122函数的表示法

第一章集合与函数概念§1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示法复习回顾问题1：从集合与对应的观点分析，函数的定义是什么？设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.问题2：函数有哪几种常用的表示形式？1.函数常用的表示法有：.解析法、图象法、列表法.解析法：用表示两个变量之间的对应关系图象法：用表示两个变量之间的对应关系列表法：通过来表示两个变量之间的对应关系知识探究函数的表示法 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 表达式图象 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 知识探究函数的表示法阅读课本19页例3，回答下列问题：问题3：用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？问题4：用描点法画函数图像的一般步骤是什么？此题中的函数图像为什么不是一条直线？问题5：判断一个图像是不是函数图像的依据是什么？写函数解析式的时候，一定要写出定义域定义域是点集任意一个x(xA)，在集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应:在x轴上作一条与y轴平行的直线l，l与图像至多有一个交点知识巩固练习1：判断下列图像是否是函数图像合作探究函数三种表示法的优缺点问题6：例3和例4中函数的表示方法，各有什么优点和缺点？函数三种表示法的优缺点问题7：任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定，如某地的天气与日期之间存在函数关系，但无法用解析法表示.实际上，能够用解析法表示的函数是少之又少的.如P16的例2和例3问题探究：函数图像的性质函数的图象及应用图象法是表示函数的重要方法之一，画函数图象要以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图，特别指出的是，如果已知一函数的图象特征，描点画图时，要结合其特征进行画图．函数根据其实际意义，分为纯数学函数和实际用函数，在作图取点时要根据其实际意义作图【分析】　(1)函数的定义域是整数集，因此函数的图象是一些点；(2)只需画出二次函数在区间[0,3)上的图象即可；(3)需要先把函数解析式写成分段函数的形式，然后根据分段函数作图．问题探究：函数图像例1　作出下列函数的图象：图1　　　　　　　图2　　　　　　　　图3问题探究：函数图像【反思与悟】　(2)中描出两个端点及顶点，依据二次函数的图象特征作出函数图象．注意3不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点．问题探究：函数图像问题探究：函数图像问题探究：函数图像问题探究：函数图像作业2某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．请同学们想一想顾客是怎么晓得店主骗人的吗？（写出解析式并作图）作业：1：y=|2-x|和y=-|x+1|的图像课堂小结函数三种表示法函数三种方法的应用函数作图作业p25页2再见高中数学必修1·精品 课件 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第一章集合与函数概念§1.2.2函数的表示法第二课时函数的解析式知识探究：求函数的解析式1.求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系．2．求函数解析式的常用方法是待定系数法和换元法．当已知函数的类型时，可设出其函数解析式，利用待定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．当不知函数类型时，一般可采用换元法，所谓换元法即将接受对象“－1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式，但要注意自变量取值范围的变化情况．3．求函数的解析式除上述常用的两种方法外，还有“拼凑法”、“消元法”等．知识探究求函数解析式[例1]已知f(x)是一次函数，且f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(x)．[思路探索]本题已知函数类型，故可用待定系数法求解．[解析]∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0).∴，解得 ∴f(x)＝2x－1.一：待定系数法求函数解析式待定系数法求函数解析式[例2]已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．从而f(x)＝x2－x.解：由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵f(0)＝0，∴c＝0.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x,即2ax＋a＋b＝2x，∴ ∴a＝1，b＝－1.知识探究[例3]求下列函数的解析式：[分析]　f(x)=2x1表示函数关系符号“f”的对应关系为：f:x→f(x)=2x1，其意义也可以表示为：f(□)=2□1，其中“”可以是常量，也可以是变量.因此第(1)问只需将x2整体代换x即可，对于第(2)问可用换元法或凑配法. (1)已知f(x)=2x1，求f(x2) (2)已知f(1)2，求． 二：代入法、换元法、凑配法求函数解析式[解析]　(1)(代入法)f(x2)2x21； (2)方法1：换元法令t1(t≥1)， 则t1， 代入f(1)2，得 f(t)2(t≥1)， ∴f(x)2(x≥1). (2)方法2：凑配法f(1)2 21 ∴f(x)2. 又 ∴f(x)2(x≥1). 知识探究求函数解析式换元法求函数解析式例4　已知f(x)满足af(x)＋f()＝ax，x∈R且x≠0，a为常数，且a≠±1，求f(x)的解析式．以代x→联立方程→解方程组→得f(x)．提示：af(x)＋f()＝ax，①a2f()＋af(x)＝.②换元法求函数解析式例4　已知f(x)满足af(x)＋f()＝ax，x∈R且x≠0，a为常数，且a≠±1，求f(x)的解析式．规律总结：已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．常见形式有：一次函数设为f(x)＝kx＋b(k≠0)反比例函数解析式设为f(x)＝(k≠0)， 二次函数解析式:(1)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)若已知对称轴或顶点坐标，常设顶点式f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设两根式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．题后反思题后反思规律总结：3.凑配法是将解析式用括号内整体凑配出来，在解题时要注意“整体思想”的运用;4.