初三数学圆的经典讲义

,资料.料.^.固的定义反相关她念垂线定理及其推论固周角与固心角因心角、感.很、弦心距关系定理固接D迎形会用切线.能立以跷切线长定理三角形的切圆了曾很切角与固事定理（边学）因与固的位遇关系圆的有关诃算一.圆的定义及扣关概念【考点速览】考点1:置的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条龙或都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定.S］的条件；圆心和率狡①圆心4定囿的位理，率役确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个固；考点3：弦：连结圜上任意两点的线段叫做弦。经过固心的弦叫做直狡。直投是蜀中寮火的弦。弦心距：固心列弦的柜离叫做弦心距。挺：圜上任意而点间的划分叫做张。以分为华固，优张、名版三种。r诂备参注意区分等张，等等，等做的就念）弓形：弦与它所对应的张所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与孤的中立的连线段。r■寄货注意在画中一条-将固分刽合两个弓形，对应两小弓个）固定的巴侵不能再同定的方柒：求弦心柜，弦长，弓高，率役时通常要做弦心距，并连接固心和弦的一个满点，得到,资直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接固：锐角三角形的外心在,直黄三角形的外心在:钝角三角形的外心在O考点5点和固的住.近关条设国的卑投为r,或利圆心的矩需为d,则点与回的位置关系有三种。①皮在圆外Od>r；②点在固上U>d=r；③点在固<二>dvr；【典型例题】例1在中，N4C8=90°/C=2,3C=4,CM是大夕边上的中线，以点U为固心,以、后为半投作圆，式确定AR用三点分别与€)U有怎样的住近关东，并说明你的理由。例2.已知，如图，CD是直往，ZEOD=84°,AE交€)0于B,旦AB=OC,求/A的度数。例3。。平面一点P和OO上一点的距肉果小为3cm,景大为8cm,则这置的卑按是emo例4在半投为5cm的圆中，JiABIICD,AB=6cm,CD=8cmr则AB和CD的距肉是多少？例5如图，。。的立役AB和弦CD拍交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,NCE4=30°,求CD的长.r例6.已知：。。的率控oa=1,弦AB、AC的长分别为7反行，求NA4c的皮敦.二.垂役定理及其推论【考点速览】考点1垂役定理：垂直于弦的立役平分这条弦，并R平分弦所对的两条孤.推论1:①平分弦（不是直按）的直役支直于弦，并JL平分弦所对的两条孤.②弦的垂直平分线经过圜心，并以平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的瓦发,垂直平分弦，并旦平分弦所对的另一条孤.TOC\o"1-5"\h\z椎/2.囿的两条平行弦所失的孤扣等,垂役定理及堆於1C中的三条可机招为：/；'①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直投）；④平分弦所//对的优效；⑤平分弦所对的劣张.以上五点已知其中的任意[/8而皮，都可以推得其它两点\//八~,资料.料..【典型例题】例1如图AB、CD是。O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，aZAMN=/CNM、求证：AB—CD«例2已知，不过回心的直线/交€)0于C.D两点，AB是0O的直投，AE1/于E,BF1/fFo求证：CE=DF.【考点速练】1.已知。。的半役为2cm,弦AB长2瓜v〃，刚这条弦的中点利弦所对名孤的中点的矩需为r).A1cmB.2cmC.\i2cmD.y/3cmcmTOC\o"1-5"\h\z.如图1,OO的率役为6cm,AB、CD为两弦，且AB±CD,垂足为点E,若CE=3cm,DE=7cm,则AB的长为()A.10cmB.8cmC.4\/2cinD.Sjlcm.在下列列斯：①宜彼是阖的对称轴；②固的对称轴是一条直役；③立役平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条,其中正确的判新有()A,0个B.1个C.2个D.3个.如图2,同心圆中，大固的弦文AB于C、D若AB=4,CD=2,圆心。