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2021年北京中考数学试卷

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2021年北京中考数学试卷2021年北京市中考数学试卷及解析一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个。1.(2分)如图是某几何体的展开图,该几何体是()A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱2.(2分)党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014﹣2018年,中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元,将169200000000用科学记数法表示应为()A.0.1692×1012B.1.692×1012C.1.692×1011D.16.92×1...

2021年北京中考数学试卷
2021年北京市中考数学试卷及解析一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个。1.(2分)如图是某几何体的展开图,该几何体是()A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱2.(2分)党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014﹣2018年,中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元,将169200000000用科学记数法 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示应为()A.0.1692×1012B.1.692×1012C.1.692×1011D.16.92×10103.(2分)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为()A.30°B.40°C.50°D.60°4.(2分)下列多边形中,内角和最大的是()A.B.C.D.5.(2分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.a>﹣2B.|a|>bC.a+b>0D.b﹣a<06.(2分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是()1112A.B.C.D.4323第1页(共27页)7.(2分)已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数且n<√2021<n+1,则n的值为()A.43B.44C.45D.468.(2分)如图,用绳子围成周长为10m的矩形,记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是()A.一次函数关系,二次函数关系B.反比例函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,反比例函数关系D.反比例函数关系,一次函数关系二、填空题(共16分,每题2分)9.(2分)若√𝑥−7在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.10.(2分)分解因式:5x2﹣5y2=.2111.(2分)方程=的解为.𝑥3𝑥𝑘12.(2分)在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(﹣1,=𝑥m),则m的值为.13.(2分)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB=.14.(2分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是(写出一个即可).第2页(共27页)15.(2分)有甲、乙两组数据,如下表所示:甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s2,s2,则s2s2(填“>”,“<”或“=”).甲乙甲乙16.(2分)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料.若𝑚两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则的值为.𝑛三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21-22题,每题6分,第23题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17.(5分)计算:2sin60°+√12+|﹣5|﹣(π+√2)0.4𝑥−5>𝑥+118.(5分)解不等式组:{.3𝑥−4<2𝑥19.(5分)已知a2+2b2﹣1=0,求代数式(a﹣b)2+b(2a+b)的值.第3页(共27页)20.(5分)《淮南子天文训》中记载了一种确定东西方向的方法,大意是:日出时,在地面上点A处立一根杆,在地面上沿着杆的影子的方向取一点B,使B,A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位),在点B处立一根杆;日落时,在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距离为10步,在点C处立一根杆.取CA的中点D,那么直线DB表示的方向为东西方向.(1)上述方法中,杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规,在图中作CA的中点D(保留作图痕迹);(2)在如图中,确定了直线DB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直线CA表示的方向为南北方向,完成如下证明.证明:在△ABC中,BA=,D是CA的中点,∴CA⊥DB()(填推理的依据).∵直线DB表示的方向为东西方向,∴直线CA表示的方向为南北方向.21.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2=0.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.第4页(共27页)22.(6分)如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;4(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB,求BF和AD的长.=5123.(5分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数yx的图象向下平移1=2个单位长度得到.(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>﹣2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.24.(6分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,AD⊥BC于点E.(1)求证:∠BAD=∠CAD;(2)连接BO并延长,交AC于点F,交⊙O于点G,连接GC.若⊙O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.