材料力学作业参考解答

2-1试绘出下列各杆的轴力图。2FFNF2FFN2-2（b）答：2-3答：以B点为研究对象，由平面汇交力系的平衡条件FABFBCWB2-2求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2；AECDBFAFB解：（1）分析整体，作示力图：（2）取部分分析，示力图见（b）CFAqFCyFCxFN2(b)：（3）分析铰E，示力图见（c）：EFN1FN3FN2β(c)2-3求下列各杆内的最大正应力。ABC12.012.0FN(kN)（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的ρg=78kN/m3。解：1.作轴力图，BC段最大轴力在B处AB段最大轴力在A处杆件最大正应力为400MPa，发生在B截面。2-4一直径为15mm，标距为200mm的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比ν。解：加载至58.4kN时，杆件横截面中心正应力为线应变：弹性模量：侧向线应变：泊松比：2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。解：柱中的轴力都为F，总的变形（缩短）为：2-7图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。解：AB段内轴力BC段内轴力B点位移为杆BC的伸长量：2-8图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。解：（1）求①、②杆轴力由平衡方程可以求出:（2）求杆的变形（压缩）（拉伸）（压缩）（3）由几何关系：（下降）2-9答：任一截面上轴力为F，由xbb得面积为伸长量为2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。解：（1）求水压力的合力：（2）作示力图（a）由平衡方程求轴力（3）由强度条件，设计截面尺寸：2-10答：对水塔，，，，，，2-12图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。解：（1）求AB杆的轴力FN：（2）由强度条件求2-14图示AB为刚性杆，长为3a。A端铰接于墙壁上，在C、B两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB杆保持水平。在D点作用荷载F后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。解：1．本题为超静定问题，见图(a),设AB杆产生角位移，则，2．由Hooke定律：FAxFAyFN1FFN2△△l2△l13.由平衡方程：：4.由Hooke定律：①②2-15两端固定，长度为l，横截面面积为A，弹性模量为E的正方形杆，在B、C截面处各受一F力作用。求B、C截面间的相对位移。解：本题为超静定问题解除A截面处约束，代之约束力,见图（a）A截面的位移为杆件的总变形量FFFNAABCD(a)2.由约束条件得：3.见图(b),求BC段轴力由平衡条件可知：所以B,C截面相对位移为FNAFFN(b)-PAGE52--PAGE53-3-1试作下列各杆的扭矩图。10010Mx(N·m)Mx1(kN·m)5323-2一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径3-3从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为150mm的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几?解：实心轴空心轴最大切应力增大了3-4一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示（空心处有两段，内径10mm，外径30mm）,试求：(1)轴的最大切应力。(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。解：（1）作扭矩图，AB段中最大切应力60лл30л40лABCDCD段中最大切应力所以轴中，（2）相对扭转角分四段计算3-2一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。500100300300ABCDE解：作扭矩图，可见最大切应力发生在AB段3-5一圆轴AC如图所示。AB段为实心，直径为50mm；BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。要使杆的总扭转角为0.12°，试确定BC段的长度a。设G=80GPa。解：（1）作扭矩图（2）杆件A、C截面相对扭转角分两段计算⊕⊕100N·mMxAC3-8传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮2、3分别输出功率P2=200kW，P3=300kW。已知［τ］=70MPa，［θ］=1°/m，G=8×10MPa。