2021届湖南省岳阳市高三下学期数学高考一模试卷及答案

高三下学期数学高考一模试卷一、单项选择题1.集合，，且，那么实数m应满足〔  〕A.                                   B.                                   C.                                   D. 2.〔其中i为虚数单位〕，那么复数〔  〕A.                                           B.                                           C. 1                                          D. 23.函数的图象大致为〔  〕A.                       B. C.                       D. 4.“中国剩余定理〞又称“孙子定理〞，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列所有项中，中间项的值为〔  〕A. 992                                    B. 1022                                    C. 1007                                    D. 10375.“华东五市游〞作为中国一条精品旅游路线一直受到广阔旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市〞中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，那么恰有一个地方未被选中的概率为〔  〕A.                                       B.                                       C.                                       D. 6.等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，那么的面积是〔  〕A.                                      B.                                      C.                                      D. 7.抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，那么的最大值是〔  〕A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 8.对于函数，假设存在，使，那么点与点均称为函数的“先享点〞函数且函数存在5个“先享点〞，那么实数a的取值范围为〔  〕A.                               B.                               C.                               D. 二、多项选择题9.2021年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰--复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如下列图，那么以下说法错误的选项是〔  〕A. C. 不到80名职工倾向于继续申请休假D. 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名10.假设函数，那么以下结论正确的选项是〔  〕A. 的一个周期为                                        B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为                            D. 在区间上单调递减11.以下说法，正确的选项是〔  〕A. ，使B. ，函数都不是偶函数C. ，是的充要条件D. 中，“〞是“〞的充要条件12.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，点P为线段AD上的一动点，以下结论正确的选项是〔  〕A. 异面直线AC与BD所成的角为60°                        B. 是等边三角形C. 面积的最小值为                          D. 四面体ABCD的外接球的外 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 积为8π三、填空题13.在的展开式中，的系数是________．14.点在线段上运动，那么的最大值是________．15.设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，假设的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为________.16.函数对均有，假设恒成立，那么实数m的取值范围是________.四、解答题17.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．〔1〕求B的大小；〔2〕假设，且AC边上的中线长为，求的面积．18.数列满足，且点在函数的图象上．〔1〕求证：是等比数列，并求的通项公式：〔2〕假设，数列的前n项和为，求证：．19.如下列图的几何体中，．〔1〕求证：平面ABCD；〔2〕假设，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．20.某商城玩具柜台元旦期间促销，购置甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．〔1〕记事件：一次性购置个甲系列盲盒后集齐，，玩偶；事件：一次性购置个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；〔2〕礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购置时机，且购置时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购置盲盒的消费者购置甲系列的概率为，购置乙系列的概率为；而前一次购置甲系列的消费者下一次购置甲系列的概率为，购置乙系列的概率为；前一次购置乙系列的消费者下一次购置甲系列的概率为，购置乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购置甲系列的概率为．①；②假设每天购置盲盒的人数约为100，且这100人都已购置过很屡次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．21.双曲线的离心率为，点在上．〔1〕求双曲线的方程；〔2〕设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？假设存在，求出Q点坐标及此常数的值，假设不存在，说明理由．22.函数．〔1〕假设为单调函数，求a的取值范围；〔2〕假设函数仅一个零点，求a的取值范围．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】解：∵集合，，∴，故答案为：A．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】利用交集的性质求解。2.【解析】【解答】因为，所以，故．故答案为：C．【分析】先利用等式求出z的表达式，然后利用模的运算性质求解即可．3.【解析】【解答】由题意知，函数，满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B选项错误；又因为，所以C选项错误；又因为，所以D选项错误，故答案为：A.【分析】先判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值符号的对应性进行排除即可．4.【解析】【解答】解：由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即，所以，当时，，当时，，故，数列共有135项，因此数列中间项为第68项，且．故中间项的值为1007．故答案为：C．