2019年常州市中考数学试题及答案

第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）2019年江苏省常州市中考数学试卷、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）11.（2分）-3的相反数是（）C.3??+12.（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（??-3A.x=—1B.x=3C.xm—1D.xm33.（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（A.圆柱B.正方体C.圆锥A.线段FAB.线段FBC.线段FCD.球)D.线段FD5.（2分）若厶ABC〜△A'B'C'，相似比为1:2,则厶ABC与厶A'B'C'的周长的比为（A.2:1B.1:2C.4:1D.1:4C.v37.（2分）判断命题“如果&（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切•某市一天中PM2.5的值yi（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），贝Uy2示0时到t时PM2.5的值的极差（即与t的函数关系大致是（）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）3TOC\o"1-5"\h\z（2分）计算：a*a=•（2分）4的算术平方根是.2（2分）分解因式：ax-4a=•（2分）如果/a=35°，那么/a的余角等于°.（2分）如果a-b-2=0,那么代数式1+2a-2b的值是.（2分）平面直角坐标系中，点P（-3,4）到原点的距离是.（2分）若｛??=1，是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，则a=.??=2（2分）如图，AB是OO的直径，C、D是OO上的两点，/AOC=120°,则/CDBD17.（2分）如图，半径为V3的OO与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接0C,贝ytan/OCB=.18.（2分）如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3vi0,点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与/DEC相等，则三、解答题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（8分）计算：（1）n0+（-）-1-（^3）2；2(2)(x-1)(x+1)-x(x-1).??+1>020.（6分）解不等式组｛'并把解集在数轴上表示出来.3??-8<-??,21.（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C'处，BC'与AD相交于点E.抽样调查了该校部分（1）连接AC'，则AC'与BD的位置关系是（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元;（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.子中.（1）搅匀后从中摸出23.（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率.（不重叠无缝隙拼接）第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共30页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）24.(8分)甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等•甲、乙两人每小时各做多少个零件?25.(8分)如图，在？OABC中，OA=2v2，/AOC=45°，点C在y轴上，点D是BC的??中点，反比例函数y=??(x>0)的图象经过点A、D.(1)求k的值；求点D的坐标.26.（10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”•“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形•用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=;【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形•当n=3,m=3时，如图3,最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7.①当n=4,m=2时，如图4,y=;当n=5,m=时，y=9;②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=（用含m、n的代数式表示）•请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.227.(10分)如图，二次函数y=-x+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0)，点D为0C的中点，点P在抛物线上.b=；若点P在第一象限，过点P作PH丄x轴，垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；若点P的横坐标小于3,过点P作PQ丄BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且S"QB=2SaQRB,求点P的坐标.第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）28.（10分）已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度.（1）写出下列图形的宽距：TOC\o"1-5"\h\z半径为1的圆：;如图1,上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：;（2）如图2,在平面直角坐标系中，已知点A（-1,0）、B（1,0）,C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.若d=2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在OM上运动，OM的半径为1，圆心M在过点（0,2）且与y轴垂直的直线上.对于OM上任意点C,都有5Wdw8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.Aih--i。-iiX122019年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.（2分）-3的相反数是（C.3【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可.【解答】解：（-3）+3=0.故选：C.【点评】本题主要考查了相反数的定义,根据相反数的定义做出判断,属于基础题，比较简单.2.??+1（2分）若代数式芮有意义，则实数x的取值范围是（A.x=-1B.x=3C.xm-1D.xm3【分析】分式有意义的条件是分母不为0.??+1【解答】解：：•代数式有意义,??-3•••x-3m0,xm3.故选：D.0是分式有意义的【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为条件.3.（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（A.圆柱B.正方体C.圆锥D.球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥.【解答】解：该几何体是圆柱.故选：A.【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状.熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.TOC\o"1-5"\h\z4.（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD【分析】由垂线段最短可解.【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B.故选：B.【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题.（2分）若厶ABC〜△A'B'C'，相似比为12,则厶ABC与厶A'B'C'的周长的比为（）A.2：1B.1：2C.4:1D.1:4【分析】直接利用相似三角形的性质求解.