(1)确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。解：（1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图5.739.55MxABC由强度条件：由刚度条件：为满足强度和刚度条件，AB段的直径d取91mm；BC段的直径d取80mm。（2）若AB和BC两段选用同一直径，直径d取91mm。3-7图示传动轴的转速为200转/分，从主动轮3上输入的功率是80kW，由1、2、4、5轮分别输出的功率为25、15、30和10KW。设［τ］=20Mpa(1)试按强度条件选定轴的直径。(2)若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。1.193751.911,910.4775解：1.由输入和输出功率计算等效力偶2.作扭转图（1）d取79mm，适用于全轴。（2）适用于1，2轮之间适用于4，5轮之间3-14工字形薄壁截面杆，长2m，两端受0.2kN·m的力偶矩作用。设G=80GPa，求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。解：2-16试校核图示销钉的剪切强度。已知F=120kN，销钉直径d=30mm，材料的容许应力［τ］=70MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉?解：不满足强度条件等效后：3-10(b)F=40kN,d=20mm解：中心c位置由F引起的切应力801205050FABC由M引起的剪切力满足解得C铆钉切应力最大cxcr1r2r3FM2-17两块钢板塔接，铆钉直径为25mm，排列如图所示。已知［τ］=100MPa，［σbs］=280MPa，板①的容许应力［σ］=160MPa，板②的容许应力［σ］=140MPa，求拉力F的许可值，如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉，第二排是三个铆钉，则F值如何改变?解：1．铆钉强度,求抗剪强度：挤压强度FN⊕F3F/5AB2.板的抗拉强度条件求,A的截面B截面：综合上述结果，F的许可值取245.4kN(最小值)3．改变铆钉排列后，求解过程与上述相同。3-6答：3-10图(a)所示托架，受力F=40kN，铆钉直径d=20mm，铆钉为单剪，求最危险铆钉上的切应力的大小及方向。F1F2F2F1AB(b)ddd解：将F等效移至铆钉群中心，得力偶，由F引起的切应力（每个铆钉大小相同，方向向下）先求由M引起的各铆钉剪力，见图(b)解得：上部和底部铆钉中切应力最大A(c)最大切应力A-2试求图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。解：分三块计算A2A3hA1zz'形心轴位置A-3试计算(b)图形对y，z轴的惯性矩和惯性积。解：查型钢表得20a号工字钢几何性质：h故yzhC由对称性，A-8计算图示（a）图形的形心主惯性矩。解：1.首先求形心位置：2.求惯性矩4-1求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。FA解：（b）自右向左分析：1-1截面，弯矩；2-2截面，弯矩（c）支座反力（铅直向上），自左向右分析：1-1截面，弯矩；2-2截面，弯矩4-2写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：支座反力，，自左向右分析：FBFA剪力方程：5ql/2FQ3ql/2Mql225ql2/16弯矩方程：由方程作图。注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。4-3利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。12345FQFMF3Fl3.5Fl4Fl解：(a)自左向右分析（这样不需要计算固定端反力）梁分3段，5个控制面；；(b)支座反力梁分3段，6个控制面；123465FAFB6FQ/kNM/kN·m11/313/34216/34/3169/36位置距离右端5-1图(a)所示钢梁(E=2.0×105MPa)具有(b)、(c)两种截面形式，试分别求出两种截面形式下梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。zh解：（b）截面（上拉下压）（c）截面形心位置：5-4求梁指定截面a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力和最大压应力。ABzh解：1.求弯矩支座反力：a-a截面弯矩最大弯矩：2.求形心轴截面a-a上指定点D：4-5解：5-5图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几?解：设工字形截面腹板上最大正应力σ1，其承受的弯矩h/2翼缘上最大正应力σ2，其承受的弯矩，故腹板上承受总弯矩的百分比为即翼缘上承受总弯矩的百分比为5-6一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。