到AB的距南等于1,那么两个同心圆的半彼之比为r),资A.3:28.^:2D.5:4.如图,0O的直役为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值倒是•如舀,已知有一回弧形拱桥•拱的跳度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半役是三.I周角与圆心角.如图，立役为1000mm的圆拄形水管有依水（阴影部分人水面的宽度44为800mm,求7K的景大深度CD、【考点送嵬】考点1固心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圜心角的度数寻于它所对的祗的皮救。Eg:判别下列各舀中的角是不是圆心角，并说明理由。因用角：顶点在固周上，角两边和固相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可.Eg:利新下列图示中，各图形中的角是不是固周命，并说明理由号望2定理：一条版所对的圆周角等于它所对的固心角的一半.Eg:如下三图，请铤明。考点34.推论：。同以或等乐所对的圆闾角相等，同圆或等固中，扣等的圜周角所对的效也相若.②半回（或直拄）所对的国周角是直给，90。的圆闾箱所对的弦是直扬.③如果三龟形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.约典例题例1：下四中是圆周角的有•是回心角的有O例2：如图，NA是。。的/周角，XZA=35°例3：如图，圆心角/AOB=100°,则/ACB=如图7,A3是。。的直及，点C,D,石都在。。上，若NC=N3=NE,^ZA+ZB=Q例2图2,例6：OO的直及CD过弦EF的中点G,/EOD=40＞则ZDCF=己知：如图，AD是。。的立投，ZABC=30°,fl'JZCAD=例7：已知。。中，NC=30,AB=2cm＞外J。。的率投为cm弦、强心电关余定理【考点送嵬】固心角，以，弦，弦心感之间的是东文理:在同回或等圆中，相等的固心角所对的孤扣等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆式等圆中.如果①两个因心缸②两条如③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等押会它们所对应的其余各组量都分别相等.如由条件:③AB=A'r务必在意营提为：在同固式等回中）例1.如图所示，点。是NEPF的平分珑上一点，以。为圆心的固和角的两边分别交于A.B和C.D,求慑：AB=CD.例2、已知：如四，EF为。。的直投，HEF上一点P作弦AB、CD,&NAPF=NCPF。求证:PA=PCo例4.如图，。。的弦CB、ED的廷长发交于点A,例3.如国所示，在dABC中，ZA=72°,OO我aABC的三条边长所得的三条弦等长,求NBOC.例5.如图所示，已如在O。中，弦AB=CB,ZABC=120°>OD±AB于D,OE±BC于E.求证：AO。石是等边三角形.五.同接8边形【考点送凫】固接♦边形时肯互补，外角等于对肯。画拄梯形为等腰梯形，圜接平行"逆形力矩形。刘新回点共画的方法之一：B边形对角工补即可。【典型例题】例1(\)已如圆接四边形ABCD中，ZA：ZB：ZC=2:3:4,求/D的度数.(2)已知圆接四边形ABCD中，如国所示，‘云B、Qc二七D「、D的皮数之比为1:2:3:4,求NA、/B、ZC.ZD的度致.例2B边形ABCD接手。O,A1PDBC=ABAD例3如图所不，AABC是等边三角形，,资料.^AR©)在CD的延长线上，口APIIBD.求证：「dQc上任一点.求证：DB+DC=DA.A,资料.料.^六.会用切线,能证切端号点送霓：老占1直线与圆的位置关东图形公共点个教d与r的关系直线与固的位置关东Q0d>r相雷G1d=r相切◎2d 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 切端疗X:有灾点就连率校证委直；无交代就做妻直证率校）老点4切婉的性质定理：置的切线垂克于经过切A的半及。推论1：经过固心以垂克于切线的直线心铉过切点。推论2：经过切皮旦垂克于切线的直线处经过圆心。,资（靖务於北住切战重要用法：见初战就要连圆心和切衣稗到委直）经典例题：例1,如舀，ZkABC接手。。，AB是。。的立役，ZCAD=/ABC,判断直线AD与OO的位直关东，并说明理由。例2.如舀,OA=OB=13cm,AB=24cm,0O的半及为5cm,AB与。。