对于具体函数来说，函数的对应关系式是用t表示还是用x表示没有关系，只是习惯上自变量用x表示.1.代入法就是将括号内整体代换已知函数关系中的x，本质上相当于变量替换；2.换元法就是将括号内整体设为一个变量t，然后将x用t表示出来，接下来进行代换.换元后要注意新元t的取值范围，函数定义域不可忽视；课堂小结求函数解析式的三种方法求复合函数的值作业：P244,5,6再见高中数学必修1·精品课件第一章集合与函数概念§1.2.2函数的表示法第三课时分段函数问题探究：分段函数1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫分段函数，它虽由几部分构成，但它是一个函数．2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．问题探究：分段函数例1：y=|2-x|-|x+1|的图像解：打开绝对值，写出解析式，注意定义域的范围列表x[-1,2]-1012y=1-2x31-1-3问题：分段函数的定义域与各段函数自变量的取值有什么关系？值域与各段的值域有什么关系？知识探究分段函数例2：某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路上公交车“招手即停”，其票价如下：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上,每增加5公里,票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函数的自变量是什么？定义域是什么？思考2:该函数用解析法怎样表示？思考3:该函数用列表法怎样表示？思考4:该函数用图象法怎样表示？设里程为x公里，票价为y元，则里程x(km)(0,5](5,10](10,15](15,20]票价y(元)2345Ox2015105y12345思考5:上面的函数称为分段函数,一般地，分段函数的解析式有什么特点？试举例说明.分段函数应用例3某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．请同学们想一想顾客是怎么晓得店主骗人的吗？（写出解析式并作图）分段函数应用列出解析式(注意定义域)【分析】　本题是对分段函数的综合考查，关键注意分段函数在不同范围内函数解析式不同．分段函数应用分段函数应用分段函数应用分段函数应用解得:-1≤m<0.∴所求m的取值范围是[-1,0]．分段函数应用（4）解由题意知因为f(x)是分段函数且有以下几种情况成立：(1)或(2)或(3)整理得：或或分段函数典型例题【错因分析】　本题错解忽略了对所得值的验证而得到三个解，解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以代入运算．【反思与悟】　给函数值求自变量，应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．解析：当x<0时，2x＝16，无解；当x≥0时，x2＝16，解得x＝4. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：4分段函数典型例题课堂小结求含有绝对值的函数的解析式的方法求实际背景意义的分段函数的解析式作业：P247再见高中数学必修1·精品课件第一章集合与函数概念§1.2.2函数的表示法第四课时映射知识探究映射1.设集合A={x|x是正方形}，B={y|y>0},对应关系f：正方形→面积，那么从集合A到集合B的对应是否是函数？为什么？2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对应关系”，如果集合A、B不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？问题引入：映射AB图1图2AB考察下列两个对应：思考1:上述两个对应有何共同特点？集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.知识探究映射思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映射，那么如何定义映射？设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.其中集合A中的元素x称为原象，在集合B中与x对应的元素y称为象.映射定义AB图1AB图2思考4:在我们的生活中处处有映射，你能举一个实例吗？思考3:下图中的对应是不是映射？为什么？知识探究思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？思考2:映射有哪几种对应形式？一对一，多对一思考3:设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.知识巩固AB图1AB图2思考4:图1是从集合A到集合B的一个映射吗？图2是从集合B到集合A的一个映射吗？知识巩固思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；知识巩固映射与函数的相同点都有两个非空集合A,B;知识巩固都有一个确定的对应关系f，并且f有方向（f:AB和f:BA是不一样的）都有：对于任意x(xA),都有唯一确定的y(yB)与之对应与x(xA)对应的y(yB)的集合都是B的子集映射与函数的不同点函数映射A、B为数集A、B可为数集、点集或由图形组成的集合x(xA)：自变量y(yB)：因变量x(xA)：原象y(yB)：像结论：函数是一种特殊的映射知识巩固例1试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合B的映射？（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；应用实践（4）集合A={x|x是师大附中的班级}，集合B={x|x是师大附中的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生;（5）集合A={1,2,3,4},B={3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f：x→2x+1例2已知集合A={a,b}，集合B={c,d,e}.（1）试建立一个从集合A到集合B的映射？（2）一共可建立多少个从集合A到集合B的映射？应用实践例3下列对应关系f是否为从集合A到集合B的函数？应用实践总结提高课堂小结1映射的概念映射与函数的区别与联系映射的应用作业：p234题，p2410题练习1　下列各图表示的对应，构成映射的是(　　)课堂练习答案：1,2,3练习2　设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：映射f的对应法则映射g的对应法则则与f[g(1)]相同的是(　　)A．g[f(1)]B．g[f(2)]C．g[f(3)]D．g[f(4)]原像1234像3421原像1234像4312练习3　集合M＝{－2,0,1}，N＝{1,2,3}，映射f：M→N，对任意x∈M，都有x＋f(x)＋xf(x)是奇数，则这样的映射只有(　　)A．