大学物理第二章

PAGE第2章　习题一、填空题质量为的箱子放在卡车底板上，箱子与底板间的静摩擦系数为，滑动摩擦系数为。⑴当卡车以加速度加速行驶时，作用在箱子上摩擦力的大小为　　　　　；⑵当卡车以的加速度行驶时，作用在箱子上的摩擦力大小为　　。箱子在最大静摩擦力的作用下，相对地面具有的最大加速度为（1）若设箱子相对卡车静止，即物体相对地面的加速度表明箱子与卡车底板间是静摩擦，摩擦力的大小为（2）依然设箱子相对卡车静止，即物体相对地面的加速度表明箱子与卡车底板间是滑动摩擦，摩擦力的大小为倾角为的斜面体静止放置在水平桌面上，一质量为的物体沿斜面以的加速度下滑，斜面体与桌面间的静摩擦力为　　　。如图2-1(a)所示，建立直角坐标系，再分析滑块的受力情况，如图2-1(b)所示，滑块受到三个力的作用，分别是地球施加的重力，斜面对它的支持力和滑动摩擦力，并设其加速度为。而关于斜面的受力情图2-1(a)况则如图2-1(c)所示，斜面受到5个力的作用，分别是地球施加的重力，地面对其的支持力图2-1(b)图2-1(c)和解摩图2-1(a)擦力，滑块对它的压力和滑动摩擦力。将牛顿第二定律分别应用于滑体和斜面，得两式相加，注意到和可得上式在x轴上的投影式为两根质量忽略不计的弹簧，原长都是，第一根弹簧挂质量为的物体后，长度为，第二根弹簧挂质量为的同一物体后，长度为，现将两弹簧并联，下面挂质量为的物体，并联弹簧的长度为　　　　。设并联的两弹簧劲度系数分别为和，在拉长后产生的弹性力应为两弹簧各自产生的弹性力与之和，即若将并联的两弹簧等效为一个弹簧，则有所以等效的那个弹簧的劲度系数为（2-2）依题设，有（2-3）（2-4）（2-5）联立（2-2）～（2-5），可解出再注意到，，，所求并联弹簧的长度为沿长度为的斜面将质量为的物体拉上高的汽车车厢底板，物体与斜面间的摩擦系数为，所需的拉力至少为　　。受力分析如图2-2所示，所求最小拉力即是使得物体滑动平衡的拉力，故有图2-2（a）图2-2（b）以地面为参考系，建立xOy直角坐标系，x轴沿拉力F方向，y轴沿支持力N的方向，则上式可分解为：其中，，可解出所求拉力为：用长度为的细绳系住盛有水的小桶，杂技演员令其在竖直面内作圆周运动，为使桶内的水不致泼出，小桶在最高点的速度至少应等于　　　　　　　。选小桶为参考系，最高点处水相对于桶静止，表明水所受的惯性力与重力平衡，即可解出所求速度至少为质量为的物体以的加速度下降，物体所受空气的阻力为　　。取竖直向下方向为x轴，则有所求空气阻力为电梯起动或制动过程可近似视为匀变速运动，电梯底板上放有质量为的物体，当电梯被制动，以的减速度上升时，物体对电梯底板的压力为　　　。取电梯为参考系，并取竖直向下为x轴方向，因物体相对于电梯静止，故其中是物体受到的惯性力，是电梯相对于地面的加速度。又物体对电梯的压力与电梯对人的支持力是作用力与反作用力的关系，有，所以如果你在赤道上用弹簧秤测量自己的体重，假设地球自转变慢，则测得的体重将　　。（填变大，或变小）因地球自转变小，人受到的惯性力（沿离心方向）变小，要保持平衡，要求磅秤对人的支持力变大，所以测得的体重将变大。在光滑的水平桌面上并排放置两个物体和，且互相接触，质量分别为，，今用的水平力作用于物体，并通过物体作用于物体，则两物体的加速度a=　　，对的作用力=　　　，对的作用力=　　。受力分析如图2-3所示图2-3（a）图2-3（b）图2-3（c）设两体水平向右的共同加速度为a，取其方向为x轴，则对A有对B有联立以上两式，并注意到，可解出两物体的加速度为B之间的作用力为二、选择题下面的说法正确的是：（）A.