第5页(共27页)25.(5分)为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况,从这两座城市的邮政企业中,各随机抽取了25家邮政企业,获得了它们4月份收入(单位:百万元)的数据,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组:6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16):b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是:10.010.010.110.911.411.511.611.8c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息,回答下列问题:(1)写出表中m的值;(2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1.在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.比较p1,p2的大小,并说明理由;(3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).第6页(共27页)26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;(2)已知点(﹣1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.27.(7分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点,点D在MC上,以点A为中心,将线段AD顺时针旋转α得到线段AE,连接BE,DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系,并证明;(2)过点M作AB的垂线,交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系,并证明.第7页(共27页)28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′(B′,C′分别是B,C的对应点),则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.(1)如图,点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1,B2C2,B3C3中,⊙O的以点A为中心的“关联线段”是;(2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;(3)在△ABC中,AB=1,AC=2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长.第8页(共27页)2021年北京市中考数学试卷参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与试题解析一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个。1.(2分)如图是某几何体的展开图,该几何体是()A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱【分析】展开图为两个圆,一个长方形,易得是圆柱的展开图.【解答】解:∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形,∴展开图可得此几何体为圆柱.故选:B.2.(2分)党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014﹣2018年,中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元,将169200000000用科学记数法表示应为()A.0.1692×1012B.1.692×1012C.1.692×1011D.16.92×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.【解答】解:将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011.故选:C.3.(2分)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为()A.30°B.40°C.50°D.60°第9页(共27页)【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数,再根据垂直的意义求出答案.【解答】解:∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=120°,∴∠BOC=180°﹣120°=60°,又∵OC⊥OD,∴∠COD=90°,∴∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣60°=30°,故选:A.4.(2分)下列多边形中,内角和最大的是()A.B.C.D.【分析】根据多边形的内角和公式求解即可.【解答】解:A.三角形的内角和为180°;B.四边形的内角和为360°;C.五边形的内角和为:(5﹣2)×180°=540°;D.六边形的内角和为:(6﹣2)×180°=720°;故选:D.5.(2分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.a>﹣2B.|a|>bC.a+b>0D.b﹣a<0【分析】根据图象逐项判断对错.【解答】解:A.由图象可得点A在﹣2左侧,∴a<﹣2,A选项错误,不符合题意.B.∵a到0的距离大于b到0的距离,∴|a|>b,B选项正确,符合题意.C.∵|a|>b,a<0,∴﹣a>b,∴a+b<0,C选项错误,不符合题意.D.∵b>a,∴b﹣a>0,D选项错误,不符合题意.第10页(共27页)故选:B.6.(2分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是()1112A.B.C.D.4323【分析】画树状图,共4种等可能的结果,一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的有2种结果,再由概率公式求解即可.【解答】解:画树形图得:由树形图可知共4种等可能的结果,一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的有2种结果,21∴一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的的概率为=,42故选:C.7.(2分)已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数且n<√2021<n+1,则n的值为()A.43B.44C.45D.46【分析】先写出2021所在的范围,再写√2021的范围,即可得到n的值.【解答】解:∵1936<2021<2025,∴44<√2021<45,∴n=44,故选:B.8.(2分)如图,用绳子围成周长为10m的矩形,记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是()A.一次函数关系,二次函数关系B.反比例函数关系,二次函数关系第11页(共27页)C.一次函数关系,反比例函数关系D.