放1杯子（4个中的1个），1球放另1杯子（余下3个中的1个）的放法解：概率为第73页/共76页1）互不相容事件（互斥事件）2）摩根律3）概率的主要性质（如加法公式（事件的和）、减法公式（事件的差）等）4）古典概率的计算主要知识点第74页/共76页P7:3/(1,3,5,8)P10:1,2P14:3,6,8作业第75页/共76页