高中文科数学立体几何知识点总结

立体几何知识点整理（文科）ll//mmml//一．直线和平面的三种位置关系:αl1.线面平行方法二：用面面平行实现.l//l//α符号 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示:l2。线面相交lβlαAα方法三:用平面法向量实现。符号表示:3.线在面内nl若n为平面的一个法向l量,nl且l，则l//。αα符号表示：二．平行关系:1.线线平行：方法一：用线面平行实现。3.面面平行:lβmll//方法一：用线线平行实现.ll//ml'αm'ml//l'mm//m'//l,m且相交方法二：用面面平行实现。l',m'且相交l//βll//mγmmα方法二：用线面平行实现。方法三：用线面垂直实现。l//若l,m，则l//m.m////且相交ll,mm方法四:用向量方法:β若向量l和向量m共线且l、m不重合,则l//m。α2.线面平行：方法一:用线线平行实现.1/11lCA方法三:用向量方法：αB若向量l和向量m的数量积为0，则lm。三．垂直关系：三．夹角问题.1。线面垂直：(一)异面直线所成的角：方法一：用线线垂直实现.（1）范围:(0,90]lAClAB（2)求法：PlnACABA方法一:定义法。θOAC,ABA步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。α方法二：用面面垂直实现.步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）βl余弦定理：mlacmlm,la2b2c2cosθ2abbα(计算结果可能是其补角）2。面面垂直：方法二:向量法。转化为向量的方法一:用线面垂直实现.C夹角βllθ(计算结果可能是其补角）：lABαABACcosABAC方法二：计算所成二面角为直角.(二)线面角3.线线垂直：(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外)，作PO方法一：用线面垂直实现.于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，lllmPAO图中）为直线与面所成的角。m(lmαP方法二：三垂线定理及其逆定理.AθαOPPOlOAlPA（2）范围：[0,90]lAOαl2/11当0时,l或l//n1n当90时,l2(3）求法：θ方法一：定义法.步骤1：作出线面角,并证明。nn步骤一：计算cosnn1212步骤2：解三角形，求出线面角。nn12(三)二面角及其平面角步骤二：判断与nn的关系，可能相等或12(1）定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作者互补.l的垂线(射线）m、n，则射线m和n的夹角为二四．距离问题。面角-l—的平面角。1．点面距。方法一：几何法。mPPlnAO(2）范围：[0,180]步骤1:过点P作PO于O,线段PO即为所求.步骤2：计算线段PO的长度。（直接解三角形；等(3）求法:体积法和等面积法;换点法)方法一：定义法。2．线面距、面面距均可转化为点面距。步骤1：作出二面角的平面角（三垂线定理)，并证3．异面直线之间的距离明。方法一：转化为线面距离。步骤2:解三角形，求出二面角的平面角。m方法二：截面法.n步骤1:如图，若平面POA同时垂直于平面和，如图，m和n为两条异面直线，n且m//,则交线（射线)AP和AO的夹角就是二面角。则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与步骤2：解三角形，求出二面角.平面之间的距离。βP方法二：直接计算公垂线段的长度。θA方法三：公式法。αO方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补）。3/11BaAm如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，dncm//m'，则异面直线m和n之间的距离为：Dm'bCdc2a2b22abcos五．空间向量AA(一)空间向量基本定理1CCD1若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对BB1x、y、z,使得pxaybzc。(二)三点共线，四点共面问题1。A，B,C三点共线OAxOByOC，且xy11当xy时,A是线段BC的2A，B,C三点共线ABAC2。A，B，C，D四点共面OAxOByOCzOD,且xyz11当xyz时，A是△BCD的3A，B,C，D四点共面ABxACyAD（三）空间向量的坐标运算1。已知空间中A、B两点的坐标分别为：A(x,y,z)，B(x,y,z)则：111222AB；dABA,B2。若空间中的向量a(x,y,z),b(x,y,z)111222则abab4/11abcosab六．常见几何体的特征及运算(一)长方体1。长方体的对角线相等且互相平分.2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2γβααβγ若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、,则cos2+cos2+cos23。若长方体的长宽高分别为a、b、c,则体对角线长为，表面积为，体积为.(二)正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心.(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体:每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体.（只有五种正多面体）(五)棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(六)体积：VV棱柱棱锥(七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2。设球半径为R，小圆的半径为r,小圆圆心为O1,球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是.3.球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式:体积公式:高考题典例考点1点到平面的距离5/11例1如图，正三棱柱ABCABC的所有棱长都为2，D为CC中点．1111（Ⅰ）求证：AB⊥平面ABD;(Ⅱ)求二面角AADB的大小;111（Ⅲ)求点C到平面ABD的距离．1解答过程（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．△ABC为正三角形，AO⊥BC．正三棱柱ABCABC中，平面ABC⊥平面BCCB,11111AA1AO⊥平面BCCB．连结BO，在正方形BBCC中,O，D分别为BC，CC11111F1C的中点,BO⊥BD，AB⊥BD．DC11O1B在正方形ABBA中，AB⊥AB，AB⊥平面ABD．B1111111（Ⅱ）设AB与AB交于点G，在平面ABD中,作GF⊥AD于F，连结AF，1111由(Ⅰ）得AB⊥平面ABD．AF⊥AD,∠AFG为二面角AADB的平面角．111145在△AAD中，由等面积法可求得AF,15又1，AG210．AGAB2sin∠AFG21AF454510所以二面角AADB的大小为arcsin．14（Ⅲ)△ABD中，BDAD5，AB22，S6,S1．111△A1BD△BCD在正三棱柱中，A到平面BCCB的距离为3．111设点C到平面ABD的距离为d．1由，得113S2．VVS3Sd,d△BCDABCDCABD△BCD△ABD11331S2△A1BD2点C到平面ABD的距离为．12考点2异面直线的距离例2已知三棱锥SABC，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面。E、D分别为BC、AB的中点，求6/11CD与SE间的距离.