合力一定大于分力；　　　　B.物体速率不变，则物体所受合力为零；C.速度很大的物体，运动状态不易改变；D.物体质量越大，运动状态越不易改变。质量大，惯性大，选D用细绳系一小球，使之在竖直平面内作圆周运动，当小球运动到最高点时：（）Ａ.　小球受到重力、绳子拉力和向心力的作用；Ｂ.　小球受到重力、绳子拉力和离心力的作用；Ｃ.　绳子的拉力可能为零；Ｄ.　小球可能处于受力平衡状态。向心力，离心力不是”真实”的力，小球做圆周运动，不可能受力平衡，所以选C；将质量分别为和的两个滑块和置于斜面上，A和与斜面间的摩擦系数分别是和，今将和粘合在一起构成一个大滑块，并使它们的底面共面地置于该斜面上，则该大滑块与斜面间的摩擦系数为：（）A.　B.C.D.设斜面与地面的夹角为，两滑块各自受到斜面的支持力分别为和相应的摩擦力分别为和所以，两滑块作为共同体，受到斜面的支持力为斜面对它的摩擦力为所以该共同体与斜面的摩擦系数为选D将质量为和的两个滑块和分别连接于一根水平轻弹簧两端后，置于水平桌面上，桌面与滑块间的摩擦系数均为。今作用于滑块一个水平拉力，使系统作匀速运动。如果突然撤去拉力，则当拉力撤销瞬时，滑块，的加速度分别为：（）A.　B.C.　D.拉力未撤销时，两个滑块的受力情况如图2-4所示：滑块P受到5个力的作用，分别为重力，地面对它的支持力和滑动摩擦力，拉力，弹簧施加的弹性力。而滑块Q受到4个力的作用，分别为重力，地面对它的支持力和滑动摩擦力，弹簧施加的弹性力。由于系统作匀速运动，所以对滑块P有对滑块Q有在地面上建立直角坐标系，取水平向右方向为x轴，竖直向上方向为y轴，则前两式在y轴上的分量式为和于是和图2-4（a）而x轴上的分量式为和（2-7）刚撤除拉力时，作用于滑块的其他力还未改变，设滑块P，Q分别出现沿x轴的加速度和，则前两式可改写为（2-8）（2-9）图2-4（b）联立（2-7）～（2-9），并注意到，可解出滑块P的加速度为而滑块Q的加速度为选D。质量相同的物体和分别连接在一根轻弹簧两端，在物体上系一细绳将整个系统悬挂起来。当平衡后，突然剪断细绳，剪断细绳瞬时，物体和的加速度分别为：（）A.　　　　　B.C.　　　D.取固定在地面上竖直想下方向为x轴。绳未断时，两物体的受力情况如图2-5所示，物体A受到3个力的作用，分别为重力，绳子的拉力和弹簧的弹性力。而物体B受到两个力的作用，分别为重力，弹簧的弹性力。两物体处于平衡状态，所以有（2-10）刚剪短绳子时，绳子的拉力消失，而作用在两物体上的其他力还未变化，设物体A，B分别出现沿x轴的加速度和，则前两式可改写为（2-11）（2-12）图2-5（a）图2-5（b）联立（2-10）～（2-12），并注意到和，可解出物体A的加速度为而物体B的加速度为选C。长为、质量为的一根柔软细绳挂在固定的水平钉子上，不计摩擦，当绳长一边为、另一边为时，钉子所受的压力是：（）A.B.C.D.考虑的特殊情形，显然绳静止。绳子受到的压力，仅A，B选项符合。而在时，绳子可能有加速运动，一般不成立，所以选B。为严格起见，详为推导如下。由于与钉子接触的任一绳元所受钉子的压力均垂直于绳元的运动方向，而且忽略摩擦，所以钉子施于绳的压力并不能对绳运动的加速度产生影响。