【解答】解：•••△ABC〜△A'B'C'，相似比为1:2,•••△ABC与厶A'B'C'的周长的比为1：2.故选：B.【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.（2分）下列各数中与2+v3的积是有理数的是（）A.2+v3B.2C.v3D.2-v3【分析】利用平方差公式可知与2+v3的积是有理数的为2-V3;【解答】解：•••(2+v3)(2-v3)=4-3=1;【点评】本题考查二次根式的混合运算;熟练掌握运算规律是解题的关键.7.（2分）判断命题“如果nv1,那么n2-1v0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（）C.0【分析】反例中的n满足nv1，使n2-1>0,从而对各选项进行判断.【解答】解：当n=-2时，满足nv1，但n2-1=3>0,所以判断命题“如果nv1,那么n2-1v0”是假命题，举出n=-2.故选：A.【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.&（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），贝Uy2【分析】根据极差的定义，分别从t=0、0vtw10、10vtw20及20vt<24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案.第11页（共30页）30第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）30第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）【解答】解：当t=0时，极差y2=85-85=0,当0vtw10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43;当10vtw20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20vtw24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B.【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）32（2分）计算：a十a=a.【分析】直接利用同底数幕的除法运算法则计算得出答案.【解答】解：a3十a=a2.故答案为：a2.【点评】此题主要考查了同底数幕的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.（2分）4的算术平方根是2.【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可.【解答】解：4的算术平方根是2.故答案为：2.【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找.2（2分）分解因式：ax-4a=a（x+2）（x-2）.【分析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解：ax2-4a,=a（x2-4）,=a（x+2）（x-2）.【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.（2分）如果/a=35°，那么/a的余角等于55°.【分析】若两角互余，则两角和为90°,从而可知/a的余角为90°减去/a,从而可解.【解答】解：•••/a=35°,•••/a的余角等于90°-35°=55°故答案为：55.【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单.（2分）如果a-b-2=0,那么代数式1+2a-2b的值是5.【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a-b=2整体代入即可求值；【解答】解：•••a-b-2=0,•-a-b=2,•-1+2a-2b=1+2（a-b）=1+4=5;故答案为5.【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键.（2分）平面直角坐标系中，点P（-3,4）到原点的距离是5.【分析】作PA丄x轴于A,贝UPA=4,OA=3,再根据勾股定理求解.【解答】解：作PA丄x轴于A,则PA=4,OA=3.则根据勾股定理，得OP=5.故答案为5.【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用•点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值.??1（2分）若｛'■,是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，贝Va=1.??=2【分析】把｛??=2代入二元一次方程ax+y=3中即可求a的值.【解答】解：把｛??=1代入二元一次方程ax+y=3中，a+2=3,解得a=1.故答案是：1.【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键.（2分）如图，AB是OO的直径，C、D是OO上的两点，/AOC=120°，则/CDB=5第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）5第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）【分析】先利用邻补角计算出/BOC，然后根据圆周角定理得到/CDB的度数.【解答】解：•••/BOC=180°-ZAOC=180°-120°=60°,1•••ZCDB=扌ZBOC=30°.故答案为30.【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.17.（2分）如图，半径为V3的OO与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,5-.【分析】根据切线长定理得出ZOBC=ZOBA=2zABC=30°,解直角三角形求得BD,即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tanZOCB的值.【解答】解：连接OB,作OD丄BC于D,????????????_??????30•/OO与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，•ZOBC=Z1:OBA=1ZABC=30°,•tanZOBC=•BD=•CD=BC-BD=8-3=5,•tanZOCB=????????■V35-故答案为空.第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.18.（2分）如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3vi0,点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与/DEC相等，则15【分析】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF丄MN于F，则/PFM=ZPFN=90°，由矩形的性质得出AB=CD,BC=AD=3AB=3v!0，/A=ZC=90°，得????????出AB=CD=Vl0,BD=V????????=10,证明△PDFBDA，得出=，求出????????PF=②MN为等腰△PMN的腰时，作PF丄BD于F，由①得：PF=|,MF=3，设MN=PN=X,贝UFN=3-X,在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF丄MN于F,如图1所示:则/PFM=ZPFN=90°,•••四边形ABCD是矩形,•••AB=CD,BC=AD=3AB=3V10,ZA=ZC=90°,•••AB=CD=v10,BD=V????????=10,•••点P是AD的中点，，证出CE=2CD，由等腰三角形的性质得出MF=NF，/PNF=ZDEC，证出△????????PNFDEC，得出==2,求出NF=2PF=3,即可得出答案；????????1•-PD=^AD=3V10圍2第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）圍2第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）•••/PDF=ZBDA,3v10!_?■=?_；即=?=丄????????vio10解得：PF=3，•/CE=2BE,BC=AD=3BE,•BE=CD,•CE=2CD,•••△PMN是等腰三角形且底角与/DEC相等，PF丄MN,MF=NF，/PNF=ZDEC,•••/PFN=ZC=90°,△PNFDEC,????????