【分析】由题意得到an-2是15的倍数，从而得到an=15n-13，然后确定a135＜2021，a136＞2021，由此得到数列{an}共有135项，求解中间项a68即可．5.【解析】【解答】解：现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市〞中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，根本领件总数，恰有一个地方未被选中包含的根本领件个数，那么恰有一个地方未被选中的概率为．故答案为：B．【分析】根本领件总数，恰有一个地方未被选中包含的根本领件个数，由此能求出恰有一个地方未被选中的概率．6.【解析】【解答】解：根据题意，设AB的中点为D，是等边三角形，那么，AB的中点为D，那么，又由，那么，那么O是AD的中点，又由的边长为4，那么，，那么，那么，故答案为：D．【分析】根据题意，设AB的中点为D，由向量加法的性质可得，进而分析可得O是AD的中点，结合三角形的边长以及面积公式计算可得答案．7.【解析】【解答】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，所以那么，当最小时，那么值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，，整理可得，，可得，将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，所以，，所以的最大值为：，故答案为：B．【分析】由抛物线的性质可得|PF|等于P到准线的距离|PP'|，进而可得的最大值是直线PA的倾斜角最大时，即直线PA与抛物线相切，设过点A的相切方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线的参数的值，代入整理的方程求出P的坐标，进而求出的最大值．8.【解析】【解答】依题意，存在5个“先享点〞，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个正根，，令，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，并且当和时，，所以实数a的取值范围为，故答案为：A.【分析】直接根据定义求出a，根据题中的条件，判断出“积分点〞的特征，之后根据f〔x〕存在5个“积分点〞，等价于函数y=6x-x3〔x≤0〕关于原点对称的图象恰好与函数y=16-ax〔x＞0〕有两个交点，构造函数利用导数求得结果．二、多项选择题9.【解析】【解答】对于A：，所以A错误，符合题意，对于B：由扇形图可知该职工倾向于在家办公的职工占17.8%，所以从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178，所以B正确，不符合题意，对于C：由扇形图可知倾向于继续申请休假的职工占5.1%，而〔人〕，所以C错误，符合题意，对于D：由扇形图可知倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工占，而〔人〕，所以D正确，不符合题意，故答案为：AC.【分析】根据扇形图中各个扇形所占百分比之和为1，即可求出x的值，再由各局部所占比例结合总人数，即可判断出A，B，C选项的正误．10.【解析】【解答】由题意，函数，可得的最小正周期为，所以A符合题意；当时，可得，所以是函数的其中一条对称轴，所以B符合题意；由，可得，令，即，解得，当时，可得，即是函数的一个零点，所以C符合题意；由，可得，当时，即时，函数单调递减；当时，即时，函数单调递增，所以D不正确.故答案为：ABC.【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，得出结论．11.【解析】【解答】解：对于A：设，所以，当时，函数，当时，，当时，，故在时函数取得最小值，，所以，即，，A不符合题意；对于B：当时，故函数为偶函数，B不符合题意；对于C：当时，等价于，当时，等价于，当时，等价于，反之同样成立，C符合题意；对于D：中，当时，，所以，由于，故，两边平方得：，故，即，所以或，当时，即，由于，所以，即，，所以，故，．当时，，故．D符合题意．故答案为：CD．【分析】直接利用函数的导数和单调性的关系，三角函数的关系式的变换，充分条件和必要条件，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．12.【解析】【解答】解：对于A，因为，，所以平面，平面，所以，异面直线AC与BD所成的角为90°，不是60°，所以A不符合题意；对于B，因为，所以，同理，所的是等边三角形，所以B对；对于C，因为，所以要求面积的最小值，只须求BC边上高的最小值，此最小值恰为异面直线AD与BC的距离，设为h，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以直线AD到平面距离即为h，即点D到平面距离为h，因为，所以，解得，所以面积的最小值，所以C对；对于D，由于，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为，所以外表积为，所以D对．故答案为：BCD．【分析】取BD的中点O，连接AO，CO利用等腰三角形三线合一,可得，,从而可得,可判断A；通过计算，可得 为正三角形；由于，所以要求面积的最小值，只须求BC边上高的最小值；由，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为，从而可求出其外表积。三、填空题13.【解析】【解答】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：10．【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．14.【解析】【解答】解：由题设可得：，即，∴，即，当且仅当时取“=〞，故答案为：．【分析】根据均值不等式进行计算可得答案。15.【解析】【解答】椭圆的焦点为，在中，由正弦定理得：，解得，，设，在中，由余弦定理得：，解得，所以，又，所以，整理得，即，解得或〔舍去〕故答案为：【分析】利用正弦定理计算R，得出r，设，根据余弦定理计算mn，再根据面积公式列方程得出a，c的关系，从而可求出椭圆的离心率．16.【解析】【解答】∵函数f〔x〕对x∈R均有f〔x〕+2f〔﹣x〕＝mx﹣6①，∴将﹣x换为x，得f〔﹣x〕+2f〔x〕＝﹣mx﹣6②，∴由①②，解得f〔x〕＝﹣mx﹣2．∵f〔x〕≥lnx恒成立，∴m恒成立，∴只需m．令，那么g'〔x〕，令g'〔x〕＝0，那么x，∴g〔x〕在〔0，〕上单调递减，在〔，+∞〕上单调递增，∴，∴m≤﹣e，∴m的取值范围为〔﹣∞，﹣e]．故答案为：〔﹣∞，﹣e]．【分析】先求出 的解析式，再根据f〔x〕≥lnx恒成立，转化为m恒成立，即只需m，令，求导可得单调性，进而得出最值，即可得出实数m的取值范围。四、解答题17.【解析】【分析】〔1〕利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得，结合B∈〔0，π〕，可得B的值；〔2〕由利用余弦定理得，在△ABC中，取AC的中点D，连接BD，在△CBD，△ABC中，利用余弦定理可得 ，联立可得 ，解得c的值，根据三角形的面积公式即可求解．18.【解析】【分析】〔1〕由点  在函数  的图象上，可得  ，即 ，所以  是首项和公比均为  的等比数列，可得  的通项公式；〔2〕利用放缩法即可证明出。19.【解析】【分析】〔1〕证明AB⊥BC．结合BE⊥BC，推出BC⊥平面ABE．得到BC⊥AE，结合EA⊥AC，即可证明AE⊥平面ABCD；〔2〕以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系B-xyz，求出平面ADF的法向量，平面ABCD的一个法向量．设二面角F-AD-C的平面角为α，利用空间向量的数量积求解即可．20.【解析】【分析】〔1〕由古典概型的概率公式可以直接解出；〔2〕分析可知Qn是一个等比数列，用ξ表示一天中购置甲系列盲盒的人数，可知ξ服从二项分布，即可计算出结果．21.【解析】【分析】〔1〕由题意得 ，解得  ， ，即可得出双曲线  的方程；〔2〕设直线  的方程为  ，设定点  ， ，  ，联立 ，得 ，利用根与系数的关系可得 ，  ，，可得结论。22.【解析】【分析】〔1〕对求导得，因为为单调函数，故或恒成立，利用导数研究或哪个能成立即可；〔2〕因为，所以是的一个零点，由〔1〕可知，当时，为上的增函数，所以仅有一个零点，满足题意，当时，得，分，，讨论验证即可．