22线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。图1-52两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-ABCD中，M为CD中点⑴求证：AC丄平面ABD.(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．解：(1)连AC，VCC丄平面ABCD,:.CC丄BD.又AC丄BD,AC丄BD.同理AC丄AB•・•ABnBD=B.・：AC丄平面ABD.(2)设正方体的棱长为a，连AD,AD交AD于E,连结ME,在ADAC中，ME〃AC,111111•・•AC丄平面ABD.AME丄平面ABD.连结BE,则ZMBE为BM与平面ABD成的角.在RtAMEB中，ME=2BE=tanZMBE=例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P.求证：面ABP丄面ABC；求二面角C-BP-A的余弦值.证明(1)由题设知AP=CP=BP.・•.点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，即DGAB.VPD丄AB,PDu面ABP,由面面垂直的判定定理知，面ABP丄面ABC.(2)解法1取PB中点E,连结CE、DE、CD.•.•△BCP为正三角形，・CE丄BD.△BOD为等腰直角三角形，・DE丄PB.・・ZCED为二面角C-BP-A的平面角.又由(1)知，面ABP丄面ABC，DC丄AB，人£=面ABPn面ABC，由面面垂直性质定理，得DC丄面ABP.・・DCIDE.因此△CDE为直角三角形.1设BC=1，则CE=3，DE=-，cosZCED=匹=2=上3.22CEJ33~T例3.如图所示，在正三棱柱ABC-ABC中，EgBB1111(1)求证：BE=EB；1(2)若AA=AB，求平面AEC与平面ABC1111111截面£EC丄侧面AC1，图2-5所成二面角（锐角）的度数．证明：在截面A1EC内，过E作EG丄AiC,G是垂足’如图,•・•面AEC丄面AC,AEG丄侧面AC.111取AC的中点F,分别连结BF和FC,由AB=BC得BF丄AC.•・•面ABC丄侧面AC,ABF丄侧面AC,11得BF//EG.BF和EG确定一个平面，交侧面ACi于FG.•BE〃侧面AC,ABE/FG，四边形BEGF是Q,BE=FG.11ebJ/ccl,扌码二扣］DEl9&=环1=如％•ZBAC=ZBCA=60°,111111ZDA1B1二ZA1DE1二|(130°-/DE］査J二30"AZDAC=ZDAB＋ZBAC=90°，即DA丄AC1111111111•••CC1丄面A1C1B1,由三垂线定理得DAi丄AiC所以ZCAiCi是所求二面角的平面角•且ZA】C】C=90VCC=AA=AB=AC,111111・・・ZCAiCi=45°,即所求二面角为45说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1•已知平面a的一条斜线a与平面a成0角，直线bug且a,b异面，则a与b所成的角为（A）有最小值0,有最大值号B.无最小值，有最大值号。C.有最小值0,无最大值D.有最小值0,有最大值冗-0。2．下列命题中正确的是（D）过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3.一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A.30B.20C.15D.124.设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为卞：2，底面边长为、3,E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A.30°B.45°C.60°D.90°5.正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值.AC閣1-49解过A，E分别作AH丄面BCD，E0丄面BCD，H，O为垂足,.•.AH卫20E,AH,OE确定平面AHD，连结0C,ZECO即为所求.•.•AB=AC=AD,・HB=HC=HD•.•△BCD是正三角形，・H是ABCD的中心，连结DH并延长交BC于F,F为BC的中点，忑a卫a，在RfADH中,236.在四面体ABCD中，DA丄面ABC,ZABC=90°,AE丄CD,AF丄DB.求证：(1)EF丄DC；(2)平面DBC丄平面AEF.C3)若AD=a,AB=a)AC=73a,求二面角B-DC-A的正弦值证明如图1-83.(1)TAD丄面ABC.・：AD丄BC.又VZABC=90°.ABC丄AB.ABC丄面DAB.・・・DB是DC在面ABD内的射影.•.5F丄DB.AAF丄CD(三垂线定理).VAE丄CD.ACD丄平面AEF.ACD丄EF.VCD丄AE,CD丄EF.ACD丄面AEF.TCD匚面BCD.A面AEF丄面BCD.由EF丄CD,AE丄CDAAEF为二面角B-DC-A的平面又VAF丄DB,AF丄CD,BDnCD=DAAF丄平面DBC,Ta乔7!rTa_十_吓又EF在平面DECF^AFlEP-MtAAEF中，sinAEF=——AE
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