正应力分布规律解：(a)固定端弯矩最大最大正应力位于该截面正应力分布规律(b)根据变形协调，上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2(c)两块并排时正应力分布规律两块梁上作用的分布荷载集度均为q/25-8一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用，求距固定端为0.5m处的截面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。z'zy解：根据切应力公式，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩（1）剪力（2）形心位置、形心惯性矩，如图（3）b-b处切应力（4）a-a处切应力由于a-a位于对称轴y轴上，故5-9一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的a-a截面上，剪力为18kN、弯矩为55kN·m，求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。hbC解：b-b截面的剪力、弯矩分别为18B号槽钢的几何性质，，，,由正应力公式切应力公式5-10一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为50×50mm的木条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN，试求粘结层中的切应力。zzc解：求中性轴位置和Iz5-11图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b、h，长度为。（1）证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力τdA的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如何?该面上总的水平剪力FQ′有多大?它由什么力来平衡？解：（1）取x截面左边部分，由其平衡，，，，（2）沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁，因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布，由切应力互等，截开面上的切应力τ′沿梁长度是线性分布。沿梁长度剪力方程，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力，它由固定端约束力平衡。Az5-12试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ的方向竖直向下。AAyzzyAzy解：FQFQFQFQ5-14图示铸铁梁，若［］=30MPa,［］=60MPa,试校核此梁的强度。已知764×10m。CD解：(1)计算支座反力，作弯矩图(2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面）C截面正弯矩最大D截面负弯矩最大符合强度要求4-13[σ]=8.5MPa，求满足强度条件的最小Fmin30kNFABC1.8m1.8m1.2m0.3m0.15mMc解：最小F时，最大应力发生在C截面。5-15一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，［σ］=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。5-16截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力［σ］=160MPa，试求容许均布荷载q。解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题（1）对于BC拉杆ABFQMAB所受轴力由强度条件得（2）对于AB梁其剪力弯矩图如图工字钢横截面中性轴对称,危险截面为弯矩绝对值最大的截面由强度条件得从而确定容许均布荷载4-13解：，，，，C截面下部受拉：B支座负弯矩，上部受拉：FAyMA4-18用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。在图(d)中的E=2.0×10MPa，I=1.0×10cm。解:(a)（1）支座反力计算，（2）列弯矩方程，，（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，，（4）积分一次，，（5）再积分一次，，（6）边界条件、连续光滑条件由得；得由得；得（7）从而；6-1用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。