解答过程:如图所示，取BD的中点F,连结EF,SF，CF，EF为BCD的中位线,EF∥CD,CD∥面SEF，CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离,设其为h，由题意知，BC42,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,1CD26,EFCD6,DF2,SC22111123VEFDFSC622SCEF32323在RtSCE中，SESC2CE223在RtSCF中，SFSC2CF2424230112323又EF6,S3由于VVSh,即3h，解得hSEFCSEFSCEF3SEF33323故CD与SE间的距离为。3考点3直线到平面的距离例3．如图，在棱长为2的正方体AC中，G是AA的中点，求BD到平面GBD的距离。1111思路启迪：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解。D1CO1解答过程：解析一BD∥平面GBD，111A1B1BD上任意一点到平面GBD的距离皆为所求，以下求H11G点O平面GBD的距离,D11COBDAC，BDAA，BD平面AACC,AB11111111111又BD平面GBD平面AACCGBD，两个平面的交线是OG，111111111作OHOG于H，则有OH平面GBD，即OH是O点到平面GBD的距离。1111111在OOG中，SOOAO222。1O1OG2127/111126又SOHOG3OH2,OH.O1OG212326即BD到平面GBD的距离等于。113解析二BD∥平面GBD,11BD上任意一点到平面GBD的距离皆为所求，以下求点B平面GBD的距离.1111设点B到平面GBD的距离为h，将它视为三棱锥BGBD的高，则11111114VV,由于S2236，V222,BGBDDGBBGBDDGBB111111211323426h,6326即BD到平面GBD的距离等于。113小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离。所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角π例4如图，在Rt△AOB中,OAB，斜边AB4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得6到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．A(I)求证:平面COD平面AOB；D（II)求异面直线AO与CD所成角的大小．z解答过程：(I）由题意,COAO，BOAO，AEOBBOC是二面角BAOC是直二面角，CCOBO,又AOBOO,CO平面AOB，D又CO平面COD．平面COD平面AOB．(II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图)，则DE∥AO，CDE是异面直线AO与CD所成的角．OBy1在Rt△COE中，COBO2，OEBO1,CECO2OE25．xC28/111CE515又DEAO3．在Rt△CDE中，tanCDE．2DE3315异面直线AO与CD所成角的大小为arctan．3小结:求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三。一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0,。2考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知∠ABC45，AB2,BC22,SASB3．S(Ⅰ）证明SABC;（Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小．C解答过程:（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥B底面DAABCD,得SO⊥底面ABCD．因为SASB,所以AOBO，S又∠ABC45，故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．COB(Ⅱ）由（Ⅰ)知SA⊥BC，依题设AD∥BC，DA故SA⊥AD，由ADBC22，SA3，AO2，得SO1，SD11．△SAB的面积112．SABSA2AB21221连结DB,得△DAB的面积SABADsin135222设D到平面SAB的距离为h，由于VV，得11，解得h2．DSABSABDhSSOS3132h222设SD与平面SAB所成角为，则sin．SD111122所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin．11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算9/11——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角例6．如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C,CACB，CBAP45，直线CA和平面所成的角为30．（I)证明BC⊥PQAPQ（II）求二面角BACP的大小．B过程指引：（I)在平面内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB．C因为⊥，PQ，所以CO⊥,HAPQ又因为CACB，所以OAOB．BO而BAO45,所以ABO45，AOB90，从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ,所以PQ⊥平面OBC．因为BC平面OBC,故PQ⊥BC．(II）由(I）知,BO⊥PQ，又⊥,PQ,BO,所以BO⊥．过点O作OH⊥AC于点H,连结BH，由三垂线定理知,BH⊥AC．故BHO是二面角BACP的平面角．由（I)知,CO⊥，所以CAO是CA和平面所成的角,则CAO30，3不妨设AC2，则AO3，OHAOsin30．2在Rt△OAB中,ABOBAO45，所以BOAO3，于是在Rt△BOH中，BO3tanBHO2．故二面角BACP的大小为arctan2．OH32小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角。无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小。10/11考点7利用空间向量求空间距离和角D例7．如图,已知ABCDABCD是棱长为3的正方体，1A11111BC1点E在AA上,点F在CC上，且AEFC1．1111FE(1)求证：E，B，F，D四点共面;1MA2D（2）若点G在BC上，BG，点M在BB上，GM⊥BF，H垂足为31CGBH，求证：EM⊥平面BCCB；11（3)用表示截面EBFD和侧面BCCB所成的锐二面角的大小,求tan．111过程指引：（1）如图，在DD上取点N,使DN1，连结EN，CN,则1D1A1AEDN1，CFND2．B1C11因为AE∥DN，ND∥CF,所以四边形ADNE，CFDN都为平行四边N11FEM形．从而EN∥AD，FD∥CN．A1DHC又因为AD∥BC，所以EN∥BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此GB推知CN∥BE，从而FD∥BE．因此，E，B，F，D四点共面．11（2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM∠CFB，BC23BMBGtan∠BGMBGtan∠CFBBG1．CF32因为AE∥BM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM．又AB⊥平面BCCB，所以EM⊥平面BCCB．1111（3）如图,连结EH．因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF．于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM．因为∠MBH∠CFB,所以MHBMsin∠MBHBMsin∠CFBBC33EMBM1,tan13．BC2CF2322213MH11/11