反比例函数关系,一次函数关系【分析】矩形的周长为2(x+y)=10,可用x来表示y,代入S=xy中,可得S关于x的函数关系式,代简即可得出答案.【解答】解:由题意得,2(x+y)=10,∴x+y=5,∴y=5﹣x,即y与x是一次函数关系.∵S=xy=x(5﹣x)=﹣x2+5x,∴矩形面积满足的函数关系为S=﹣x2+5x,即满足二次函数关系,故选:A.二、填空题(共16分,每题2分)9.(2分)若√𝑥−7在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是x≥7.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式,得到答案.【解答】解:由题意得:x﹣7≥0,解得:x≥7,故答案为:x≥7.10.(2分)分解因式:5x2﹣5y2=5(x+y)(x﹣y).【分析】提公因式后再利用平方差公式即可.【解答】解:原式=5(x2﹣y2)=5(x+y)(x﹣y),故答案为:5(x+y)(x﹣y).2111.(2分)方程=的解为x=3.𝑥3𝑥【分析】先将分式化为整数,然后求解并检验.【解答】解:方程两边同时乘以x(x+3)得:2x=x+3,第12页(共27页)解得x=3,检验:x=3时,x(x+3)≠0,∴方程的解为x=3.故答案为:x=3.𝑘12.(2分)在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(﹣1,=𝑥m),则m的值为﹣2.【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣m=1×2,然后解关于m的方程即可.𝑘【解答】解:∵反比例函数y(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(﹣1,m),=𝑥∴﹣m=1×2,解得m=﹣2,即m的值为﹣2.故答案为﹣2.13.(2分)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB=130°.【分析】先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°,然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数.【解答】解:∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P=360°,∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°.故答案为130°.14.(2分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是AE=AF(写出一个即可).第13页(共27页)【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC,即AF∥CE,推出四边形ABCD是平行四边形,根据菱形的判定定理即可得到结论.【解答】解:这个条件可以是AE=AF,理由:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,即AF∥CE,∵AF=EC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形,故答案为:AE=AF.15.(2分)有甲、乙两组数据,如下表所示:甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为s2,s2,则s2>s2(填“>”,“<”或“=”).甲乙甲乙【分析】根据平均数的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 求出甲和乙的平均数,再根据方差公式进行计算即可得出答案.1【解答】解:𝑥=×(11+12+13+14+15)=13,甲51s2=[(11﹣13)2+(12﹣13)2+(13﹣13)2+(14﹣13)2+(15﹣13)2]=2,甲51𝑥=×(12+12+13+14+14)=13,乙51s2=[(12﹣13)2+(12﹣13)2+(13﹣13)2+(14﹣13)2+(14﹣13)2]=0.8,乙5∵2>0.8,∴s2>s2.甲乙故答案为:>.16.(2分)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2:3.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料.若第14页(共27页)𝑚1两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则的值为.𝑛2【分析】设分配到生产线的吨数为x吨,则分配到B生产线的吨数为(5﹣x)吨,依题意可得4x+1=2(5﹣x)+3,然后求解即可,由题意可得第二天开工时,由上一问可得方程为4(2+m)+1==2(3+n)+3,进而求解即可得出答案.【解答】解:设分配到生产线的吨数为x吨,则分配到B生产线的吨数为(5﹣x)吨,依题意可得:4x+1=2(5﹣x)+3,解得:x=2,∴分配到B生产线的吨数为5﹣2=3(吨),∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2:3;∴第二天开工时,给生产线分配了(2+m)吨原材料,给生产线分配了(3+n)吨原材料,∵加工时间相同,∴4(2+m)+1==2(3+n)+3,1解得:mn,=2𝑚1∴=,𝑛21故答案为:2:3;.2三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21-22题,每题6分,第23题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17.(5分)计算:2sin60°+√12+|﹣5|﹣(π+√2)0.【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值,分别化简得出答案.3【解答】解:原式=2√+2√3+5﹣1×2=√3+2√3+5﹣1=3√3+4.4𝑥−5>𝑥+118.(5分)解不等式组:{.3𝑥−4<2𝑥【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【解答】解:解不等式4x﹣5>x+1,得:x>2,第15页(共27页)3𝑥4解不等式<x,得:x<4,2则不等式组的解集为2<x<4.19.(5分)已知a2+2b2﹣1=0,求代数式(a﹣b)2+b(2a+b)的值.【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简,把已知等式变形,代入即可.【解答】解:原式=a2﹣2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2,∵a2+2b2﹣1=0,∴a2+2b2=1,∴原式=1.20.(5分)《淮南子天文训》中记载了一种确定东西方向的方法,大意是:日出时,在地面上点A处立一根杆,在地面上沿着杆的影子的方向取一点B,使B,A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位),在点B处立一根杆;日落时,在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距离为10步,在点C处立一根杆.取CA的中点D,那么直线DB表示的方向为东西方向.