解：（1）支座反力计算FAyFB，（2）列弯矩方程，，（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，，（4）积分一次，，（5）再积分一次，，（6）边界条件、连续光滑条件由得；得由得；得（7）从而；6-2对于下列各梁，要求：(1)写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。(2)根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。解：（a）（1）边界条件和连续光滑条件（2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩，下部受拉）Δl（d）（1）边界条件和连续光滑条件；（2）梁的挠曲线的大致形状如图6-3用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。解：(a)查表得F单独作用下，Fl单独作用下，叠加得到，(c)外伸梁变成简支梁加悬臂梁（结构变换、结构叠加）简支梁ql2上查表悬臂梁上查表，故4－18（b)求wD，θBDCBqaaaDCBM=qa2/2叠加：4-19MMFF2qlq3ql24-20(c)ql2qllllqlql2ADCBql26-4图示悬臂梁，容许应力［σ］=160MPa，容许挠度［w］=l/400，截面为两个槽钢组成，试选择槽钢的型号。设E=200GPa。解：（1）根据强度条件选择槽钢横截面中性轴为对称轴M/kN·m悬臂梁弯矩图如图查表，2个10号槽钢截面满足要求。（2）刚度条件自由端挠度近似看作最大挠度，则由叠加法从而由刚度条件得，查表，2个14a号槽钢截面满足要求综合看选择2个14a号槽钢。4-22(a)求内力（超静定）q=F/lBFM=FlBFBB约束条件：4-23图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB梁的惯性矩为I1，CD梁的惯性矩为I2，试求AB梁中点的挠度wC。解：超静定问题，设CD梁与AB梁之间相互作用力为F′,2由于CD梁C端挠度与AB梁中点挠度相等，即1故7-1单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定方向面上的应力。解：由平面应力状态斜截面应力公式（a），，，从而（d），，，从而7-3单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求单元体的主应力大小和方向，再用解析公式法校核，并绘出主应力单元体。解：（c），，其应力圆绘制：在Oστ坐标系里描出D1（σx，τx）、D2（σy，τy），连接D1、D2两点与σ轴交点C，以C为圆心，CD1或CD2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。D1(80,30)D2(-20,-30)COτσ2α0从图上可知，，，公式校核：（d），，其应力圆绘制：在Oστ坐标系里描出D1（σx，τx）、D2（σy，τy），连接D1、D2两点与σ轴交点C，以C为圆心，CD1或CD2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。D1(10,-10)D2(10,10)(C)Oτσ2α0从图上可知，，，公式校核：7-5图示A点处的最大切应力是0.9MPa，试确定F力的大小。解：A点所在截面剪力为F、弯矩M=0.2F由切应力公式、正应力公式该点主应力分别为从而最大切应力，得5-6A点处横截面和纵截面上的应力？FA7-7求图中两单元体的主应力大小及方向。解：用应力圆法在Oστ坐标系里描出D1（，）、D2（，），从D1面转到D2面，单元体逆时针转了240o则在应力圆上逆时针转480o，即它们所夹圆心角120o，其应力圆如图D1(2,)C(1,0)Oτσ120oD2(2,-)由图可知，，，，即为图中单元体x方向。5-7(b)5-13受力物体内一点处的应力状态如图所示，试求单元体的体积改变能密度和形状改变能密度。设E=2.0×105MPa，ν=0.3。解：，，，5-8在物体不受力的表面上取一单元体A，已知该点的最大切应力为3.5MPa，与表面垂直的斜面上作用着拉应力，而前后面上无应力。(1)计算A点的σx，σy及τx，并画在单元体上。(2)求A点处的主应力大小和方向。A(a)解：见A点的应力单元体(a):στσy(c)(b)σxτσ固有：由A点应力单元体(b)和(c):7-9在一体积较大的钢块上开一个立方槽，其各边尺寸都是1cm，在槽内嵌入一铝质立方块，它的尺寸是0.95×0.95×1cm3(长×宽×高)。当铝块受到压力F=6kN的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=7.0×104MPa，ν=0.33，试求铝块的三个主应力和相应的主应变。0.95cm0.95cm1cmF解：F沿高度方向作用，若铝快的变形填充整个立方槽则由广义胡克定律得到，显然是不可能为拉应力的。故铝快的变形未能填充整个立方槽从而即，，相应的主应变7-10在图示工字钢梁的中性层上某点K处，沿与轴线成45°方向上贴有电阻片，测得正应变ε=-2.6×10-5，试求梁上的荷载F。设E=2.1×105MPa，ν=0.28。