以整条绳子为研究对象如右图所示，无妨设，则有可解出整条绳子的加速度为（2-13）现把绳分为b，c两段，并把钉子对绳b和绳c的压力分别记为和，如图2-7所示，则有图2-6图2-7（a）图2-7（b）图2-7（c）两式相加，并注意到，得考虑到，，，前式可以化简为由于，均在竖直方向，故也在竖直方向，且竖直向上，现取固定在地面上竖直向下方向为x轴，则有（2-14）联立（2-13）和（2-14），可解出所以选B。升降机底板上放着一只盛有水的杯子，一木块浮在杯内水中，此时水面恰与杯口齐平。当升降机由静止开始加速上升时，杯内的水：（）A.仍保持水面与杯口齐平；B.将溢出；C.水面下降；D.溢出还是下降要视加速度大小而定。当升降机以加速度上升时，在升降机这一非惯性系内观察升降机内物体的运动时，等效的重力加速度变为，即方向保持不变，但大小变为原来的倍。所以依据阿基米德浮力定律——浸没在液体中的物体所受浮力等于物体所排开液体的重量。现在木块的“重量”变为原来的倍，但是在排出的水量不变的情形下，这些水的重量也增大为原来的倍，刚好与木块的新“重量”抗衡。所以选A。半径为的圆弧形状公路，外侧高出内侧的倾角为，要使汽车通过该段路面时不引起侧向摩擦力，汽车行驶速率应为：（）A.B.C.D.对汽车进行受力分析，它受到重力，路面的支持力和侧向摩擦力，设此时汽车作圆周运动的向心加速度为，则有其中向心加速度的大小为（2-15）依题设，侧向摩擦力，故如图2-8所示，建立直角坐标系，则上式化为可解出（2-16）联立（2-15）和（2-16），所求汽车行驶速率为选C。图2-8在电梯中用弹簧秤测物体重力。电梯静止时，弹簧秤指示数为，当电梯作匀变速运动时，弹簧秤指示数为，若取，该电梯加速度的大小和方向分别为：（）A.，向上；B.，向下；C.，向上；D.，向下。电梯静止时，弹簧秤示数为500N，表明物体的质量当电梯作加速度为的变速运动时，取电梯为参考系，对静置于电梯的物体进行受力分析，如图2-9所示，物体受到重力和弹簧秤对它的支持力的作用，由于电梯为非惯性参考系，在讨论物体的动力学行为时，必须计入惯性力，即有在电梯上选竖直向上方向为x轴，则所求电梯加速度为，方向竖直向下。选B。图2-9当两质点之间的距离为时，两质点之间的相互吸引力是，若将它们之间的距离拉开到，该两质点间的相互吸引力为：（）A.B.C.D.两质点间万有引力的大小当距离从变化到后，引力变成原来的1/4，所以选A。若将地球视为半径为的均匀球体，地球表面重力加速度为，距地面高度为处重力加速度为，则等于：（）A.B.C.D.设地球质量为，一质量为的物体置于地球表面处，则其所受重力为地球对它的万有引力，故当物体距地面高度为时，则有由以上两式可解出所求高度选D。下面说法正确的是：（）A.静止或做匀速直线运动的物体一定不受外力的作用B.物体的速度为零时一定处于平衡状态C.物体的运动状态发生变化时，一定受到外力的作用D.物体的位移方向一定与所受合力方向一致运动状态（即速度）发生变化时，必然有加速度，而产生加速度的原因是受到外力作用，选C。一个物体只受一个恒力作用，则此物体一定作：（）A.匀加速直线运动；B.匀速圆周运动；C.平抛运动；D.匀变速运动。恒力产生恒加速度，所以选D。三、计算题质量为的物体放置在水平面上，今以的力推物体，已知推力的方向与铅垂线成夹角，物体与水平面间的摩擦系数为，求物体的加速度。