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：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数ylogax()叫做对数函数.定义域是对数函数的性质为a>10
0且a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x对称y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f-1(x)如:f(x)=2x,则f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x对称名师总结优秀知识点专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）ylog0.2(4x);；（2）ylogax1(a0,a1).；（3）ylog(2x1)(x22x3)（4）ylog2(4x3)(5)y=lg1(6)y=log3x1x1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________2.y=lg(8x2)的定义域是_______________3.求函数ylog2(2x1)的定义域___________4.函数y=log1(2x1)的定义域是35.函数y＝log2(32－4x)的定义域是，值域是.6.函数ylog5x(2x3)的定义域____________7.求函数yloga(xx2)(a0,a1)的定义域和值域。8.求下列函数的定义域、值域：（1）ylog2(x3)；（2）ylog2(3x2)；（3）yloga(x24x7)（a0且a1）．9.函数f（x）=1ln（x23x2x23x4）定义域x10.设f(x)=lg2x,则f(x)f(2)的定义域为2x2x11.函数f(x)=|x2|1的定义域为log2(x1)12.函数f(x)=1g(x22x)的定义域为；9x213.函数f（x）=1ln（x23x2x23x4）的定义域为x14ylog2log2log2x的定义域是1.设f(x)＝lg(ax2－2x＋a),(1)如果f(x)的定义域是(－∞,＋∞)，求a的取值范围；名师总结优秀知识点如果f(x)的值域是(－∞,＋∞)，求a的取值范围．15.已知函数f(x)log1(x22ax3)21）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围（3）若函数的定义域为(,1)(3,)，求实数a的值；（4）若函数的值域为(,1]，求实数a的值.16.若函数yf2x的定义域为1,0，则函数yflog2x的定义域为17.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围为19已知x满足不等式(log2x)27log2x60，函数f(x)(log24x)(log42x)的值域是20求函数y(log1x)2log1x1(1x4)的值域。2221已知函数f(x)=log2x1+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.x1x10①,x1解：f(x)有意义时，有x10②,px0③,由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］=log2［-（x-p1）2+(p1)2］(1＜x＜p),24①当1＜p1＜p，即p＞3时，0＜-(x-p1)2(p1)2(p1)2,2244∴log2p12(p1)2(x2)≤2log2(p+1)-2.4②当p1≤1，即1＜p≤3时，∵0＜-(x-p12(p1)2p12(p1)22)42(p1),∴log2(x)＜1+log2(p-1).224综合①②可知：当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).二、利用对数函数的性质，比较大小例1、比较下列各组数中两个数的大小：名师总结优秀知识点1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0.52.1；（3）log75，log67；（4）log23，log453，21.1.10.9，log1.10.9，log0.70.8的大小关系是____________2.已知a2>b>a>1，则m=logab，n=logba，p=logbb的大小关系是____________a3.已知logm5>logn5,试确定m和n的大小关系4.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga1,logab,logb1的大小关系是bb5.已知log1b＜log1a＜log1c,比较2b,2a,2c的大小关系.2226.设alog3,blog23,clog32，则已知x1,d,试比较alogdx2，blogdx2clogdlogdx的大小。7.8.已知x2logdx2的大小。1,d1试比较alogdx，b9.设00，且a≠1，试比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|的大小。10.已知函数f(x)lgx，则f1，f1，f(2)的大小关系是______43三、解指、对数方程：（1）33x527（2）22x12（3）log5(3x)log5(2x1)（4）lgx1lg(x1)1.已知3a=5b=A,且11=2，则A的值是ab12.已知log7［log3(log2x)］=0，那么x2等于13.已知log7［log3(log2x)］=0，那么x2等于4..若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则5.若f10xx，那么f3等于6.已知f(x5)lgx，则f(2)7.已知loga(x24)loga(y21)loga5loga(2xy1)(a0，且a1)，求log8y的值．x四、解不等式：1.log5(3x)log5(2x1)名师总结优秀知识点lg(x1)13.设a,b满足0ab1，给出下列四个不等式：①aaab，②babb，③aaba，④bbab，其中正确的不等式有．．4.已知：(1)f(x)logax在[3,)上恒有|f(x)|1，求实数a的取值范围。5.已知函数f(x)x23,g(x)a(1x)，当2x2时，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围。6.求m的取值范围，使关于x的方程(lgx)2mlgx(m)0有两个大于121的根．42008·全国）若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则7.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga1,logab,logb1的大小关系是bb8.已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围9.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.10.若函数ylog2(x2axa)在区间(,13)上是增函数，a的取值范围11.