K45o解：K点处于纯切应力状态，所在截面剪力为A支座反力由，查表得28a号工字钢，故K点切应力根据该点应力状态，由斜截面应力公式求±45o方位面上正应力由广义胡克定律，从而得出7-11图示一钢质圆杆，直径D=20mm。已知A点处与水平线成70°方向上的正应变ε70°=4.1×10-4。E=2.1×105MPa，ν=0.28,求荷载F。解：横截面应力：由广义Hooke定律σyσ70oσ-20o可得：7-12用电阻应变仪测得受扭空心圆轴表面上某点处与母线成45°方向上的正应变ε=2.0×10-4。已知E=2.0×105MPa,ν=0.3，试求T的大小。解：该点处于纯切应力状态切应力根据该点应力状态，由斜截面应力公式45o求±45o方位面上正应力由广义胡克定律，从而得出7-13炮筒横截面如图所示。在危险点处，σt=60MPa，σr=-35MPa，第三主应力垂直于纸面为拉应力，其大小为40MPa，试按第三和第四强度论计算其相当应力。解：第三强度理论相当应力第四强度理论相当应力这里，故7-20已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力σ1=-650MPa，σ2=-700MPa，σ3=-900MPa。如钢轨的容许应力［σ］=250MPa，试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。解：第三强度理论相当应力第四强度理论相当应力这里，，故，所以该点满足强度要求。6-3受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A处的应力状态如图(b)所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得：εx=1.88×10-4，εy=7.37×10-4。已知钢材弹性模量E=2.1×105MPa，横向变形系数v=0.3，［σ］=170MPa。试用第三强度理论对A点处作强度校核。解：该点处于平面应力状态，由广义胡克定律得即该点，，根据第三强度理论，所以该点不满足强度要求。7-24图示两端封闭的薄壁圆筒。若内压p=4MPa，自重q=60kN/m，圆筒平均直径D=1m，壁厚δ=30mm，容许应力［σ］=120MPa，试用第三强度理论校核圆筒的强度。解：内压产生轴向应力和环向应力分别为σ'+σ"'σ"自重作用下，下部将产生轴向拉应力，上部将产生轴向压应力危险点位于中间截面最下部，该点自重产生的轴向拉应力为故该点，，根据第三强度理论，所以该点满足强度要求。6-6在一砖石结构中的某一点处，由作用力引起的应力状态如图所示。构成此结构的石料是层化的，而且顺着与A-A平行的平面上承剪能力较弱。试问该点是否安全?假定石头在任何方向上的容许拉应力都是1.5MPa，容许压应力是14MPa，平行于A-A平面的容许切应力是2.3MPa。解：根据题意，判断该点是否安全该用莫尔强度理论先求该点三个主应力根据莫尔强度理论再看平行于A-A平面的截面，，所以该点满足强度要求。6-7一简支钢板梁受荷载如图(a)所示，它的截面尺寸见图(b)。已知钢材的容许应力［σ］=170MPa,［τ］=100MPa，试校核梁内的正应力强度和切应力强度，并按第四强度理论对截面上的a点作强度校核。(注：通常在计算a点处的应力时近似地按a′点的位置计算。)解：①画内力图②校核横截面正应力和切应力，由于故，由于满足正应力和切应力强度要求。③校核主应力已知C左或D右截面剪力和弯矩较大，故需对该截面上a点强度进行校核。a点处主应力ＦQ(kN)M(kN·m)820640640620620660660120120满足强度要求。7-1矩形截面梁，跨度l=4m，荷载及截面尺寸如图所示。设材料为杉木，容许应力［σ］=10MPa，试校核该梁的强度。解：梁发生斜弯曲（外力过形心，但与形心主惯性平面不平行）qxqyq左下，qy作用下，下部拉上部压qz作用下，左部拉右部压所以梁的左下角点拉应力最大；右上角点压应力最大，且最大值相同。故该梁安全。7-3图示悬臂梁长度中间截面前侧边的上、下两点分别设为A、B。现在该两点沿轴线方向贴电阻片，当梁在F、M共同作用时，测得两点的应变值分别为、。设截面为正方形，边长为a，材料的E、为已知，试求F和M的大小。解：梁发生双向弯曲，A、B两点处于单向应力状态，，而故，从而8-4图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力F1和竖直力F2的作用。若F1=800N，F2=1600N，l=1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置：(1)宽b=90mm，高h=180mm，截面为矩形，如图(a)所示。(2)直径d=130mm的圆截面，如图(b)所示。yzMzMyM合AB解：（1）在F1和F2共同作用下梁固定端截面内侧上角点为危险点(拉应力最大)或外侧下角点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为（2）在F1和F2共同作用下梁固定端截面为危险截面，该截面合弯矩（如图）为右侧A点为危险点(拉应力最大)或左侧B点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为8-6图(a)和图(b)所示的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时，所需的宽度b。