1第1讲刷好题练能力

［基础题组练］已知数列5,,11,.17,,23,.29,…，贝U5,5是它的（）A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项解析：选C.数列，5,11,17,23,29,…中的各项可变形为5，-5+6,'5+2X6,卜3X6,'5+4X6,…,所以通项公式为an=5+6(n—1)=-6n—1,令6n—1=55，得n=21.TOC\o"1-5"\h\zn1若Sn为数列｛an｝的前n项和，且Sn=—，则一等于()n+1a5D.30A.|1C.30解析:选D.当n》2时,an=Sn—Sn—1==-，所以丄=5X6=30.nn(n+1)a5设数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn=2(an—1)，贝Van=()A.2nB.2n—1nnC.2D.2—1解析:选C.当n=1时，a1=S1=2(a1—1)，可得a1=2,当n》2时,an=Sn—Sn—1=2an2，首项为2,所以an=2n.—2an—1,所以an=2an—1,所以数列｛an｝为等比数列，公比为an—1已知数列｛an｝的首项为2,且数列｛an｝满足an+1=,1，数列｛an｝的前n项的和为an十1Sn,贝VS2016等于()B.588D.—504A.504C.—588an—111解析：选C.因为a1=2,an+1=，所以a2=；,a3=—；,a4=—3,a5=2,…，所an+132以数列｛an｝的周期为4,且a1+a2+a3+a4=—&因为2016-4=504,所以S2016=504X—6=—588,故选C.(2019西宁模拟)数列｛an｝满足ai=2,a*+1=a；(an>0),贝Va*=(n—2n—1A.10B.10C.102n—4D.22n—12lOg2an+1解析：选D.因为数列｛an｝满足a1=2,an+1=an(an>0),所以log2an+1=2log2an?花亍后一=2，所以｛log2an｝是公比为2的等比数列，所以log2an=log2a12n—1?an=22n—1.已知数列｛an｝的前n项和Sn=3n+1，贝Van=.解析：当n=1时，a1=S1=3+1=4;当n>2时,an=Sn—Sn—1=(3n+1)—(3n—1+1)=23n—1.当n=1时，2x31—1=2工a1,[4,n=1,所以an=$123n-1n》2.n=1, 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：节3n-1,1数列｛an｝中，a1=2，且a*+1=^an—1，则a5的值为111解析：由an+1=pn—1,得an+1+2=^(an+2)，所以数列｛an+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an+2=4X=2-",an=2‘-“一2,所以a5=2—5—2=—答案：—748.(2019长春模拟)已知数列｛an｝满足0,2an(1—an+1)—2an+1(1—an)=an一an+1+1an•an+1,且a1=3,则数列｛an｝的通项公式an=.解析：因为an^0,2an(1—an+1)—2an+1(1—an)=an—an+1+anan+1,所以两边同除以anan2(1—an+1)2(1—an)111+1,得一=—丄+1,整理，得—an+1anan+1anan+10n=1，即｛ab是以3为首1即an=n+21项，1为公差的等差数列，所以丄=3+(n—1)x1=n+2,an、n+29.已知数列｛an｝中，a1=1,前n项和Sn=~^an.⑴求a2,a3；⑵求｛an｝的通项公式.4解：(1)由S2=§a2得3(ai+a2)=4a2,解得a2=3ai=3.5由S3=3氏得3(ai+a2+a3)=5a3,3解得a3=^(ai+a2)=6.⑵由题设知ai=n+2n+i当n》2时，有an=Sn—Sin—i=~3~an—3~an-1,n+i整理得an=an-i.n-i于是ai=i,a2=；ai.4a3=2玄2,nan-i=an-2,n+1an=an-1.n-1将以上n个等式两端分别相乘，整理得n(n+1)an=2n-2显然，当n=1时也满足上式.n(n+1)综上可知，｛an｝的通项公式an=2n，10.设数列｛an｝的前n项和为Sn•已知ai=a(a丰3),a*+1=Sn+3n,n€N.(1)设bn=Sn-3n,求数列｛bn｝的通项公式；⑵若an+i>an,n€N*,求a的取值范围.