关于定积分概念的教学实验设计

  关于定积分概念的教学实验设计  卓相来a，张丰雪b，刘洪霞a，郭花a（山东科技大学a.数学与系统科学学院；b.矿业与安全工程学院，山东青岛266000）Summary：根据变化理论，我们设计了一个基于学习的教学研究模型（LSED模型）的协同教学实验。研究如何通过对不同的学习对象的处理来促进学生的概念学习。我们还讨论了LSED模型和变化理论在发展高等数学教学方法上的挑战和可能性。研究数据包括观察 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 和测验的成绩。学习结果的分析揭示：讲座的变化模式可以支持和增强大学生的数学学习，帮助学生识别和体验有关定积分概念的那些关键特征。我们也发现了几个利用多媒体技术来丰富学生的学习机会的可能性。Keys：定积分；实验设计；学习研究；变化G40-055：A：1674-9324（2015）35-0216-04课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 名称及其编号：山东科技大学公共基础课程教学改革项目-大学数学系列课程（项目编号：GJ201302）作者简介：卓相来，男，山东泰安人，教授，致力大学数学的教学与研究。定积分的概念最早出现在高中教材进入大学，我们才对积分进行系统讨论[1]。现有的教学研究[2-5]表明，尽管一些学生计算定积分的能力很强，但是他们对概念本身的理解可能会很差，因为大部分的学生甚至不能完整的书写定积分的定义。这说明有些学生在概念理解方面有困难。本研究的目的是，设计有关定积分概念的教学序列，以帮助我们提高大学生对定积分概念的理解。实验的理论框架基于变化原理，将在下节介绍。我们将寻求以下问题的答案：授课过程中出现哪些有关定积分概念的关键方面？我们怎样才能构成有关学习对象（定积分概念）的有效的变化模式，以支持学生辨别这些关键问题，并从中得到学习和提高？我们的教学序列实际上是一个“课例研究+实验设计”的综合模型（简称LSED模型）。LSED模型在两个主要方面超越通常的课例研究。首先是它的理论基础：教学设计是基于变分原理[6]。教学研究者和教师共同建立一个联合探究的框架。第二是对学习效果的 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 方法。在通常的课例研究中，对学习者理解效果的评估要经历一个漫长的发展过程，而在LSED模型中，我们立即可以得到一个直接的结果。一、LSED模型LSED模型[6，7]构成如下一个循环过程：·教师研究小组共同确定一个学习的对象（如定积分的概念）设计预测试题。·根据预测试的结果，研究小组设计第一个讲座。变化理论作为理论框架被用来设计讲座。·其中的一个教师负责进行第一次讲座。讲座被视频记录或被其他老师观摩（在我们的实验中，组内的全体老师观摩）。学生的学习效果通过讲座后的第二次匿名测试检验，测试题则是协同设计的结果。·测试结果和视频记录或曾经记录观察到的结果由研究小组进行分析。如果学生的学习效果达不到我们预期目标，教学研究小组将组织修订这次讲座，为下一组学生准备第二次讲座。·该组的另一个老师在另一个班实施新计划。在一个理想的状态下，这个循环过程将继续进行，直到学生的学习效果最优。共有6个研究人员参与设计和分析三个讲座，第7个对结果进行分析。【理论框架】变化理论是一个有关学习的理论，是基于现象描述的传统研究[8]。现象描述就是识别和描述人们在体验自然界中某些现象的不同的定性方式，尤其是在教育背景下。一个重要特性是它对学习对象的强烈关注。其核心是要识别学习对象不同方面，变化是一个先决条件。因此，教师在教学中如何表示学习对象，是学生学习的最有力的教学因素。为了理解什么是使学习在一个教学环境，而不是在另一个，研究者应该关注和识别在一节课中哪些需要变化，哪些需要保持不变。Marton等人在文献[6，7]中已经确定了四种变化模式或方法来讨论学习的对象：对比、泛化、分离和融合。下面的摘录揭示其本质：对比：为体验什么，一个人须经历一些其他的并与之比较。泛化：为充分理解什么是“月”，还须体验具有不同表现形式的“月”。分离：为体验某一对象的某一个方面，而且为区分这方面和其他方面，这“某一个方面”必须改变而其他方面则保持不变。