相切吗？为什么？例3.如图,PA、PB是。。的切线，切点为A、B,C是。。上一点，若NP=40°,求NC的皮敷。B例4.如图所示，RdABC中,ZC=90°,以AC为宜役作。。交AB于D,E为BCA中点。求证：DE是。。的切爱.中考.如国，在以。为阖心的两个同心圆中，AB经过固心。，且与小C圆相交于点A,与大固相交于点B,小圆的切为AC与大圜相交手D点D,JLCO平分NACB.（忒利新BC所在直线与小圜的位直关系，并说明理由。/.如图，在RtAABC中，ZC=90o,点。在AB上，以。为圜心，OA长为率役的圆与AC、AB分别交于点D、E,JLZCBD=乙A,刻新BD与。。的位直关条，并证明你的结论。七,切线长定理考点送嵬：考点1切线长概念:经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到固的切线长.切线长和切线的区别切线是五线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一己知点到切皮之间的花雪，可以度量.考点2切线长定理：从蜀外一点引圆的而条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连发平分两条切线的A角.要让意：此定理包含两个结论，如©,PA.PB切OO于A、B两点，①PA=PB②PO平分NAPB.者&3两个结论：S］的夕卜切四边形对边和相等；置的外切等腰梯形的中住线等于腰长.经典例题:例1已知PA.PB、DE分别切8于A,B.C三点，静PO=13cm,"ED的周长为24cm,求：①8的半役；②若NAP8=40。，/EOD的反蚁.例2如图，。。分别切AABC的三边AB、BC.CA于点D、E、F,若BC=a,AC=b,AB=c.求切固率控r.Cl)求AD、BE、CF的长；(2)ZC=90°,例3.如图，一S]"四边形ABCD,JLAB=16,CD=10,刚四边形的局长为？老皮送练1：1.如酉，8是AA8C的切圜，D、E、F为切点,ZA:ZB:ZC=4:3:2,fijZDEF=.ZFEC=.2,直角三角形的两条直角边为5前、1251,则此直角三角形的外接回率及为cm,切圆半投为cm.3.如四，直线AB.BC.CD分别与GO相切于点E.F、G,且AB//CD,若OB=6cm,OC=8cm,则ABOC=。。的半投=cm,BE+CG=cm,人.三角希切考点送JL考点1机念：和三角形各边都相切的囱叫做三角形的切固，切固的圆心叫做三角形的心，这个三用形叫做固的外切三角彩.机念桎广：和多边形各边都扣切的圜叫做多速形的切固，这个多边形叫做画的外切多边形.号点2三角形外揉画与切国比我:名称确定》决图形性质外心r三角形外接圆的回心)三角形三边中垂线的交点里⑴OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形的部.心(三箱形切固的固心)三角形三条角平分线的交点.盘(1)到三边的距常相等；(2)OA、OB、OC分别平分NBAC./ABC、ZACB；(3)心在三角形部.考点3求三角形的切固的率及料..1、直角三箱形aABC切圆。。的半彼为公］22、一般三角形①已知三边，求△ABC切S］。。的半及r.2SAr=a+b+c(海指公式Sa=Js(s-a)(s-b)(s-c),其中s=""+’)经典例题:例1.阅读材料：如图CU,ZkABC的周长为L,切圜。的半检为r,连结OA,OB,△ABC彼划分为三个小三角形，用S/.abc表示AABC的面舍.•「SjABC=%OAB+S二。BC+S3OCA又.「S_oab=—AB•r,Saobc=—BC•r,SaOca=_AC,r222J.S_abc=—AB•rd-BC•r+—CA•r222=-L-r(可作为三角形切固率及公式)2(\)理解与应用：利用公式计算边长分为5,12,13的三角形切圆半投;(2)类比与推理：若s边形ABCD存在切圆(与各边都相切的固，如图(2)且面尔为S,各边长分别为a,b>c,d,试推导四边形的切圆半及公式;(3)拓展与延仲：若一个n边形(n为不小于3的整教)存在切圆，且面融为S,各边长分别为a1，a2,a?,…a^,合理猜想其切固率及公式(不需说明理由人例2.如图，ZkABC中，/A=m°.,资,资料.ri；如图CD,当。是ZiABC的心时，求NBOC的度数；(2)如图(2).当。是AABC的外心时，求NBOC的度数;(3)如图C3Z主。是高线BD与CE的交互时，求NBOC的度数.例3.