已知函数f(x)log2(x2ax3a)在区间1,2上是增函数，则实数a的取值范围是log2x,x0,12.若函数f(x)=log1(x),x0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是213.．设函数f(x)2x1，x，1，则x0的取值范围是（11若f(x0)），x≥，lgx114.设a>0且a≠1，若函数f(x)＝alg(x22x3)有最大值，试解不等式loga(x25x7)>0五、定点问题1.若函数y=loga(x+b)(a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则2.若函数y=loga(x+b)(a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则3.函数f(x)loga(x1)1(a0且a1)恒过定点.六、求对数的底数范围问题（）若loga41(a0且a1)，求a的取值范围1.1名师总结优秀知识点2.（2）若log(2a3)(14a)2，求a的取值范围3..2a1)，则a的取值范围________若loga31(a0且4.函数f(x)loga(x1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值为.5.若函数f(x)loga(ax)在[2,3]上单调递减，则a的取值范围是6.函数y=log0.5(ax+a-1)在x≥2上单调减，求实数a的范围7..已知y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.8.已知函数y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a的取值范围.9.已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.10.若函数yloga(1x)在[0,1)上是增函数，a的取值范围是11成立的a的取值范围是11.使loga212.若定义在(－1，0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是七、最值问题1.函数y＝logax在[2,10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a＝.2.求函数ylog12xlog1x5x[2,4]的最小值,最大值.。443.设＞函数a在区间［］上的最大值与最小值之差为1，则a=a1,f(x)=logxa,2a24.函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a，则a=5.已知0x2,则函数y4x32x4的最大值是，最小值是.6.已知f(x)1log2x,(1x4)，求函数g(x)f2(x)f(x2)的最大值与最小值7.已知x满足2(log0.5x)27log0.5x30，求函数f(x)(log2x)(log2x)的最值。24设x0,y0,且x2y1,求函数ulog1(8xy4y21)的值域.8.2函数x＋log(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a＝9.f(x)＝aa10.求函数ylog1(13x)log2(3x1)的最小值23名师总结优秀知识点11.函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数=___．八、单调性1.讨论函数ylg(1x)lg(1x)的奇偶性与单调性2.函数ylg(2xx2)的定义域是,值域是，单调增区间是3.函数f(x)ln(x24x3)的递减区间是．4.函数y=log1/3(x2-3x)的增区间是________5.证明函数f(x)log2(x21)在(0,)上是增函数6.函数f(x)log2(x21)在(,0)上是减函数还是增函数？7.求函数ylog1(x22x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2.8.求y=log0.3(x2-2x)的单调递减区间9..求函数y=log2(x2-4x)的单调递增区间10.函数y=log1(x2-3x+2)的递增区间是211.函数ylg(2xx2)的值域是，单调增区间是．12.若函数ylog2(x2axa)在区间(,13)上是减函数，求实数a的取值范围1.证明函数y=log1(x2+1)在（0，+∞）上是减函数；22.已知函数f（x）21-3］上是单调递减函数.，求实数a的取值范围.=log2(x-ax-a)在区间（-∞,3.已知函数f(x)lg(4k2x)，（其中k实数）（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若f(x)在,2上有意义，试求实数k的取值范围小结：复合函数的单调性f(x),g(x)的单调相同，yf(g(x))为增函数，否则为减函数九、奇偶性名师总结优秀知识点1.函数fxln1x2x的奇偶性是。2.若函数fx是奇函数，且x0时，fxlgx1，则当x0时，fx3.偶函数fx在0,2内单调递减，af1,bflog0.51,cflg0.5，则a,b,c之间的大小关系44.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,)上为增函数，f(1)0，则不等式f(log1x)0的解集为385.已知函数f(x)lg1x,若f(a)1,则f(a).1x26.已知奇函数满足，当时，函数，则=____．7.已知f(x)lg(xx21)(1)判断f(x)奇偶性(2)判断f(x)的单调性8.知函数f(x)=logaxbxb单调性(a＞0,且a≠1，b＞0)（1）求f(x)定义域；（2）讨论f(x)奇偶性；（3）讨论f(x）9.a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=lg1ax是奇函数12x1）求b取值范围2）讨论函数f(x)单调性.∈，且≠定义在区间（）内的函数f(x)=lg1ax是奇函数.10.设a,bRa2,-b,b12x（1）求b2）讨论函数f(x)的单调性.11.已知函数f(x)loga(1x),g(x)loga(1x)其中(a0且a1)，设h(x)f(x)g(x).（1）求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若f(3)2，求使h(x)0成立的x的集合.十、对称问题与解析式名师总结优秀知识点1.已知函数fx的定义域是0,，且对任意的x1,x20满足fx1fx1fx2，当x1时有x2fx0，请你写出一个满足上述条件的函数fx。2.已知函数fx满足fx23logax22a0,a16x（1）求fx的解析式；（2）判断fx的奇偶性；（3）讨论fx的单调性；（4）解不等式fxloga2x3.已知定义域为(,0)(0,)的函数yf(x)满足条件：对于定义域内任意x1,x2都有f(x1x2)f(1x)f(2x).(1)求证：f(1)f(x)，且f(x)是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.x5.已知函数f(x)=loga(x+1)(a＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.