融合：如果学习者必须同时考虑某一对象的几个关键方面，他们都须同时体验[6]。这些变化模式能为学生创造机会来理解基本的形式化的抽象概念。学习对象可从各种不同的角度来看：一个老师，一个学生或研究人员。预期的学习对象是从老师的角度来看。它包括老师说什么，让学生在讲座中学会什么。学生体验这些会以自己的方式，他们认识和学到什么被称为“生动的”学习对象。很明显，学生真正学到了什么并不总是符合老师的意图。制定实施的学习对象是从研究者的角度来看，它确定了什么是在讲座期间可能去学习的，学习到什么程度，以什么方式，一个特定的学习对象在课堂中实施的必要条件。制定的学习目标描述了学生和老师一起创建的学习空间，即，识别学习对象的关键方面的环境[6]。在变化理论中，学习的必要条件是识别、同时性和变化的体验。变化是支持学生学习的主要因素。为了解一名教师应该使用什么样的变化，他或她须首先意识到学生可以体验学习对象的不同方面。这些信息是必要的，识别潜在的方法助学生辨别他们以前没有注意到的方面。每个概念、现状和现象都有自己的特定方面。如果一方面变化而其他方面保持不变，变化的方面将会突显并被识别。深入了解学习的对象，例如一个数学概念，需要同时识别学习对象的所有关键方面。因此，识别、同时性和变化可以用来作为一种分析教学的三角框架[6]。实验方法：2013年下半年，教学实验在我校实施。111名大一新生（工程和经管类），七位教师参与该研究。数据包含介绍课程的三个讲座的照片，观察笔记。学生的学习效果用前后两次书面测试和面试的成绩测定。面试专注于参与者对定积分概念的理解。面试结果详尽地记录，用传统现象描述方法分析、研究：主要目标是描述从特定的现象得到了多少种定性不同的概念描述，而不是确定有多少人有一个特定的观念。本案例分析显示许多描述的类别，这代表学生理解定积分概念定性的不同方式。测试题包括六个问题，具体条目将在下面给出。两个测试使用同一套试题，是对学习结果统计比较。每个问题最高分3分。要得到3分，答案需要正确和具有良好的动机。计算的小缺点，扣1分。正确但不满意的回答，给1分。空或无意义回答得0分。测试时间30分钟。不允许使用任何技术设备。结果采用一款统计软件进行分析。人们自然要问是否在后测试观察到的改进是由于熟悉的问题，而不是讲座设计本身实现的结果？为了减少这种影响，我们并没有向学生揭示预测试的答案或者结果。他们做后测试并没有得到任何事先通知。此外，参与小组具有同等的教育背景，所有的学生来自工程或经管类大一新生，学相同课程。如何设计和实现每一堂课的更详细描述，将与研究 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一起给出，由于后续讲座的设计基于前一个讲座的分析，第一堂课被视为一个参考。它被准备是在不知道任何预先测试结果的前提下。二、测试问卷问题1：要计算由曲线，直线x=0、x=5和x轴之间图形的面积（见下图），你可以通过计算，然后求和每一列的面积，得到面积的一个近似值吗。（a）应该选择下列哪种图表使误差尽可能小？（b）解释你的答案。目的是测试学生的直观概念或概念的形象：将面积视为一个结果，一个极限过程（上黎曼和）。通过观察，每一列的宽度减少了一半，当我们从图1移动至图3，学生们应该能够辨别，表示面积的近似误差也在减少。问题2：是什么意思？旨在衡量学生是否熟悉定积分符号，如是，这符号能唤起他们定积分概念的形象。问题3：关于x和F（x）的近似值在下表给出：目的是测试是否这种问题能唤起学生有关定积分概念的意象与微积分基本定理的链接。该问题是测试学生能否应用定积分的附加性质。问题5：你能找到以下推理中的任何错误吗？问题6：确定由f（x）=x2和g（x）=x3所围图形面积。能给出面积精确值吗？该问题是测试学生应用微积分基本定理的过程技能。三、每堂课的进展情况1.第一讲。第一讲由第一个教师自己单独设计，对预先测试结果不知情。两位研究者观摩讲座。第一组作为参照组，仅包括工程类学生。讲座从讨论面积以及如何计算常见图形如矩形面积开始。然后，讨论不规则图形面积。此时介绍Σ符号（求和）和上、下黎曼和的概念。最后，以演示如何计算在X轴上面和曲线y=ex下面的区域面积，在讨论中，应用定理的条件没有明确提到。课后，学生进行匿名测试。2.第二讲。第二讲之前，分析观摩和测试结果，确定以下三个关键方面。