(1)上述方法中,杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规,在图中作CA的中点D(保留作图痕迹);(2)在如图中,确定了直线DB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直线CA表示的方向为南北方向,完成如下证明.证明:在△ABC中,BA=BC,D是CA的中点,∴CA⊥DB(三线合一)(填推理的依据).∵直线DB表示的方向为东西方向,∴直线CA表示的方向为南北方向.【分析】(1)作BD⊥AC于D即可.(2)利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可.【解答】解:(1)如图,点D即为所求.第16页(共27页)(2)在△ABC中,BA=BC,D是CA的中点,∴CA⊥DB(三线合一),∵直线DB表示的方向为东西方向,∴直线CA表示的方向为南北方向.故答案为:BC,三线合一.21.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2=0.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.【分析】(1)根据方程的系数,结合根的判别式可得出△=4m2,利用偶次方的非负性可得出4m2≥0,即△≥0,再利用“当△≥0时,方程有两个实数根”即可证出结论;(2)利用因式分解法求出x1=m,x2=3m.由题意得出m的方程,解方程则可得出答案.【解答】(1)证明:∵a=1,b=﹣4m,c=3m2,∴△=b2﹣4ac=(﹣4m)2﹣4×1×3m2=4m2.∵无论m取何值时,4m2≥0,即△≥0,∴原方程总有两个实数根.(2)解:∵x2﹣4mx+3m2=0,即(x﹣m)(x﹣3m)=0,∴x1=m,x2=3m.∵m>0,且该方程的两个实数根的差为2,∴3m﹣m=2,∴m=1.22.(6分)如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD=90°,点E在BC上,AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;4(2)若AE平分∠BAC,BE=5,cosB,求BF和AD的长.=5第17页(共27页)【分析】(1)证AD∥CE,再由AE∥DC,即可得出结论;(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分线的性质得EC=EF=3,最后由平行四边形的性质求解即可.【解答】(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥CE,∵AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形;(2)解:∵EF⊥AB,∴∠BFE=90°,4𝐵𝐹∵cosB=,=5𝐵𝐸44∴BFBE×5=4,=5=5∴EF=√𝐵𝐸2−𝐵𝐹2=√52−42=3,∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∠ACE=90°,∴EC=EF=3,由(1)得:四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC=3.123.(5分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数yx的图象向下平移1=2个单位长度得到.(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>﹣2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.【分析】(1)根据平移的规律即可求得.(2)根据点(﹣2,﹣2)结合图象即可求得.11【解答】解:(1)函数yx的图象向下平移1个单位长度得到yx﹣1,=2=2第18页(共27页)1∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数yx的图象向下平移1个单位长度得到,=21∴这个一次函数的表达式为yx﹣1.=21(2)把x=﹣2代入yx﹣1,求得y=﹣2,=21∴函数y=mx(m≠0)与一次函数yx﹣1的交点为(﹣2,﹣2),=2把点(﹣2,﹣2)代入y=mx,求得m=1,1∵当x>﹣2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数yx﹣1的值,=21∴≤m≤1.224.(6分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,AD⊥BC于点E.(1)求证:∠BAD=∠CAD;(2)连接BO并延长,交AC于点F,交⊙O于点G,连接GC.若⊙O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.【分析】(1)根据垂径定理得到𝐵𝐷̂=𝐶𝐷̂,根据圆周角定理证明结论;(2)根据勾股定理求出BE,根据垂径定理求出BC,根据圆周角定理得到∠BCG=90°,根据勾股定理求出GC,证明△AFO∽△CFG,根据相似三角形的性质求出OF.第19页(共27页)【解答】(1)证明:∵AD是⊙O的直径,AD⊥BC,∴𝐵𝐷̂=𝐶𝐷̂,∴∠BAD=∠CAD;(2)解:在Rt△BOE中,OB=5,OE=3,∴BE=√𝑂𝐵2−𝑂𝐸2=4,∵AD是⊙O的直径,AD⊥BC,∴BC=2BE=8,∵BG是⊙O的直径,∴∠BCG=90°,∴GC=√𝐵𝐺2−𝐵𝐶2=6,∵AD⊥BC,∠BCG=90°,∴AE∥GC,∴△AFO∽△CFG,𝑂𝐴𝑂𝐹5𝑂𝐹∴=,即=,𝐺𝐶𝐹𝐺65−𝑂𝐹25解得:OF.=1125.(5分)为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况,从这两座城市的邮政企业中,各随机抽取了25家邮政企业,获得了它们4月份收入(单位:百万元)的数据,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组:6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16):第20页(共27页)b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是:10.010.010.110.911.411.511.611.8c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息,回答下列问题:(1)写出表中m的值;(2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1.在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.比较p1,p2的大小,并说明理由;(3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).【分析】(1)根据中位数的意义,求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列,得出处在第13位的数据即可;(2)根据p1,p2所表示的意义,结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据,得出答案;(3)根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可.