如图，RtZkABC中，AC=8,BC=6,ZC=90°,01分别切AC,BC>AB于D,E,F,求RtAABC的心I与外心。之间的距肉.考点遮练1:L如四1,。。切于△ABC,切点为D,E,F.已知/B=50°,ZC=60°,连结OE,OF,DE,DF,那么NEDF等于（）A.40°B.55°C.65°D.70°2.如同2,。。是aABC的切圆，D,E,F是切点，/A=50°，/C=60°,则/DOE=A.70°B.110°C.120°D.130°.如图3,AABC中，ZA=45°,I是心，则/BIC=()A.112.5°B.112°C.125°D.55°.下列命题正确的是()A、三角形的心到三命形三个顶点的龙南相等B.三角形的心不一定在三角形的部C.等边三角形的心，外心堂合D.1个S]一定有唯一一个外切三角形.在RtAiABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,则它的切固与外接回率及分别为()A.152.5B.2,5C.1,2.5D.2,2.5.如舀，在aABC中，AB=AC,切S]O与边BC,AC,AB分别切于D,E,F.(\)求证：BF=CE；(2)若/C=30°,CE=2日求AC的长.7.如舀，。1切AABC的边分别为D,E,F,/B=70°,ZC=60°,M是版DEF上的动皮(与D,E不重合入NDMF的大小一定吗？若一定，求出NDMF的大小；若不一定，请说明理由.九.了解接切角与同京定理【考点送党】考点1.弦切角的机念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和固相切的角叫做弦切角。注来：弦切角必须具备三个条件：（｝）顶点在圜上（切点入（2）一边和圆布切，（3）一边和S］相交（弦人三者缺一不可。.弦切角定理：弦切角等于它所夹的强对的固周危。.弦切角定理的桎论：如果两个弦切箱所卖的张相等，那么这两个弦切角也相等。考点2固军定理：固米定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推花统一归纳的结果。.相交弦定理：固两条相交弦，被交点分成的两条线段长的收扣等。2、扣交弦定理的推论：如果弦与直役相交，那么弦的一半是它分立投所成的两条线段的比例中项。3、切割线定理：从囱外一点引固的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4、切割线定理的推论（或称到线定理人从圆外一点引圆的两条割线，这一点列每条制线与固的交点的两条线段长的尔加等。兵型例题：例L如图，经1±。。上的点T的切成和弦AB的延长线相交于点C。求证：ZATC=ZTBCEC例2.已知：如舀，AB是。。的弦，P是AB上的一点，AB=10cm>PA=4cm,OP=5cm,求O。的半役。例3.AB是半圆。的直役，C是AB延长战上一点，CD切率固于D,连结AD,若AD3=15,sinC=—,求BC的长。】与团住量的关东1国和画的位JL美东（设两画率校分别处R和r,固心距为d）外禹外切相交切含图形回公共A0个1个2个1个0个d、r.R的d>R+rd=R+r\R-r\5小固半投为3,05D.OWc/vl或d>5两圜回心花为10,则这两置的位置关系为().右图是一卡通用,B.外切C.相交图中药@1的位置关条r)D.含外需C.切D,含.若西圆的半役分别是1cm和5cm,S］心距为6cm,则这两固的住置吴东是(A、切B.相交C.外切D.外需6,外切而圆的S］心泥是7,其中一圆的半投是4,则另一圆的半役是A.11B.7C.4D.37.已知。Q和OQ的半投分别为1和4,如果两国的位置关系为相交，那么圆心呢。。2的取值阕在数轴上表示正确的是」]]_।_।_j।La,11iiU>—।l012345012345012345012345A.B.C.D.,资料.^,资料.8.若西圆的半役分别是2cm和3cm,囱心距为5cm,则这两个圆的位置关东是()A.切B.相交C.外切D.外需TOC\o"1-5"\h\z9,若。。［与。外相切，且。。2=5,。0］的率投4=2,则。a的半役々是()A.3B.5C.7D.3或710.已知。。1与。Q外切，它们的半役分别为2和3,则圜心、距002的长是()A.O1O2=1B.O。？=5C.15IL已知的S］的半及分别为3cm和2cm,圆心距为5cm,则由S］的位近关东是A、外需B.外切C,相交D.切.如国，把。。|向右平移8个单位长度径。O2，两固相交于A.B,JLO|A±O2A,则同中阴影部分的面也是A・4?r-8B.8〃-16C.167r・16D.16^-32.