首先注意到，回答问题2的大多数学生，把定积分仅解释成面积而不是一个数，可以负，零或正。第二，两次测试结果表明，学生在识别应用微积分基本定理的条件时感到困难，尤其是在不可能应用微积分基本定理的情况（问题5）。第三，大多数学生在解决常规问题时失误（问题6）。基于这些信息，我们修改了在下一讲有关这三个关键方面的变化模式，以便让学生更容易辨别正确的方面。第二讲由课题组的一位教师进行，对应由工程和经管类学生组成的混合组。第二讲从讨论面积的概念以及图形面积开始。然后，通过讨论一个典型的例子介绍定积分概念。同时解释了问题的几何意义，问题通过使用微积分基本定理得以解决，强调了其应用的条件。然后，通过研究函数f（x）=2x和g（x）=x2的图形（如图4），讨论了同一问题的另一种变化。此外，为了让学生有针对性的体验“泛化”和“分离”，特别使用两种不同的方法来解决同样的问题。为解释如何在一般情况下理解定积分，我们构造一个具有负值函数定积分的例子，强调“对比”的体验。讲座结束时，通过生动的图像来研究实例，以强调应用微积分基本定理的必要条件。强调“分离”和“融合”的体验。3.第三讲。第二组学生测试结果（表2）表明，对定积分概念的理解仍然不足，尽管我们已经看到一些统计上的显著改善。大部分的学生再次把定积分解释为一个面积。同样，应用微积分基本定理的条件等相关的问题（问题5）依然存在；同样的问题出现在解决常规问题中（问题6）。为获得详细信息，考察学生对定积分概念的理解，对10个来自第二组的学生进行面谈。访谈的分析显示三种不同类型的描述：定积分被视为（1）一个极限过程；（2）一个面积或；（3）一个程序。第一类：定积分概念专注于极限过程，图形面积的近似是通过分解成薄的垂直矩形完成。其中一个学生通过以下方式描述其过程：“随着列数无限接近，误差明显降低，纵列边将越来越像曲线。”本节选和讲座1，2的测试结果表明，将定积分看做极限过程，一些学生对此有一个比较好的直观了解。第二类：代表图形面积。“是介于y=0和y=f（x）之间在区间[a，b]上的区域的面积”。大多数学生，在两次测试时，以这种或类似的方式描述定积分。第三类：把定积分描述为一个过程或程序。对他们来说，定积分似乎只是一个 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。“这我曾在高中学习过。你写下带括号的原函数，我把终点的值减去起点的值，那么这只是一个简单的减法”。另一个学生说，当看到问题5，“它看起来就像一个普通的积分计算。这是正确的…”。这些学生在访谈中提到，中学时，定理并没有从理论的角度去讨论，更像一个公式被应用。实施第三次讲座的教师与第二个讲座的相同，面对仅有工程类学生组成一个新组。用多媒体做的第一个练习专注于面积作为上、下黎曼和的数值逼近和定积分作为一个极限过程。保持f（x）和区间不变，改变子区间数目。目的就是通过增加子区间数目，上、下黎曼和之间的差异可以减少，假设上、下黎曼和与定积分的值最终一致。利用多媒体技术，我们创建了动态的“泛化”教学模式。多媒体软件给了我们一个很好的机会来动态演示“对比”，这是其中的一个变化模式。第二次应用多媒体，我们只保持f（x）不变，而改变区间的长度和上、下极限点，以显示图形面积与定积分的值并不总是一致。第三个练习是对微积分基本定理条件的说明，针对问题5。目标是帮助学生辨别：什么时候可以应用微积分基本定理。利用多媒体的动态特性，能够展示所有的变化，即“对比”、“泛化”、“分离”和“融合”。4.测试结果定量分析。利用统计软件[9]。5%显著性水平，利用独立双边两样本t检验（讲座1）和不独立双边成对样本t检验（讲座2和3），分别分析了前、后两次测试的分数。在第一节课前和后的测试中，参与者的人数分别是36和32。我们只是在同组层面记录每个项目在前和后两次测试的结果，这也解释了为什么我们对这一组使用不同的t检验。接下来的讲座，比较各个项目的测试结果。第二组学生（30/30）由工程和经管类学生组成，第三组（45/45）只有工程类学生。表1和2显示分析结果。表1显示：第一堂课学习结果在统计学上没有显著差异。表2所示，第三堂课最成功：许多测试项目有统计意义上的改善。学生在问题（1a）和（1b）的分数表明，学生直观了解定积分概念作为一个无限过程开始很好。