解：对物体进行受力分析如图2-10所示，该物体受到4个力的作用，即重力和推力，地面对它的支持力和摩擦力，设物体有水平向右的加速度，则有在图示的坐标系下，上式即为注意到和，可求出物体的加速度为图2-10补充：满足与竖直方向夹角为的推力还有的情形，此时物体的加速度仍可由上式求出为总质量为的空气球以加速度竖直下落，问必须从气球吊篮中扔掉多少沙袋才能使气球以加速度竖直上升解：如图2-11所示，设必须扔到的沙袋质量为，气球的浮力为，在地面上取重力加速度方向为x轴方向，则扔沙袋前扔沙袋后上两式联立，可得所求沙袋质量为图2-11（a）图2-11（b）一木块能在与水平面成角的斜面上匀速下滑，若令该木块以初速度沿此斜面向上滑动，试求木块能沿此斜面向上滑动的最大距离。解：如图2-12（a）所示，木块沿斜面匀速下滑时，有其中图2-12（a）可解出摩擦系数木块向上滑动时，其受力分析如图2-12（b）所示，有其中可解出物体运动的加速度为图2-12（b）当物体以初速，匀加速沿斜面向上滑动，至最高点瞬间静止，有所求最大距离为桌面上放着质量为的木板，木板上放着质量为的物体，物体与木板之间及木板与桌面之间的静摩擦系数均为，滑动摩擦系数均为。求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以的加速度运动，试计算物体与板、板与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力解：如图2-13（a）所示，在地面上建立直角坐标系xOy。对物体和木板分别进行受力分析并如图2-13（b），（c）所示，物体受到3个力的作用，分别为重力，木板对它的支持力和摩擦力。而木板受到6个力的作用，分别为拉力，重力，地面对它的支持力和摩擦力，物体对它的压力图2-13（a）和摩擦力。设物体和木板分别有图示的加速度和，则对物体有（2-17）对木板则有（2-18）其中，。（1）当物体和木板以共同的加速度运动时，，且它们之间相对静止，两者之间的摩擦力为静摩擦力，由（2-17）式，可得木板对物体的支持力为，方向竖直向上，木板对物体的静摩擦力为方向与拉力方向相一致。由（2-18）式，可得地面对木板的支持力为方向竖直向上，地面对木板的滑动摩擦力为图2-13（b），方向与拉力方向相反。（2）考虑物体和木板原来静止，逐渐加大拉力的过程：（i）当拉力较小时，物体和木板在地面对木板的静摩擦力的作用下仍然保持静止，直至拉力增大到地面能施予木板最大静摩擦力时，木板才到运动的临界状态，此时，木板与物体间无摩擦力，即，联立式（2-17）和（2-18），可得拉力为（ii）当拉力在基础上继续增大，木块将相对地面滑动，但物体仍相对木块静止，它们之间存在静摩擦力的作用，只有当静摩擦力达到最大时，木板才到相对物体运动的临界点，此时，，联立式（2-17）和（2-18），可得图2-13（c）此时拉力为（iii）当拉力在基础上继续增大，则木板和物体间将会发生相对运动，它们之间的摩擦力是滑动摩擦力，则，木板与地面间也是滑动摩擦力，，由（2-17）式可得物体受到木板的支持力为而物体的加速度为再由（2-18）式，可得木板受到地面的支持力为而木板的加速度为木板要从物体下面抽出，须把关于和的表达式代入上式，可得综合（i）～（iii）的分析，要把木板从物体下抽出，拉力至少是以上三种情形的最大值，即用轻细绳将质量为、和的物体、和依次连成一串，置于光滑水平桌面上。今在物体上作用一大小等于的水平拉力，拉力的方向与连接物体的细绳在同一条直线上。试求绳中的张力。