设混凝土的材料密度是2.4×103kg/m3。解：（a）如图，AB面为危险截面B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析AB面上内力FNMBWA令得FNMABW（b）如图，AB面为危险截面B点为危险点，取单位坝段（1m长）分析AB面上内力令得8-10短柱承载如图所示，现测得A点的纵向正应变εA=500×10-6，试求F力的大小。设E=1.0×104MPaFMyMz解：短柱发生偏心压缩变形，A点所在截面内力，，A点处于单向应力状态，从而8-12试确定图示各截面图形的截面核心。解：（a）（b）（c）8-13图示一水平面内的等截面直角曲拐，截面为圆形，受到垂直向下的均布荷载q作用。已知：l=800mm，d=40mm，q=1kN/m，［σ］=170MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。解：通过内力分析，曲拐BC段发生平面弯曲，最大弯矩，AB段发生弯扭组合变形，危险截面为A截面，该截面内力该截面上顶点（或下底点）为危险点，上顶点应力状态如图，大小为τσ由第三强度理论强度条件，曲拐安全7-14图示圆截面杆，受荷载F1，F2和T作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知：F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m，［σ］=170MPa，d=50mm，l=900mm。解：由内力分析，该杆发生拉弯扭组合变形，固定端为危险截面其内力为，，该截面上顶点为危险点，上顶点应力状态如图，大小为τσ由第三强度理论强度条件，杆安全8-15圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［σ］=170MPa。(1)绘出A、B、C、D四点处单元体上的应力；(2)用第三强度理论对危险点进行强度校核。解：（1）A、B、C、D四点处所在截面内力(不考虑剪力):A、B、C、D四点应力分别为:（2）校核危险点:该轴是安全的。7-20FQ=-50kN,M=20kNmγ=τ/G=67μεσ=50MPa,τ=-5.15MPaε90=-νσ/E=-75μεε0=σ/E=250μεε45=(σ45-νσ-45)/E=(30.15-0.3×19.85)/2×105=121μεε45=(εx+εy)/2+(εx-εy)cos900/2+γsin900/2=(250-75)/2+67/2=121με讨论题：请设计图示结构中的压杆BC。已知F=28kN，A、B、C三处连接都简化为柱形铰。压杆采用矩形截面松木，σp=σb=13Mpa，E=10Gpa，n=2.0，nst=3.0，松木a=29.3MPa，b=0.19MPa。假设是大柔度杆件，稳定性条件：8-1答：（a）两端铰支，μ=1.0，μl=5m；（b）一端固定，一端铰支，μ=0.7，μl=4.9m；（c）两端固定，μ=0.5，μl=4.5m；（d）一端固定，一端自由，μ=2.0，μl=4m；（e）上段杆：一端固定，一端铰支，μ=0.7，μl=3.5m；下段杆：两端固定，μ=0.5，μl=2.5m。故，（a）最小，（e）最大。9-2图示压杆的截面为矩形，h=60mm，b=40mm，杆长l=2.0m，材料为Q235钢，E=2.1×105MPa。两端约束示意图为：在正视图(a)的平面内相当于铰支；在俯视图(b)的平面内为弹性固定，采用μ=0.8。试求此杆的临界力Fcr。解：（a）（b）故，为细长杆。9-5图示５根圆杆组成的正方形结构。a=1m，各结点均为铰接，杆的直径均为d=35mm，截面类型为a类。材料均为Ｑ235钢，［σ］=170MPa，试求此时的容许荷载F。又若力F的方向改为向外，容许荷载F又应为多少?解：（1）外围4根受压情况相同的压杆，内部1根拉杆由受力分析AB杆，截面类型为a类查表内插得折减因数则稳定条件得，由拉杆，故（2）外围4根受拉情况相同的压杆，内部1根压杆由受力分析BD杆，截面类型为a类查表内插得折减因数则稳定条件得，由拉杆，故9-7图示结构是由同材料的两Q235钢杆组成。AB杆为一端固定，另一端铰支的圆截面杆，直径d=70mm；BC杆为两端铰支的正方形截面杆，边长a=70mm，AB和BC两杆可各自独立发生弯曲、互不影响。已知l=2.5m，稳定安全因数nst=2.5。E=2.1×105MPa。试求此结构的最大安全荷载。解：结构由两根压杆构成AB杆，Q235钢的故AB杆为细长压杆，其临界力BC杆，Q235钢的故BC杆为细长压杆，其临界力故结构最大安全荷载8-4答：AB杆BC杆所以9-8图示一简单托架，其撑杆AB为TC17圆截面杉木杆，直径d=200mm。A、B两处为球形铰，材料的容许压应力［σ］=11MPa。试求托架的容许荷载［q］。解：由受力分析知即已知容许压应力，采用折减因数法计算压杆AB，，TC17杉木的折减因数则稳定条件故得9-10图示托架中AB杆的直径d=40mm，两端可视为铰支，材料为Ｑ235钢。