几乎所有学生都未能对问题5恰当应答；大多数甚至不能找到任何错误。问题6中，多数学生无法辨别哪些函数代表上、下函数，或者如何确定函数之间的交点或如何给出确切答案。四、结论本研究表明：不同教学方法对学生的学习效果有很大影响。最大成功是使用多媒体软件设计定积分概念的教学，用于动态演示过程、创建变化的教学模式，可以让学生同时体验许多重要的方面。问题6没有提供显著的帮助，是由于多媒体软件不能用于补偿学生计算技能的缺乏。结果表明，大多数学生对应用微积分基本定理感到特别有困难，特别是当定理的条件并不满意。为了体验一个特定的方面—当不能直接应用微积分基本定理时—为了区分这方面和其他方面，这个方面必须改变，而其他方面依然保持不变。在教学序列中，我们保持区间的长度以及函数f（x）不变，通过沿着x轴移动点a，我们可以改变被观测的区间的位置。相同的教学序列，再次给学生们提供了一个机会去体验被称为“融合”的变化模式，即如果有几个关键方面，像“应用微积分基本定理是可能的”、“应用微积分基本定理是不可能的”、“函数在有界闭区间上是有定义和连续的”等，他们都必须同时被体验。问题5表明，他们应用定理的条件观念或意识经第二次讲座之后并没有改变。只有基于多媒体技术的教学序列，我们才注意到他们的结果有一些统计意义上的显著改善。学生们甚至在采访中提到，定理并没有从理论的角度去讨论；他们只是被当作公式来用。学生们在解决问题时不必考虑定义和定理。为了更好地理解定积分的概念，在教学中重要的工作是，对于数学概念的不同方面，我们要通过有关概念的实例和反例来表现。然而，我们同时也发现了另一个关键的方面，学生们相对薄弱的算术技能（问题6）阻止他们获得有关数学现象的更深层次的概念理解。用不同的方法来解决这类问题被应用在第二和第三课中，但效果一般。总之，我们不是很满意学生在这项研究中的学习成果。需要进行进一步的研究来确定：哪些其他的因素（与积分技巧以及在数学教学和学习中使用的模型比较）更能使数学教育工作者和学生都可以从中受益。必须再次强调，“教”和“学”是非常复杂的现象，它们之间的关系并不是“一对一”。在像我们这样的教学试验中，分析在教室里到底发生了什么，这里指的是在老师和学生之间以及学生之间的互动，也将是重要的。如果考虑到学生对数学概念的误解，一个好的教学试验设计甚至并不能保证学生的学习，但它至少可以增加学生学习机会的可能性。最后，这项研究给了我们一个难得的机会，使我们在设计、准备讲座以及在教学实施过程中与同事合作。共同反思和分析学生的学习是一个有益的探索。我们都同意该教学模型和变化理论是使数学教学更好发展的有效工具，它可以提高教师对学生学习关键环节的把握，丰富大学生数学学习的机会。Reference：[1]高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.[2]林群.微积分让数据说话[J].数学教育学报，2013，22（5）：1-3.[3]王光明.关于数学教育学科课程设置的一些思考[J].数学教育学报，1997，6（4）：16-19.[4]李红玲.现有大学文科数学教材中存在不足的思考[J].数学教育学报，2012，21（1）：92-94.[5]高雪芬，胡觉亮.《数学与科学进步》课程的设计与实施[J].数学教育学报，2012，21（1）：92-94.[6]Marton，F.，Runesson，U.，&Tsui，A.Thespaceoflearning.InF.MartonandA.Tsui（Eds.），Classroomdiscourseandthespaceoflearning（pp.3-40）.（2004）.NewJersey：LawrenceErlbaumAssociates，INCPublishers.[7]Marton，F.，&Tsui，A.Classroomdiscourseandthespaceoflearning.M（2004）.ahwah，NJ：LawrenceErlbaum.[8]Marton，F.，&Booth，S.Learningandawareness.1997.Mahwah，N.J.：LawEarlbaum.[9]概率论与数理统计[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008. -全文完-