实验一线性方程组迭代法实验

实验一线性方程组迭代法实验实验目的1．掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤；2．能熟练地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们各自的特点及误差估计；3.理解迭代法的基本原理及特点，并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点；4.掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序实现方法,及了解松弛因子对SOR迭代的影响；5.用SOR迭代法求解线性方程组时，超松弛因子的取值大小会对方程组的解造成影响，目的就是能够探索超松弛因子怎样对解造成影响，通过这个实验我们可以了解的大致取值范围。实验题目1、迭代法的收敛速度用迭代法分别对n=20，n=200解方程组Ax=b,其中（1）选取不同的初值x0和不同的右端向量b，给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 计算结果给出结论；（2）取定初值x0和右端向量b，给定迭代误差，将A的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。2、SOR迭代法松弛因子的选取（1）给定迭代误差，选取不同的超松弛因子，从1.00到2.00，观察不同的松弛因子对解得影响。然后利用雅可比迭代求的的解与它们比较；（2）给定迭代误差，选取不同的低松弛因子，从1.00到2.00，观察不同的松弛因子对解得影响。然后利用雅可比迭代求的的解与它们比较。实验原理1、迭代法的收敛速度运用了Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代1）Jacobi迭代算法：取初始点x(0),精度要求ε，最大迭代次数N，置k：=0；由，计算出x（k+1）；若,则停算，输出x(k+1)作为方程组的近似解；若k=N，则停算，输出迭代失败信息；否则置k：=k+1，转步2。2）Gauss-Seidel迭代算法：1.输入矩阵A，右端向量b，初始点x(0),精度要求ε，最大迭代次数N，置k:=0；2.计算3.若，则停算，输出x作为方程组的近似解；4.若k=N，则停算，输出迭代失败信息；否则置x（0）:=x，k:=k+1，转步骤2。2、SOR迭代法松弛因子的选取（1）逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel迭代法的加速。Gauss-Seidel迭代格式为：X^(k+1)=D^-1*L*x^(k+1)+D^-1*U*x^(k)+D^-1*b（2）SOR迭代格式为X^(k+1)=（I-wD^-1*L）^-1*[(1-w)I+wD^-1*U]*x^(k)+w(I-wD^-1*L)^-1*D^-1*b其中，w叫做松弛因子，当w>1时叫超松弛，当1>w>0时叫低松弛。W=1是Gauss-Seidel迭代法；（3）SOR迭代法的算法：输入矩阵A，向量b，初始点x^(0),精确度，最大迭代次数N，松弛因子的选取；进行迭代；判断迭代的情况。实验内容1、迭代法的收敛速度1.1实验步骤：（1）打开matlab软件，新建一个M文件，编写程序（如下），运行程序，记录结果；（2）把程序中x0=ones(n,1)改为x0=eye(n,1)，运行程序，记录结果；（3）把程序中A(i,i)=m改为A(i,i)=2*m，注释掉x1=majacobi(A,b);x1'后面的部分，运行程序，记录结果；（4）仿照（3）再把主对角元成倍放大，运行程序，记录结果。1.2实验程序：clcn=20;A=zeros(n);m=4;fori=1:nA(i,i)=m;endfori=1:n-1A(i,i+1)=-1/3;A(i+1,i)=-1/3;endfori=1:n-2A(i,i+2)=-1/5;A(i+2,i)=-1/5;endx0=ones(n,1);b=A*x0;x1=majacobi(A,b);x1'x2=maseidel(A,b);x2'norm(x1-x2)1.3实验设备：matlab软件。2、SOR迭代法松弛因子的选取2.1．实验步骤：（1）数据准备：A=12*eye(200,200);fori=1:199A(i,i+1)=-2;A(i+1,i)=-2;endforj=1:198A(j,j+2)=1;A(j+2,j)=1;endb=5*ones(200,1);（2）给定迭代误差1e-6，取=1.00,1.10,1.20,1.30,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,1.91,1.92,1.95,1.97,1.98,1.99,2.00，代入x=masor(A,b，)，x20=majacobi(A,b)并利用norm(x-x20)分别分析与雅可比迭代求的解的误差；(3)给定迭代误差1e-6，取=0.02,0.03,0.040.10,0.20,0.30,0.40,0.50,0.60,0.70,0.80,0.90,0.97.0.98,0.99，代入x=masor(A,b，)，x20=majacobi(A,b)并利用norm(x-x20)分别分析与雅可比迭代求的解的误差。实验结果1、迭代法的收敛速度（1）对于n=20时：n=20Columns1through124.0000-0.3333-0.2000000000000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.200000000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333000000000-0.2000-0.33334.00000000000000-0.2000-0.333300000000000-0.2000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Columns13through2000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000-0.20000000000-0.3333-0.20000000004.0000-0.3333-0.200000000-0.33334.0000-0.3333-0.20000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.20000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.20000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.20000000-0.2000-0.33334.0000-0.3333-0.20000000-0.2000-0.33334.0000-0.333300000-0.2000-0.33334.0000k=11x1=1.0000……1.0000//有20个1.0000k=8x2=1.0000……1.0000//有20个1.0000ans=3.3039e-007当n=200时：A由于阶数太大省略；k=11x1=1.0000……1.0000//有200个1.0000k=8x2=1.0000……1.0000//有200个1.0000ans=1.1368e-006（2）k=4x1=1.0000……1.0000（20阶）k=4x2=1.0000……1.0000（20阶）ans=4.8999e-0082、SOR迭代法松弛因子的选取 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 1-1>1的情况kNorm(x-x20)1.0089.7346e-0071.10109.6821e-0071.20121.0307e-0061.30161.0200e-0061.40201.1434e-0061.50261.2691e-0061.60361.2272e-0061.70511.4364e-0061.80831.4657e-0061.901771.7205e-0061.911981.7542e-0061.922242.2548e-0061.953211.5060e-0061.974711.8146e-0061.98>5001.99>500表1-2<1的情况kNorm(x-x20)0.000.02>5000.033863.8618e-0040.042972.8217e-0040.101261.0286e-0040.20644.0889e-0050.30422.1010e-0050,40301.4555e-0050.50238.1655e-0060.60185.0040e-0060.70143.7920e-0060.80112.3675e-0060.9091.0772e-0060.9789.7786e-0070.9889.7481e-0070.9989.7361e-007实验结果分析1、迭代法的收敛速度的实验结果分析：比较实验结果可知，选取不同的初值x0和不同的右端向量b，所求得的结果也会不同，Jacobi迭代和Seidel迭代的误差也会随之改变，说明初值对实验结果有影响，由迭代误差可知Seidel迭代优于Jacobi迭代。再比较实验结果，由k=6与k=5可知，主对角元越大，Jacobi迭代收敛越快。2、SOR迭代法松弛因子的选取的实验结果分析：（1）由表1-1可以看出，在其它条件不变的情况下，改变的值，会改变解得值，且越接近于1，误差越小，越接近于2，误差越大，而且当的值越大，它的迭代次数越大，就本例而言，当为1.98时，就因迭代次数过大，跳出程序；（2）由表1-2可以看出，在其它条件不变的情况下，改变的值，会改变解得值，且越接近于1，误差越小，越接近于0，误差越大，且迭代次数也越大，就本例而言，当为0.02时，就因迭代次数过大，跳出程序，且不能取值为0；（3）综上（1）（2）所述，的取值范围为0<<2,且越接近1，误差值越小，迭代次数也越小。