高等数学中易错知识点
总结
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1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。2,在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。3.基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。5.在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。7.函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x),因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.b.函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下:一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h}=lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)}=-f′(x)二、根据复合函数的求导法则,设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x)对上式两边关于x求导数,则有8.设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是:f(a)=0,f'(a)≠0证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0①f(a)=0,f'(a)>0lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在②f(a)=0,f'(a)<0lim(x→a-)f'(x)=f'(a)lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。闭区间上的连续函数必可积。闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积10.有限个无穷小量的和仍是无穷小量。无限个无穷小量的和不一定是无穷小量有限个无穷小量之积是无穷小量。无限个无穷小量的积不一定是无穷小量。无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。无穷小量与常数的乘积不一定全是无穷小量。11.两个无穷大量之和不一定为无穷大量，两个无穷大量之积必为无穷大量。无穷大量与常数的乘积不一定全是无穷大量。针对第10与11给出具体解析：(1)无穷大量与常数的乘积可以分为两种情况，一种是与0的乘积，一种是与除0以外的常数，当与0相乘时，得到的是0，而不是无穷大量，可以这样说，无穷大量与除0以外的常数的乘积为无穷大量。同理，无穷小量与常数的乘积也可以分为类似的情况。(2)无穷大量可以分为正无穷大量和负无穷大量，当正无穷大量与正无穷大量相乘时，得到的结果是无穷大量。当正无穷大量与负无穷大量相乘时，得到的是负无穷大量，因为负无穷大量也是无穷大量，所以无穷大量与无穷大量相乘时，得到一定是无穷大量。(3)无穷大量与无穷大量之和不一定是无穷大量，因为如果是正无穷大量与负无穷大量之和，得到的结果可能是0，可能是常数，等等思考一下：既然两个无穷大量之积必为无穷大量，则能否扩展到有限个无穷大量之积必为无穷大量，进一步扩展到无限个无穷大量之积必为无穷大量。12可导与导函数的关系可导是对定义域内的点而言的，处处可导则存在导函数，只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其它各处均可导。13,连续与可积的关系如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积，反之，函数在某区域可积，不能保证函数在该区域连续，比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。14,切线与可导之间的关系有切线不一定可导，是因为垂直于X轴的切线，它的斜率是无穷大，所以不可导。可以得出结论：可导必有切线，有切线不一定可导（竖直切线）以上知识点在判断题中非常实用大题解题指导高等数学考试中大题包括以下几种类型：1.求极限2.求最值3.求不定积分或定积分4求隐函数的偏导数5求二阶连续偏导数6.二重积分7.微分方程8.求旋转体积或面积9.证明题1.求极限：在求极限的问题中，极限包括函数的极限和数列的极限，但在考试中一般出的都是函数的极限，求函数的极限中，主要是掌握公式，有些不常见的公式一定要记熟，详细的公式看高等数学学习指导与习题指南一书第8页。这种类型的题一般属于简单题，但往更难一点的方向出题的话，它会和变上限的定积分联系在一起出题2.求最值：这类题一般求导之后便可解出，不在过多叙述。3.求不定积分和定积分，在这类题中，一般会用到换元积分法和分部积分法，还有牛顿莱布尼茨公式。一般情况下，多做些题就没什么大问题。4.求偏导数：偏导数包括一阶偏导数和二阶偏导数。重点谈二阶偏导数，尤其是二阶混合偏导，在二阶以上的混合偏导中，用到的一个最重要的法则是链式法则，链式法则在很多时候，我们会迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看着自己算出的一个式子，自己都不明白，关于链式法则，我很想举例来说明，但是一般的电脑没有数学软件，那些符号根本无法显示，故建议看高等数学学习指导与习题指南一书第172页，它详细的论述了多元函数微分学中的一些重要知识点，当看完解题指导，自己独立的把教材194页例2做一下，做的时候，最好不要看例题的解题部骤，因为看例题的解题步骤会迷，当独立的把结果推算出来的时候，多元函数微分学的大概你掌握的已经差不多了。5.微分方程：这个类型的题，只需要把那一个解题的公式记住，然后往里面套公式即可，这是最简单也最枯燥的题，没什么新意，但是考试的时候，这类题还从未少过，每年都有。需要注意的是有时候求的是通解，有时候求的是特解。6.证明题：这种题还是离不开公式定理。一般情况下，用洛尔定理和微分中值定理即可，若再复杂的话，有时候就需要微分中值定理和积分中值定理连用，对于这类题，有时间则做，没时间就不做。总的来说，高数其实不算太难，当你对它产生一种畏惧的时候，你就很难把它学好了。要喜欢这门课，就要先喜欢这门课的老师，考试要的也是心态，有些题，本来就不属于自己的能力范围的，就直接放弃，一直缠着只会是浪费时间，其它题没时间做，这道题又没做出来。现在复习高数的时候别怕浪费时间，因为补考前的一个月就是让你浪费的，正如高四的复习，那一年确确实实是让我们好好浪费的，所以一定要多花时间浪费在复习中，数学讲究的就是熟练，当你看到一道题的时候，自己首先要有一个感性的认识，对它有一个大体的把握，复习就要做到多看教材，复习的最高境界就是把教材习题化，也就是说，当你看到课本上的知识点的时候，脑中立刻会想起你曾经做过的那道题用过这个知识点，如果这个知识点要考试的话，它最有可能以什么方式呈现出来。
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