==2,????????MF=NF=2PF=3,MN=2NF=6;②MN为等腰△PMN的腰时，作PF丄BD于F，如图2所示:3由①得：PF=2,MF=3,解得：x=，即MN=15-;883222在Rt△PNF中，(一)2+(3-x)2=x2,2综上所述,MN的长为6或设MN=PN=x,贝UFN=3-x,故答案为:6或15.8第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共30页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共30页)【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键.三、解答题(本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)(8分)计算：n°+(丄)1-(v3)2；2(x-1)(x+1)-x(x-1).【分析】根据零指数幕，负指数幕，多项式乘以多项式(单项式)的运算法则准确计算即可；【解答】解：(1)n0+(1)-1-(v3)2=1+2-3=0;222(2)(x-1)(x+1)-x(x-1)=x-1-x+x=x-1；【点评】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幕，负指数幕，多项式乘以多项式(单项式)的运算法则是解题的关键.??+1>o(6分)解不等式组｛"'并把解集在数轴上表示出来.3??-8<-??,【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【解答】解：解不等式x+1>0，得：x>-1,解不等式3x-8<-x,得：xw2,•••不等式组的解集为-1vx<2,将解集表示在数轴上如下：•b11ihr-2」1013【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.21.(8分)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C'处，BC'与AD相交于点E.连接AC'，贝UAC'与BD的位置关系是AC'//BD;EB与ED相等吗？证明你的结论.【分析】(1)根据AD=C'B,ED=EB,即可得到AE=C'E,再根据三角形内角和定理，即可得到/EAC'=ZEC'A=ZEBD=ZEDB，进而得出AC'/BD;(2)依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到/EDB=ZEBD，进而得出BE=DE.【解答】解：(1)连接AC',则AC'与BD的位置关系是AC'//BD,故答案为：AC'/BD;(2)EB与ED相等.由折叠可得，/CBD=ZC'BD,•/AD//BC,•••/ADB=ZCBD,•••/EDB=ZEBD,•BE=DE.BC【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.(8分)在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元)，并绘制成下面的统计图.(1)本次调查的样本容量是30，这组数据的众数为10元;(2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.【分析】(1)由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5=30,由众数的定义即可得出结果；(2)由加权平均数公式即可得出结果；(3)由总人数乘以平均数即可得出答案.【解答】解：(1)本次调查的样本容量是6+11+8+5=30,这组数据的众数为10元;故答案为：30,10;(2)这组数据的平均数为=12（元）;306X5+11X10+8X15+5X20(3)估计该校学生的捐款总数为600X12=7200(元).【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用•读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键•条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据•本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想.(8分)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是2;3(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)第20页（共30页）第20页（共30页）【分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或CTOC\o"1-5"\h\z型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率.【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，•••盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是-;3故答案为：3；共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C,C和A,21••拼成的图形是轴对称图形的概率为=-.63【点评】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30-x）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可.【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30-x）个零件，TOC\o"1-5"\h\z「心宀中180120由题意得：=-??30-??解得：x=18,经检验：x=18是原分式方程的解，则30-18=12（个）.答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件.【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验.25.(8分)如图，在？OABC中，OA=2v2，/AOC=45°，点C在y轴上，点D是BC的??中点，反比例函数y=??(x>0)的图象经过点A、D.(1)求k的值；(2)求点D的坐标.【分析】(1)根据已知条件求出A点坐标即可；(2)四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB丄x轴，可知B的横纵标为2,D点的横坐标为1,结合解析式即可求解；【解答】解：(1)vOA=2v2，/AOC=45°,二A(2,2),/•k=4,4•-y=??(2)四边形OABC是平行四边形OABC,AB丄x轴，•B的横纵标为2,•••点D是BC的中点，D点的横坐标为1,•-D(1,4);【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B的横坐标是解题的关键.26.(10分)【阅读】数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方第21页(共30页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共30页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共30页)“算两次”也称做富比尼法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”原理，是一种重要的数学思想.【理解】如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；如图2,n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=1+3+5+7+…+2n-1.;【运用】n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时，如图3,最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7.当n=4,m=2时，如图4,y=6;当n=5,m=3时，y=9;对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=n+2(m-1)(用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.Tn-.♦;・>|•犁3•_••一•一—【分析】(1)此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理.