空间向量1空间向量的概念:在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.向量可用一条来表示.有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的TAB向量AE的大小称为向量的(或)，记作模(或长度)为0的向量称为_向量，记为：;模为1的向量称为向量.彳、44与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的向量，记作-a.⑹方向相且模相的向量称为相等向量.2、空间向量的加法和减法：(1)求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则•即:在空间以同一点C)为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以匸〕起点的对角线0C就是a与b的和，这种求向量和的方法,称为向量加法的法则.(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则•即：在空间任取一点0，作0血=a,0E=b，则E査=a—b.3、实数’与空间向量a的乘积’a是一个向量，称为向量的数乘运算.当’•a与a方向；当‘：：：0时，‘a与a方向；当’=0时，‘a为零向量，记为'a的长度是a的长度的倍.4、设‘，"为实数，a,b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律.向量或向量，并规定零向量与任分配律：九(a+b)=；结合律：九()=.5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为何向量都共线.6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a,bb=o,a〃b的充要条件是存在实数’，使a=7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.向量共面定理：空间一点m位于平面丄BC内的充要条件是存在有序实数对x,y，使=TTTT任一定点0,有_xZy■-xUyc；或对空,c共面，则「匚」-y「用-zOCxy•z=__9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点°，作c：l---旨,b'』.两个向量夹角的取值范围是：.，皿二b，则•m称为向量a,b的夹角，记作11、已知两个非零向量a和b,则abcos（a,b）称为a，记作.即ab=cos〈a,b》.零向量cosa,b的乘积.12、ab等于a的长度与任何向量的数量积为a与13、若a,b为非零向量，e为单位向量，则有⑴总a=ae=aco&a,e）；4|fa|b（a与b同向）b=_a%]（a与b反向）aa=aa=a.,,.cos4(a,b>=-^7同b|；14、向量数乘积的运算律:ab=ba；2■ab「ab=a‘b；3abc=acbc15、若i,j,k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组ix,y,z1・q耳斗，使得p=xiyjzk,称xi,yj,zk为向量p在「，j，k上的分量.16、空间向量基本定理：若三个向量a,b,c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组：x,y,^，使得p二xaybzcr匚r17、若三个向量a,b,c不共面,则所有空间向量组成的集合是pp=xaybzc,x,y,zR?.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,称为空间的一个基底，a,b,c称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.18、设°,e2,e3为有公共起点°的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以U,仓的公共起点°为原点，分别以e1,e,$的方向为X轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系°xyz.则对于空间任意°重合，得到向量匚G二p.存在有序实数组’x,y,乙，使得个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点T_TT*片，—p^xei+yq+zq.把x,y,z称作向量p在单位正交基底,e2,e3下的坐标，记作P=（x，y，z）.此时，向量p的坐标是点p在空间直角坐标系°xyz中的坐标x,y,z19、设a=（为，％,乙），b=（X2』2,Z2），则（1）a+b=（*%2,%十丫2,乙）2a-bPX-X2,%-丫2,乙-Z24ab=XjX2y』2zz?5若a、b为非零向量，贝ya—bub=0=x1x2y(y2Z|Z2=0(6)若b鼻0，则a〃b二a=hb=人=^x2,y；=hy2,乙=入z27；二-.-x2\；2■z2cosa,b=ab8X1X2+%y2+Z1Z2：xf■yfz；"x|y；z；(9)直(为』1忆)，(x2,y2,z2)，则宀闭=AB222X2-xi.1亠I.y2-yi!亠Iz2-zl20、在空间中，取一定点向量.°作为基点，那么空间中任意一点m的位置可以用向量匸：□来表示.向量匚口称为点m的位置21、空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点厶以及一个定方向确定•点一二是直线I上一点，向量a表示直线1的方向向量，则对于直线I上的任意一点儿有-二m二，这样点z和向量a不仅可以确定直线1的位置，还可以具体表示出直线1上的任意一点.22、空间中平面■'的位置可以由■'内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点o，它们的方向向量分别为a,b.p为平面［上任意一点，存在有序实数对x，y，使得OP=xayb，这样点:的位置.°与向量a,b就确定了平面23、直线I垂直〉，取直线I的方向向量a，则向量a称为平面:-的法向量.24、若空间不重合两条直线a,b的方向向量分别为a,b，贝ya//b=allb=a=hb(川R)a丄b吕25、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n,且a二〉，则a〃「二a//：=a丄h=an=0,a丄a丄a//n二a=kn26、若空间不重合的两个平面-,:的法向量分别为a,b，则〉a//bu：=怎b=a_bab027、设异面直线a,b的夹角为二，方向向量为a,b，其夹角为'',则有COS日=cos申lab28、设直线丨的方向向量为丨，平面〉的法向量为n,丨与〉所成的角为71I与n的夹角为，则有Insin日=cos®29、设ni,n2是二面角〉一1一：的两个面：•,:的法向量，则向量ni,n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小.若二面角〉-1-:的平面角为-，则nin2cos6|=n,n230、点2与点三之间的距离可以转化为两点对应向量丁匕的模AB计算.31、在直线I上找一点P,过定点z且垂直于直线I的向量为n,则定点z到直线I的距离为d二cosmu_,n口32、点m是平面?外一点，z是平面〉内的一定点,n为平面〉的一个法向量，则点nIT
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