解（1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，∵Q（-x，-y）在f(x)的图象上，∴-y=log（-x+1），即y=g(x)=-logx1≥m.aa(1-x).（2）f(x)+g(x)≥m,即logax1设F（x）=loga1x,x∈［0，1），由题意知，只要F（x）min≥m即可.1x∵F（x）在［0，1）上是增函数，∴F（x）min=F（0）=0.故m≤0即为所求1）证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以log8x1log8x2点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),x1x2由于log21=log8x1=3log8122=3log82,OC1log2x13log8x1,OD的斜率为k2log2x23log8x2,由此可知xlog82x,logxx的斜率为k=x1x1x2x2k1=k2,即O、C、D在同一直线上.（2）解由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=1log2x2,x2=x31,3名师总结优秀知识点代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,x1＞1,解得x1=3,于是点A的坐标为（3，log83).6.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2的图象交于C、D两点.（1）证明:点C、D和原点O2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.7.设函数且．①求的解析式，定义域；②讨论的单调性，并求的值域．十一、对数函数图象1．函数ylog3(x2)的图象是由函数ylog3x的图象得到。2.函数ylog3(x2)3的图象是由函数ylog3x的图象得到。3.函数yloga(xb)c（a0,a1）的图象是由函数ylogax的图象当b0,c0时向__单位得到;当b0,c0时向__单位得到;当b0,c0时向__单位得到;当b0,c0时向__单位得到。尝试总结：平移变换yf(x)yf(xa)b的法则_______________________________________________________________________________________________1.将函数y=2x的图象向左平移1个单位得到C1，将C1向上平移1个单位得到C2，而C3与C2关于直线y=x对称，则C3对应的函数解析式是2.函数的图像与对数函数ylog3x的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：(1)ylog3|x|；(2)y|log3x|；(3)ylog3(x)；(4)ylog3x1.已知x1是方程x＋lgx＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根求函数f(x)＝log2|x2x12|的单调区间名师总结优秀知识点2.如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为()．3.方程logaxax(a1)的解的个数为4.已知关于x的方程lg2x2algx2a0的两根均大于1，则实数a的取值范围是．．．．．．5.方程log2|x|x2的实根个数是个.则x1＋x2＝6.已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小7.设a>0且a≠1,求证：方程axax-x=2a的根不在区间[-1,1]内8.若，且，则满足的关系式是（）9.若是偶函数，则的图象是()．（A）关于轴对称（B）关于轴对称（C）关于原点对称（D）关于直线对称10方程实数解所在的区间是()．（A）（B）（C）（D）11.已知x、y为实数，满足（log4y）2=log1x，试求x的最大值及相应的x、y的值．2y十二、附加内容（补充）本节主要介绍以下几个问题一、反函数的定义从yf(x)中解出x求原函数值域（反函数定义域）二、反函数的求法x与y互换，加注定义域等价条件：x,y一一对应三、反函数存在的条件在定义域内单调一定存在反函数名师总结优秀知识点原函数与反函数定义域与值域对调f[f1(y)]y,f1[f(x)]x四、反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线yx对称原函数在定义域内单调，反函数与之具有相同的单调性y2x用y
表
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示xxlog2yx、y互换ylog2xxR,y0,yR,x0,y=ax及y=logax互为反函数,反函数的定义一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x)),另一方面,x也是y的函数(x=g(y)),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量,y表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x)与y=f(x)互为反函数y=ax与y=logax互为反函数注意：f-1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数求函数y=3x+6的反函数解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2Y=ax与y=logax({x|x>0})互为反函数(由y=ax中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域二,反函数的求法步骤1、从y=f(x)中解出x;2、求出原函数的值域即为反函数的定义域；3，x、y互换并加注定义域即为所求反函数存在的条件y是x的函数，要求每个x对应惟一一个y;x是y的函数，要求每个y对应惟一一个x;所以：反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一对应y=ax在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有x,y一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如y=1/x）名师总结优秀知识点反函数的简单性质1、原函数与反函数的定义域与值域对调2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x（由于x与y一一对应）3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对称。从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性1.求出函数y=log21x(-1
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