σp=200MPa，E=200GPa。若为中长杆，经验公式σcr=a-bλ中的a=304MPa，b=1.12MPa。(1)试求托架的临界荷载Fcr。(2)若已知工作荷载F=70kN，并要求AB杆的稳定安全因数nst=2，试问托架是否安全?解：（1）AB杆，AB杆为细长杆。（2），托架不安全。9-11图示结构中钢梁AB及立柱CD分别由20b号工字钢和连成一体的两根63×63×5的角钢制成。立柱截面类型为b类，均布荷载集度q=39kN/m，梁及柱的材料均为Ｑ235钢，［σ］=170MPa，E=2.1×105MPa。试验算梁和柱是否安全。解：C截面为危险截面。，梁AB安全。立柱CD：，立柱CD不安全。9-12图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为16号工字钢，BC杆为d=60mm的圆杆。已知E=200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，强度安全因数n=2，稳定安全因数nst=3，求容许荷载值。解：（1）由压杆BC稳定条件确定容许压力：故压杆BC为中长杆。其临界应力为根据，则（2）由梁正应力强度条件确定容许压力：梁跨中为危险截面，其弯矩最大正应力得从而容许荷载值10-2图示一自重W1=20kN的起重机装在两根22b号工字钢的大梁上，起吊重为Ｗ=40kN的物体。若重物在第一秒内以等加速度a=2.5m/s2上升。已知钢索直径d=20mm，钢索和梁的材料相同，［σ］=160MPa。试校核钢索与梁的强度(不计钢索和梁的质量)。解：钢索的拉力：钢索中应力：，钢索满足强度条件。梁中最大弯矩：查表：22b号工字钢，梁的强度满足。9-1答：工字钢梁重：梁中间：吊索处：故，危险点处：10-3图示机车车轮以n=400转/分的转速旋转。平行杆AB的横截面为矩形，h=60mm，b=30mm，长l=2m，r=250mm，材料的密度为7.8×103kg/m3。试确定平行杆最危险位置和杆内最大正应力。解：杆件在最低位置最危险。杆承受的荷载有自重和惯性力：q最大弯矩：最大正应力：10-5图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在1kN的静荷作用下缩短0.625mm。钢杆的直径d=40mm，l=4m容许应力［σ］=120MPa，E=200GPa。若有重为15kN的重物自由落下，求其容许高度h；又若没有弹簧，则容许高度h将等于多大?解：容许内力：动荷系数：无弹簧时静变形：有弹簧时静变形：10-6外伸梁ABC在C点上方有一重物W=700N从高度h=300mm处自由下落。若梁材料的弹性模量E=1.0×104MPa，试求梁中最大正应力。解：求W作用下的静位移（用叠加法）：动荷系数：最大弯矩：最大动应力：10-7冲击物W=500kN，以速度v=0.35m/s的速度水平冲击图示简支梁中点C，梁的弯曲截面系数Wz=1.0×107mm3，惯性矩I=5.0×109mm4，弹性模量E=2.0×105MPa。试求梁内最大动应力。解：以W作为静荷载求静挠度：动荷系数：最大弯矩：最大动应力：10-8试求图示4种交变应力的最大应力σmax，最小应力σmin，循环特征r和应力幅Δσ。解：(a)(b)(c)(d)10-9试求图示车轴n-n截面周边上任一点交变应力中的σmax，σmin，循环特征r和应力幅Δσ。解：轴中弯矩：9-10答：Fmax=50kN作用下：Fmin=0作用下：第三类构件：，梁是安全的。10-1计算图示各杆的应变能。设EA，EI，GIP均已知。解：画弯矩图，建立弯矩方程：应变能为：0.5M0.5M10-1答：（a）（b）（c）10-2用卡氏第二定理求下列各梁中C截面的竖直位移和转角。设梁的EI为已知。解(1)求C处竖向位移，加力F求弯矩方程：求应变能：FFAFBC点位移：MFAFB(2)求C处转角，加一力偶M，求弯矩方程：求应变能：C点转角：，逆时针。10-3用卡氏第二定理求下列结构中C点的竖直位移。设各杆的材料、横截面积均相同并已知。解：在C处加力P，首先求各杆内力：P求系统应变能：位移：10-4用莫尔定理求下列各梁C截面的竖直位移和A截面的转角。解：画弯矩图，建立弯矩方程：2M0.5l（1）求C处位移。C处加单位力，建立弯矩方程：用莫尔定理得：，位移向上。(2)求A处转角1在A截面加单位弯矩，建立弯矩方程：用莫尔定理得：，顺时针转。10-5用莫尔定理求下列各梁指定点处的位移。Fa0.5FaM(x)解(b)：首先求弯矩方程（用弯矩图表示）C处位移：在C处加单位力（向下），求弯矩方程（用弯矩图表示）0.5aMo(x)用莫尔定理得：解(c)：首先求弯矩方程（用弯矩图表示）：(1)C处位移：在C处加单位力（向下），求弯矩方程（用弯矩图表示）用莫尔定理得(2)求D处位移，在D处加单位力（向下），求弯矩方程（用弯矩图表示）由莫尔定理得：10-2答：(a)此时不能用（因为M=Fl）C处加一铅直向广义力F0，则在C截面加一力偶M010-4答：(a)先列出荷载引起的弯矩方程在C截面加一单位力在A截面加一单位力偶请说明下式的意义：解：见图（a），弯矩可表示为：式中M1(x),M2(x)分别为F1=1,F2=1时对应的弯矩。设F1=F2=F