(2)由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2,每层棋子分别为1,3,5,7,…，2n-1•故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答.2部分，即(3)根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加可得出结论.TOC\o"1-5"\h\z112【解答】解：(1)有三个Rt△其面积分别为ab,-ab和-c2.221直角梯形的面积为-(a+b)(a+b).21112由图形可知：-(a+b)(a+b)=2ab+7ab+«c222222222整理得(a+b)2=2ab+c2,a'+b'+2ab=2ab+c‘，•••a2+b2=c2.故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2=c2.(2)n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2,每层棋子分别为1,3,5,7,…,2n-1.2由图形可知：n2=1+3+5+7+…+2n-1.故答案为1+3+5+7+-+2n-1.②算法I.y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n边形内部共有(3y-n)+2条线段；算法n.n边形内部有1个点时，其内部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有n+3(m-1)条线段，由(3y-n)+2=n+3(m-1)化简得：y=n+2(m-1).故答案为：①6,3;②n+2(m-1).【点评】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键.227.(10分)如图，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为0C的中点，点P在抛物线上.b=2;若点P在第一象限，过点P作PH丄x轴，垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；若点P的横坐标小于3,过点P作PQ丄BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且S^PQB=2SaQRB,求点P的坐标.【分析】(1)把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值.(2)求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式.设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长.以PM=MN为等量关系列得关于t的方程，求得t的值合理(满足P在第一象限)，故存在满足条件的点P,且求得点P坐标.(3)过点P作PF丄x轴于F，交直线BD于E,根据同角的余角相等易证/EPQ=ZOBD,所以cos/EPQ=cos/OBD=空?，即在Rt△PQE中，cos/EPQ=???=在Rt△PFR5????5中，cos/RPF=需?：竽，进而得PQ=表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR.v5v5位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系,即列得关于t的方程•求得t的值要注意是否丁PE,PR=乏PF.设点P横坐标为t，可用t又由Sapqb=2Saqrb易得PQ=2QR.要对点P符合各种情况下t的取值范围.【解答】解：(1)・.•二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A(-1,0)•••—1-b+3=0解得：b=2故答案为：2.(2)存在满足条件呢的点P,使得PM=MN=NH.•••二次函数解析式为y=-x2+2x+3当x=0时y=3,•C(0,3)当y=0时，-x2+2x+3=0解得：X1=-1,x2=3•A(-1,0),B(3,0)•••直线BC的解析式为y=-x+3•••点D为0C的中点，3•-D(0,；)2•直线BD的解析式为y=-2??+2,TOC\o"1-5"\h\z213设P(t,-t+2t+3)(0vtv3),则M(t,—t+3),N(t,-尹+)，H(t,0)22131313PM=-t+2t+3-(-t+3)=-t+3t,MN=-t+3-(-^x+2)=-㊁t+㊁,NH=-㊁t+MN=NH•/PM=MN213t+3t=-qt+21解得：t1=2，t2=3(舍去)15P(415P的坐标为(-,—),使得PM=MN=NH.4(3)过点P作PF丄x轴于F,交直线BD于E3•••O吐3,OD=-，/BOD=90°3V5BD=V????+????=于,〜????32Vcos/OBD=?—■??==????3V552•PQ丄BD于点Q,PF丄x轴于点FPQE=ZBQR=ZPFR=90°PRF+ZOBD=ZPRF+ZEPQ=90°2V5EPQ=/OBD,即cos/EPQ=cos/OBD=5????2vk在Rt△PQE中，cos/EPQ=????=簣2V5•PQ=^PE5在Rt△PFR中，cos/RPF=???=稈第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）•••PR=????话=PF空52P11•SpQB=2SaQRB,SaPQB=2BQ?PQ,SXRB=?BQ?QR•PQ=2QR设直线BD与抛物线交于点G1321T-2??+2=-X+2X+3，解得：X1=3(即点B横坐标)，x2=-•••点G横坐标为-2设P(t，-t2+2t+3)(tv3),则E(t,-2t+3-)•PF=|—t2+2t+3|,PE=t2+2t+3-(-1t+|)|=|-t2+|t+-2|1①若-2vtv3,则点P在直线BD上方，如图2,2253•PF=-t+2t+3,PE=-t+2t+2•/PQ=2QR2PQ=§PR2v52v5PE=-?PF，即6PE=5PF5326(-t2+|t+2)=5(-t2+2t+3)解得：t1=2,t2=3(舍去)P(2,3)1若-1vtv-1，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3,此时，PQvQR,即卩S^pqb=2S\qrb不成立.若tv-1,则点P在x轴下方，如图4,PF=-(-t2+2t+3)=t2-2t-3,PE=-2t+|-(-t2+2t+3)=『-号卜3•/PQ=2QR•PQ=2PR2v5v5PE=2?PF，即2PE=5PF52•2(t2-头扌)=5(t2-2t-3)解得：ti=-4,t2=3（舍去）二p（-4，鳶）综上所述，点P坐标为（2,3）或（-£，-罟）•9h.图斗\JAIFO/03'y,f40RrA-/J]AO¥M5匮11'解一元二次方程，2）题影响而没有分PQ的长度的最大值【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，同角的余角相等，三角函数的应用•第（3）题解题过程容易受第（类讨论点P的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路.28.（10分）已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点，我们把线段第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共30页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共30页)称为平面图形S的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度.(1)写出下列图形的宽距：半径为1的圆：2;如图1,上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：_j+v5_(2)如图2,在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)、B(1,0),C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.若d=2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；若点C在OM上运动，OM的半径为1，圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于OM上任意点C,都有5PC,=Vi2+22=v5•PCW1+v5,•这个“窗户形“的宽距为1+V5.故答案为1+v5.（2）①如图2-1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分Si和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）.4Xohx團2-1•••点C所在的区域的面积为S1+S^=3n-2V3.②如图2-2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT丄x轴于T.A0囹L2•/AC