10个　　　　　　　B．12个C．13个D．15个解析：若x＝－2，－2＋f(－2)－2f(－2)＝－2－f(－2)是奇数，f(－2)必为奇数，∴－2可以对应1或3；若x＝0,0＋f(0)＋0×f(0)＝f(0)是奇数，f(0)必为奇数，∴0可以对应1或3；若x＝1,1＋f(1)＋1×f(1)＝2f(1)＋1是奇数，∴1可以对应1,2,3.∴满足条件的映射共有12个．答案：B【分析】　已知对应关系，分别代入求值即可．知识巩固函数的三种表示法的应用练习1：某手机每台售价为1000元，现一经销商购进5部手机，试求出售出台数与收款数之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.[解析]这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}．用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝1000x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为手机数x12345收款数y10002000300040005000用图象法可将函数y＝f(x)表示为右图：xy1234510002000300040005000O知识巩固2：电信资费调整后，市话费的标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元，超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟按1分钟计费，求通话收费x(元)与通话时间t(分钟)的函数解析式，并画出图像Ox6543y0.20.40.60.81.0题后反思反思：本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些孤立点，而不是直线．另外，函数的解析式应标明定义域．课堂小结1.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．2．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．3.求分段函数的解析式，定义域，图像作业：典例精讲：题型二：函数解析式的求解[例2](1)已知f(x)是一次函数，且f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(x)．(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．[思路探索]本题已知函数类型，故可用待定系数法求解．典例精讲：题型二：函数解析式的求解[解析]∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，(1)设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0).∴，解得 ∴f(x)＝2x－1.典例精讲：题型二：函数解析式的求解从而f(x)＝x2－x.(2)由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∵f(0)＝0，∴c＝0.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x,即2ax＋a＋b＝2x，∴ ∴a＝1，b＝－1.规律总结：已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．常见形式有：一次函数设为f(x)＝kx＋b(k≠0)反比例函数解析式设为f(x)＝(k≠0)， 二次函数解析式:(1)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)若已知对称轴或顶点坐标，常设顶点式f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设两根式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．题后反思典例精讲：题型二：函数解析式的求解[例3]求下列函数的解析式：[分析]　f(x)=2x1表示函数关系符号“f”的对应关系为：f:x→f(x)=2x1，其意义也可以表示为：f(□)=2□1，其中“”可以是常量，也可以是变量.因此第(1)问只需将x2整体代换x即可，对于第(2)问可用换元法或凑配法. (1)已知f(x)=2x1，求f(x2) (2)已知f(1)2，求． 典例精讲：题型二：函数解析式的求解[解析]　(1)(代入法)f(x2)2x21； (2)方法1：换元法令t1(t≥1)， 则t1， 代入f(1)2，得 f(t)2(t≥1)， ∴f(x)2(x≥1). (2)方法2：凑配法f(1)2 21 ∴f(x)2. 又 ∴f(x)2(x≥1). 题后反思规律总结：3.凑配法是将解析式用括号内整体凑配出来，在解题时要注意“整体思想”的运用;4.对于具体函数来说，函数的对应关系式是用t表示还是用x表示没有关系，只是习惯上自变量用x表示.1.代入法就是将括号内整体代换已知函数关系中的x，本质上相当于变量替换；2.换元法就是将括号内整体设为一个变量t，然后将x用t表示出来，接下来进行代换.换元后要注意新元t的取值范围，函数定义域不可忽视；典例精讲：题型三：函数的图象问题[例4]若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{x|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)．答案:　B[解析]　A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是定义域M，C中对于x＝0，有两个y值对应，不满足唯一性，不是函数关系，D中的值域不是集合N＝{y|0≤y≤2}．题后反思规律总结：判断一个图形是不是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线，并沿x轴平移，如果图象始终与此直线至多有一个交点，则此图形可以作为函数的图象，否则不能作为函数的图象．典例精讲：题型三：函数的图象问题[例5]作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z，2≤x≤3)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))． [思路探索]　用描点法作图，但要注意定义域对图象的影响．xy123–1123O(2)xy–2–1123–11234O(1)[解析]　(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，且其横坐标x满足2≤x≤3，如图(1)所示． 典例精讲：题型三：函数的图象问题(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示．y＝x＋1题后反思规律总结：1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．