【解答】解:(1)将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列,处在中间位置的一个数是10.1,因此中位数是10.1,即m=10.1;(2)由题意得p1=5+3+4=12(家),由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0,中位数是11.5,第21页(共27页)因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半,也就是p2的值要大于12,∴p1<p2;(3)11.0×200=2200(百万元),答:乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元.26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;(2)已知点(﹣1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.【分析】(1)将点(1,3),(3,15)代入解析式求解.31(2)分类讨论b的正负情况,根据mn<0可得对称轴在x与直线x之间,再根据各点到对称轴=2=2的距离判断y值大小.【解答】解:(1)∵m=3,n=15,∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)代入y=ax2+bx得:3=𝑎+𝑏{,15=9𝑎+3𝑏𝑎=1解得{,𝑏=2∴y=x2+2x=(x+1)2﹣1,∴抛物线对称轴为直线x=﹣1,(2)∵y=ax2+bx(a>0),∴抛物线开口向上且经过原点,当b=0时,抛物线顶点为原点,x>0时y随x增大而增大,n>m>0不满足题意,当b>0时,抛物线对称轴在y轴左侧,同理,n>m>0不满足题意,∴b<0,抛物线对称轴在y轴右侧,x=1时m<0,x=3时n>0,31∴抛物线对称轴在直线x与直线x之间,=2=21𝑏3即<−<,22𝑎2𝑏3𝑏3∴2﹣()<,−(﹣1)>,−2𝑎2−2𝑎2∴y2<y1<y3.第22页(共27页)27.(7分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点,点D在MC上,以点A为中心,将线段AD顺时针旋转α得到线段AE,连接BE,DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系,并证明;(2)过点M作AB的垂线,交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系,并证明.【分析】(1)由∠DAE=∠BAC可得∠BAE=∠CAD,然后SAS证△ABE≌△ACD即可;(2)作EH⊥AB交BC于H,可证△BEF≌△BHF得BF=BH,再证MH=MD,再借助MN∥HF,由平行线分线段成比例即可证出.【解答】解:(1)∵∠DAE=∠BAC=α,∴∠DAE﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,即∠BAE=∠CAD,在△ABE和△ACD中,𝐴𝐵=𝐴𝐶{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷,𝐴𝐸=𝐴𝐷∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD,∵M为BC的中点,∴BM=CM,∴BE+MD=BM;(2)如图,作EH⊥AB交BC于H,由(1)△ABE≌△ACD得:∠ABE=∠ACD,∵∠ACD=∠ABC,∴∠ABE=∠ABD,在△BEF和△BHF中,∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐻𝐵𝐹{𝐵𝐹=𝐵𝐹,∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐻第23页(共27页)∴△BEF≌△BHF(ASA),∴BE=BH,由(1)知:BE+MD=BM,∴MH=MD,∵MN∥HF,𝐸𝑁𝑀𝐻∴=,𝐷𝑁𝑀𝐷∴EN=DN.28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′(B′,C′分别是B,C的对应点),则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.(1)如图,点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段B1C1,B2C2,B3C3中,的以点为中心的“关联线段”是⊙OAB2C2;(2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;(3)在△ABC中,AB=1,AC=2.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长.【分析】(1)利用旋转的性质以及点A到圆上一点距离的范围,结合图形判断,即可求出答案.第24页(共27页)(2)利用旋转的性质,“关联线段”的定义以及等边三角形的性质,求出B′C′的位置,从而求出t的值.(3)利用旋转的性质以及“关联线段”的定义,可知四边形AB′OC′的各边长,利用四边形的不稳定性,画出OA最小和最大时的图形,利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案.【解答】解:(1)由旋转的旋转可知:AB=AB′,AC=AC′,∠BAB′=∠CAC′,由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为√2−1≤d≤√2+1,∵AC1=3>d,∴点C1′不可能在圆上,∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”,∵AC2=1,AB2=√5,∴C2′(0,1),B2′(1,0),∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”,∵AC3=2,AB3=√5,当B3′在圆上时,B3′(1,0)或(0,﹣1),由图可知此时C3′不在圆上,∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”.故答案为;B2C2.(2)∵△ABC是边长为1的等边三角形,根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形,∵A(0,t),∴B′C′⊥y轴,且B′C′=1,∴AO为B′C′边上的高,且此高的长为√3,∴t=√3或−√3.(3)由旋转的性质和“关联线段”的定义,可知AB′=AB=OB′=OC′=1,AC′=AC=2,如图1,第25页(共27页)利用四边形的不稳定性可知,当A,O,C′在同一直线上时,OA最小,最小值为1,如图2,此时OA=OB′=OC′,∴∠AB′C=90°,∴B′C′=√𝐴𝐶′2−𝐴𝐵′2=√22−12=√3.当A,B′,O在同一直线上时,OA最大,如图3,此时OA=2,过点A作AE⊥OC′于E,过点C′作C′F⊥OA于F.∵AO=AC′=2,AE⊥OC′,1∴OE=EC′,=21√15∴AE2−𝑂𝐸2=√22−()2=,=√𝐴𝑂2211∵S=•AO•C′F=•OC′•AE,△AOC′2215∴C′F√,=4√151∴OF2−𝐶′𝐹2=√12−()2=,=√𝑂𝐶′443∴FB′=OB′﹣OF,=43√15√6∴B′C′2+𝐹𝐶′2=√()2+()2=.=√𝐹𝐵′442第26页(共27页)√6综上OA的最小值为1时,此时BC的长为√3,OA的最大值为2,此时BC的长为.2第27页(共27页)
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上传时间:2019-05-18
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