若对S］的直授分别是2cm和10cm,S］心距为8cm＞则这两个圆的位理关东是A.切B,耳日交C.外切D.外需.如国，两个同心圆的率役分别为3cm和5cm,注43与小S］相切于点U,则44的长为()A、4cmB.5cmC.6cmD.8cm.如四，两同心圆的回心为。，大圆的弦AB切小置于P,西固的半役分别为6,3,则图中阴彩部分的面积是r)C.96一34D,66一24A,9^3-7iB.65/3—7r.若相交两圆的半役分别为1和2,则此两圆的固心距可能是().TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.4.图中S］与团之间不同的伍反关条有()A、2种B.3种C.4种D.5种.已知。O］的率役为3cm,OO?的半役为4cm,两圆的固心距Q。？为7cm,则。0］与。。）的位直关东是.二.澳变.已知西圜的半役分别是2和3,固心距为6,那么这两固的位近关系是.20,已知相交而固的率及分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,则这两个固的圆心花是21.已知OO］的率及为3cm,。。2的半及为4cm,和固的圆心也为7cm,则OO,与OQ的佳贵美条是22.已知。O］和。02的半役分别是一元二次行程（入-1）（1-2）=0的两根，旦0。2=2,则。。1和。。工的位直关东是.如图，G）A,。8的率及分别为km,2cm,S］心距AB为5cm.如果。A由图示位置沿直爱A8劭右手移3cm,则此时该团与。8的位置关条是..已知相切的蜀的半按分别为5cm和4c加，这两个圆的S］心泥是^.已知。。［和。。2的半役分别为3cm和2cm,SLO。?=1cm»fijGO｝和。。2的位置关余为.已知△ABC的三边分别是a,b,c,两圆的半控（=〃，r?=b,圆心贬d=c,则这两个圜的位直关东是.如国，正方形A8CQ中，七是8c边上一点，以上为圜心.EC为率按的率圆与以A为圆心，A8为半役的圜弧外切，则sinNEAB的值为圆的有关计算（第28题）十一•圆的有关计算【例题皎典】有关张长公式的应用例1如四，RtAABC的斛边AB=35,AC=2b点。在AB边上，OB=20,一个以。为固心的圆，分别切而直角边边BC、AC于D,E两点，求祗DE的长度，有关阴影部分质次的求决例2如西所示，等腰直命三角形A8C的斛边A3=4,。是A8的中点，以。为圆心的率团分别与两膜布切于。、E、求国中阴影部分的面积.・资料.,资料.TOC\o"1-5"\h\z求西面上录处距*p例3如图，底面率投为1,母爱长为4的圜雄，\一只小蝎蚁若从A点出发，绕侧面一周又日列A点，它/\危行的呆短路线长是()/\A.2〃B.472C.4x/3D.5求囿碓的锄面叁例4如图10,这是一个由圆柱体材料加工而成的奉件，它是以固柱体的上底面为底面,在其部“拘取"一个与S］柱体等高的E］银体而得到的，其底面直役AB=12cm,高BC=8cm,求这个零件的表面也.(结果保留极号)【考点速练】一、基础司练L已知扇形的圆心角为120°,率狡为2cm,则扇形的张长是cm,扇形的面也是cm,.2.如同1,两个同心固中,大圆的率役0A=4cm,NAOB=NBOC=60,则图中阴影crrr..如图2,圆碓的底面率役为6cm,高为8cm,那么这个圆雄的侧面看是.如图3,在纸上剪下一个回形和一个扇形的线片，使之恰好能区成一个固推摸型，若圆的半役为r,扇形的率彼为R,扇形的S］心角等于120,则r与R之间的关东是（）A.R=2rB,R=rC.R=3rD.R=4r.如舀4,圆锥的底面率投为3cm,母线长为5cm,则它的侧面依是（）A.60^cm2B.454cm?C.30^cm2D.154cm?6,已知S］推侧面费开图的圆心角为90、则该固推的底面率役与母线长的比为（）A.1：2B,2：1C.1：4D.4：17.用半役为30cm,回心角为120,的扇形留成一个圆锁的侧面，则圆碓的底面率投为（）A.10cmB.30cmC.45cmD.300cm8,将直役为64cm的圆形佚皮，做成四个相同固钺衮及的侧面（不浪去用料，不计接战处的材料损耗，那么每个圆钻衮器的高为r）A.8ViTcmB.8VncmC.16x/3cmD.16cm9.如图5,S］心角都是90的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3,OC=1,分别连结AC.BC,则圆中阴影部分的面积为（）A.—7TB.加2C,2〃D.44