初高中数学衔接数与式的运算

新高一生初 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 衔接内容暑期作业第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】(abc)2a2b2c22ab2bc2ca 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：(abc)2[(ab)c]2(ab)22(ab)cc2a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ca等式成立1【例1】计算：(x22x)231解：原式=[x2(2x)]23111(x2)2(2x)2()22x2(2)x2x22(2x)3338221x422x3x2x339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(ab)(a2abb2)a3b3(立方和公式)证明:(ab)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3b3说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：(ab)(a2abb2)1新高一生初高中数学衔接内容暑期作业解：原式=[a(b)][a2a(b)(b)2]a3(b)3a3b3我们得到：【公式3】(ab)(a2abb2)a3b3(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：11111（1）(4m)(164mm2)（2）(mn)(m2mnn2)5225104（3）(a2)(a2)(a44a216)（4）(x22xyy2)(x2xyy2)2解：（1）原式=43m364m31111（2）原式=(m)3(n)3m3n3521258（3）原式=(a24)(a44a242)(a2)343a664（4）原式=(xy)2(x2xyy2)2[(xy)(x2xyy2)]2(x3y3)2x62x3y3y6说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．1【例4】已知x23x10，求x3的值．x31解：x23x10x0x3x1111原式=(x)(x21)(x)[(x)23]3(323)18xx2xx说明：本题若先从方程x23x10中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．111111【例5】已知abc0，求a()b()c()的值．bccaab解：abc0,abc,bca,cabbcacab原式=abcbcacaba(a)b(b)c(c)a2b2c2①bcacababc2新高一生初高中数学衔接内容暑期作业a3b3(ab)[(ab)23ab]c(c23ab)c33abc3abca3b3c33abc②，把②代入①得原式=3abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)二、根式式子a(a0)叫做二次根式，其性质如下：(1)(a)2a(a0)(2)a2|a|bb(3)abab(a0,b0)(4)(a0,b0)aa【例6】化简下列各式：(1)(32)2(31)2(2)(1x)2(2x)2(x1)解：(1)原式=|32||31|23311(x1)(x2)2x3(x2)(2)原式=|x1||x2|(x1)(x2)1(1x2)说明：请注意性质a2|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：311x(1)(2)(3)2x38x23ab23(23)3(23)解：(1)原式=633(23)(23)223aba2bab2(2)原式=abab2x(3)原式=2xx2222x2xxx22x32xxx22说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数3新高一生初高中数学衔接内容暑期作业3或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如23xaxx)．这时可将其化为形式(如可化为)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，2b223要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为233(23)，其中23与23叫做互为有理化因式)．(23)(23)【例8】计算：aa(1)(ab1)(1ab)(ab)2(2)aabaab解：(1)原式=(1b)2(a)2(a2abb)2a2ab2b1aa11(2)原式=a(ab)a(ab)abab(ab)(ab)2a(ab)(ab)ab说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．2323【例9】设x,y，求x3y3的值．232323(23)2解：x743,y743xy14,xy123223原式=(xy)(x2xyy2)(xy)[(xy)23xy]14(1423)2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式AA当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两BB种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．x【例10】化简1xx1xx4新高一生初高中数学衔接内容暑期作业xxxxx(x1)x1解法一：原式=1x(1x)xx22xxxxxxxxx21(x1)(x1)x1x1xxxxx(x1)x1解法一：原式=(1x)xx(1x)x2xxxxxxx12x1(x)xx1x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二AAm则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．BBmx23x96xx1【例11】化简x2279xx262xx23x96xx116x1解：原式=(x3)(x23x9)x(9x2)2(3x)x3(x3)(x3)2(x3)2(x3)12(x1)(x3)(x3)23x2(x3)(x3)2(x3)(x3)2(x3)说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．练习A组1．二次根式a2a成立的条件是()A．a0B．a0C．a0D．a是任意实数2．若x3，则96xx2|x6|的值是()A．－３B．３C．－９D．９3．计算：(1)(x3y4z)2(2)(2a1b)2(ab)(a2b)1(3)(ab)(a2abb2)(ab)2(4)(a4b)(a24b2ab)44．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：1(1)8a3(2)aa4ab112(3)(4)abba232315．化简：5新高一生初高中数学衔接内容暑期作业mm12x2yxy(1)9m10m2m2(2)(xy0)325mx2x2yB组113xxy3y1．若2，则的值为()：xyxxyy3355A．B．C．D．55332．计算：11(1)(abc)(abc)(2)1()2311x2xyy23．设x,y，求代数式的值．3232xyaba2b24．当3a2ab2b20(a0,b0)，求的值．baabyx5．设x、y为实数，且xy3，求xy的值．xy1116．已知ax20,bx19,cx21，求代数式a2b2c2abbcac的值．202020517．设x，求x4x22x1的值．28．展开(x2)49．计算(x1)(x2)(x3)(x4)10．计算(xyz)(xyz)(xyz)(xyz)11．化简或计算：113(1)(184)223321(2)22(25)2352xxxyxxyy(3)xyy2xxyy6新高一生初高中数学衔接内容暑期作业bababab(4)(a)()ababbabaab第一讲习题答案A组1．C2．A3．(1)x29y216z26xy8xz24yz(2)3a25ab3b24a2b11(3)3a2b3ab2(4)a316b342(ab)24．2a2aa1ab25．mm2xyB组131．D2．acb2ac,32233．364．3,25．236．37．358．x48x324x232x169．x410x335x250x2410．x4y4z42x2y22x2z22y2z243xy11．3,,,ba3y7