解：(1)依题意，5+1—Sn=an+1=Sn+3,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+i-3n+1=2(Sn-3n)，即bn+1=2bn，又bi=Si—3=a-3,所以数列｛bn｝的通项公式为bn=(a—3)2n-1,n€N*.(2)由(1)知Sn=3n+(a—3)2n—1,n3*,于是，当1n>2时,an=Sn—Sn—1=3“+(a—3)2n—1—3n—1—(a—3)2n—2=2x3n—1+(a—3)2n—2,an+1—an=4x3n—1+(a—3)2n—2=2n—2|12将j+a—3Ian+1>an?1232+a—3>0?又a2=a1+3>a1.综上，a的取值范围是［—9,3)U(3,+.［综合题组练］在各项均为正数的数列｛an｝中，对任意m,n€N,都有am+n=am-an.若a6=64,则a9等于()A.256B.510C.512D.1024解析：选C.在各项均为正数的数列｛an｝中，对任意m,n€N*，都有am+n=aman.所以a6=a3a3=64,a3=8.所以ag=a6a3=64x8=512.若数列｛an｝的通项公式是an=(—1)n(3n—2)，则a1+a2+…+a10等于()A.15B.12C.—12D.—15解析：选A.由题意知，a1+a2+…+a10=—1+4—7+10—…+(—1)10x(3x10—2)=(—1+4)+(—7+10)+…+[(—1)9X(3X9—2)+(—1)10x(3X10—2)]=3X5=15.(创新型)若数列｛an｝满足a1-a2-a3•a“=n2+3n+2,则数列⑹｝的通项公式为解析：a1a2a3---an=(n+1)(n+2),当n=1时，a1=6;a1a2a3…an—1an=(n+1)(n+2),当n>2时，Ia1a2a3…an—1=n(n+1),故当n》2时，an=6,n=1,所以an=n+2*n,n》2,n3.[6,n=1,n€N答案：an=n+2,n>2,.n(应用型)(2019湖南永州模拟)已知数列｛an｝中，ai=a,a2=2-a,an+2-an=2,若数列｛an｝单调递增，则实数a的取值范围为解析：由an+2-an=2可知数列｛an｝的奇数项、偶数项分别递增，若数列｛an｝单调递增,则必有a2—ai=(2—a)—a>0且a2—ai=(2—a)—avan+2—an=2，可得0vav1，故实数a的取值范围为(0,1).答案：(0,1)(应用型)设数列｛an｝的前n项和为Sn,数列｛Sn｝的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn—n2,*n€N.求a1的值；⑵求数列｛an｝的通项公式.解：(1)令n=1,T1=2S1—1,因为T1=S1=a1,所以a1=2a1—1,所以a1=1.2n》2时，Tn—1=2Sn—1—(n—1),则Sn=Tn—Tn—1=2Sn—n—[2Sn—1—(n—1)]=2(Sn—Sn—1)—2n+1=2an—2n+1.因为当n=1时，a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2an—2n+1(n》1),当n》2时，Sn—1=2an—1—2(n—1)+1,两式相减得an=2an—2an—1—2,所以an=2an—1+2(n>2),所以an+2=2(an—1+2),因为a1+2=3工0,所以数列｛an+2｝是以3为首项，公比为2的等比数列.所以an+2=3x2n-1,所以an=3x21—2,当n=1时也成立，所以an=3x2n-1-2.(创新型)已知二次函数f(x)=x2—ax+a(a>0,x€R)，有且只有一个零点，数列｛an｝的前n项和Sn=f(n)(n€N*).(1)求数列｛an｝的通项公式；4水⑵设Cn=1—-(n€N)，定义所有满足Cm•Cm+1<0的正整数m的个数，称为这个数列an｛Cn｝的变号数，求数列｛Cn｝的变号数.解：(1)依题意，A=a2—4a=0，所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x2—4x+4.所以Sn=n2—4n+4.当n=1时，a1=S1=1—4+4=1;当n>2时，an=Sn—Sn—1=2n—5.1,n=1,所以an=|2n—5,n》2.—3,n=1,(2)由题意得n》2.4由Cn=1—可知，当n》5时，恒有Cn>0.2n—5又C1=—3,C2=5,C3=—3,11C4=—3,C5=5，3C6=7，即C1C2<0,C2C3<0,C4C5<0.所以数列｛Cn｝的变号数为3.