解：如图2-14（a），在地面上取x轴，分别对物体C，B和A作受力分析并如图2-14（b）～（d）所示，并设三物体沿x轴正向有共同的加速度，则对C物，有图2-14（a）对B物，有对A物，有以上三式联立，并注意到，，可解出图2-14（d）而A物和B物间绳子的张力为而B物和C物间绳子的张力为图2-14（b）图2-14（c）质量为的小车可以在水平面上无摩擦地运动，小车上面放着质量为的木块，木块与小车间的滑动摩擦系数为，静摩擦系数为。（1）若在木块上作用的水平拉力时，木块与小车间的摩擦力为多少木块和小车各以多大的加速度运动（2）若作用在木块上的水平拉力为时，木块与小车间的摩擦力为多少木块与小车的加速度如何解：如图2-15（a），在地面上建立xOy轴，分别对小车和木块作受力分析并如图2-15（b），（c）所示，设小车和木块各有沿拉力方向的加速度和，则对小车，有（2-19）对木块，有（2-20）图2-15（a）其中，。为判断木块与小车之间摩擦力的属性，先假定木块和小车相对地面静止，而拉力从0开始增加，则木块与小车间相对静止，它们之间是静摩擦力，直至拉力增大到使得木块与小车间有最大静摩擦力，此时即是木块与小车发生相对运动的临界点，则由式（2-19）和（2-20），可得两物共同的加速度为而此时拉力为图2-15（b）由此可知，若拉力小于，则木块与小车间是静摩擦力，若拉力大于，则木块与小车间是滑动摩擦力。（1）拉力，木块与小车间是滑动摩擦力，由式（2-19）和（2-20），可得木块与小车间的摩擦力为小车的加速度为图2-15（c）木块的加速度为（2）拉力，木块与小车间是静摩擦，由式（2-19）和（2-20），可得两物的共同加速度为木块与小车间的静摩擦力为计算题2.3.7图示AB一根不可伸长的轻细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为和的物体和。先用手托住物体，使和都静止，然后释放，求物体的加速度和运动方程。（滑轮质量不计）解：设A物和B物的加速度分别为和，并对它们作受力分析如图2-16所示，在地面上取竖直向下方向为x轴，则对A物，有对B物，有注意到和，所求物体A的加速度为设A物的初始位置为，任意时刻的位置为，因从静止出发，作匀加速直线运动，所以其运动方程为图2-16质量为的物体放在倾角为的斜面上，物体与斜面间的摩擦系数为。今以水平力推物体。（1）多大时物体可沿斜面向上匀速滑动（2）多大时物体沿斜面向下匀速滑动解：如图2-17所示建立直角坐标系，并对物体进行受力分析。（1）当物体沿斜面向上匀速滑动时，有其中滑动摩擦力则所求水平推力为（2）当物体沿斜面向下匀速滑动时，物体受到斜面的滑动摩擦力改为沿斜面向上，则有图2-17其中滑动摩擦力仍为则所求水平推力为原长、劲度系数为的轻弹簧一端固定，另一端系质量的小球，小球和弹簧以恒定角速度在水平面内作圆周运动。求小球作圆周运动的半径及小球所受弹性力的大小。解：设小球做圆周运动的半径为，则弹簧伸长，由此产生的弹性力为而这就是小球做圆周运动的向心力，即由以上两式可解出小球做圆周运动的半径为其中无量纲参数小球所受弹性力的大小为其中无量纲参数的定义同上。计算题2.3.10图示在光滑的水平桌面上放着两个用细绳连接的木块和，它们的质量分别是和，今以水平恒力作用于木块上，并使它们一起向右运动，如图所示。求连接体的加速度和绳子的张力。解：如图2-18所示，在地面上取x轴，并设连接体的共同加速度为，对A，B两物体进行受力分析后，可知对A物，有对B物则有图2-18（a）图2-18（b）图2-18（c）联立以上两式，并注意到，可解出连接体的加速度为绳子的张力为