延庆区高三模拟考试试卷数学 2020.3 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将
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答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数是正实数，则实数的值为 （A） （B） （C） （D）（2）已知向量，，若与方向相同，则等于（A） （B） （C） （D）（3）下列
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
中最小正周期为的函数是 （A） （B）（C） （D）（4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（A） （B）（C）（D）11正（主）视图11侧（左）视图俯视图（5）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的
表
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面积为 （A） （B） （C）（D） （6）的展开式中，的系数是 （A） （B） （C） （D）（7）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（A） （B） （C）（D）（8）已知直线，平面，，，，那么“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）（A） 年 （B）年 （C）年 （D）年（10）已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且，则的面积为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知集合，且，则的取值范围是．（12）经过点且与圆相切的直线的方程是．（13）已知函数，则．（14）某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.（15）在中，，是边的中点.若，，则的长等于；若，，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）OEDACBP如图，四棱锥的底面是正方形，，，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：和所成角等于.（17）（本小题14分）已知数列是等差数列，是的前n项和，，.（Ⅰ）判断2024是否是数列中的项，并说明理由；（Ⅱ）求的最值.从①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。（18）（本小题14分）A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）： A班 12 13 13 18 20 21 B班 11 11.5 12 13 13 17.5 20 C班 11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.（19）（本小题14分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求的取值范围.（20）（本小题15分）已知椭圆的左焦点为，且经过点，分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.（21）（本小题14分）在数列中，若，且（），则称为“J数列”.设为“J数列”，记的前项和为.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）证明：中总有一项为或.延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考一、选择题:（每小题4分，共10小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2．D．3．D4．C5.B6．B7．A8.C9.B10.A二、填空题:（每小题5分，共5小题，共25分）11．；12.；13．；14．；15．.三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）EDACBPFO16.（Ⅰ）联结，设与交于，联结，…………1分因为平面，平面平面=,所以…………4分因为是正方形，所以是的中点所以是的中点…………6分（Ⅱ）（法一）因为平面，所以…………7分因为是正方形，所以因为所以平面…………10分所以因为因为所以平面…………13分因为平面所以所以与成角.…………14分（法二）连接，因为平面，所以，.因为是正方形，所以.所以两两垂直.以分别为、、建立空间直角坐标系.………8分则，，，，，,………10分………13分所以所以与成角.………14分17.解：选①（Ⅰ）因为，所以…………2分所以…………4分所以…………6分令，则此方程无正整数解所以不是数列中的项.…………8分（Ⅱ）（法一）令，即，解得：当时，当时，…………11分当时，的最小值为.…13分无最大值…………14分（Ⅱ）（法二），…………11分当时，的最小值为.…13分无最大值…………14分选②（Ⅰ），…………2分…………4分…………6分令，则解得是数列中的第512项.…………8分（Ⅱ）令，即，解得：当时，当时，当时，…………11分当或时，的最小值为.…………13分无最大值…………14分选③（Ⅰ），…………2分…………4分…………6分令，则（舍去）不是数列中的项.…………8分（Ⅱ）令，即，解得：当时，当时，当时，…………11分当或时，的最大值为.…………13分无最小值.…………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样
方法
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，班的学生人数估计为．…………3分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+2+4=9种，…………6分.…………7分由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为.……………8分（Ⅲ）设从班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有人一周上网超过15小时为事件,从班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件则所求事件的概率为：.……………14分（Ⅲ）另解：从A班的6人中随机选2人，有种选法，从B班的7人中随机选1人，有种选法，故选法总数为：种……………10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，则中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人超15小时，……………11分所以.……………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：.切线的斜率；曲线在原点处的切线方程为：.……………5分（Ⅱ）……………7分（1）当则……………9分 0 （0，） （） 0 递增 递减法1：……………10分在恒成立，.……………13分所以的取值范围为.……………14分法2：；……………10分当时，，，；即时，；时，，所以的取值范围为.……………14分（2）当.则 0 （0，） （） - 0 + 递减 递增法1：.在恒成立，.综上：的取值范围是.法2：；当时，，，；即时，；时，，综上：的取值范围是.20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）法一：依题意可得解得所以椭圆的标准方程为.…3分法二：设椭圆的右焦点为，则，，，，所以椭圆的标准方程为.…3分（Ⅱ）因为点在第一象限，所以直线的斜率存在，…4分设直线的斜率为，则直线的方程为，设直线与该椭圆的交点为由可得，…5分易知，且，…6分则…7分，所以(负舍)，所以直线的方程为.…8分（Ⅲ）设，，则，易知，.由，，所以直线的方程为.…9分若使的面积是的面积的4倍，只需使得，…10分法一：即①.…11分设直线的方程为，由得，…12分由得，，…13分代入①可得，即：解得，所以.…15分法二：所以，即.…11分设直线的方程为，由得，…12分所以，因为点在椭圆上，所以，…13分代入可得，即：解得，所以.…15分法三：所以，即.…11分点在线段上，所以，整理得，①…12分因为点在椭圆上，所以，②把①式代入②式可得，解得.…13分于是，所以，.所以，所求直线的方程为.…15分21.解：（Ⅰ）当时，中的各项依次为，所以.…………………………3分（Ⅱ）①若是奇数，则是偶数，，由，得，解得，适合题意.②若是偶数，不妨设，则.若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.综上，.…………………………8分（Ⅲ）首先证明：一定存在某个，使得成立.否则，对每一个，都有，则在为奇数时，必有；在为偶数时，有，或.因此，若对每一个，都有，则单调递减，注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个，使得成立.经检验，当，或，或时，中出现；当时，中出现，综上，中总有一项为或.…………………………14分高三年级（数学）第5页（共4页）
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