2018年数竞平面几何四点共圆讲义教师版

..-优选平面几何〔四点共圆〕冲刺讲义________班_______号________________一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1.欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线.此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.①的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点②九点圆的半径是的外接圆半径的.3.三角形心与旁心的性质：的心为，而边外的旁心分别为；分别是三条角平分线，交三角形外接圆于，交于，那么：①三角形过同一顶点的、外角平分线互相垂直；②，；③〔角平分线定理〕；④〔“鸡爪〞定理〕.二、例题分析例1.是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、于、，求证：.证明：过作的平行线分别交、于、，那么.取中点，连接、、、.，四点共圆.，而由，有.，四点共圆.，而，，.而是的中点，是的中点，..例2.等腰梯形中，∥，，分别是，的心，是直线上的一点，，的外接圆交的延长线于.证明：．证明：，故共圆，那么，因此，而，所以，，由此，．例3.在中，，心为，切圆在，边上的切点分别为，，设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆.证明：设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，那么．设点在直线上的射影为，由于那么半周长，于是，又所以∽，且相似比为，熟知：。又∽，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上．Z例4.设A、B为圆上两点，X为在A和B处切线的交点，在圆上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CA⊥BD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点．证明：X、F、G、H四点共圆．证明：设O为圆心，AB∩XO=M．∵△XOA∽△XAM，∴OX·XM=XA2=XC·XD．∴O、M、C、D四点共圆．∴∠XMO=∠OCD=∠ODC=∠OMC．∴∠CMG=∠GMD．在CM上选取一点E使MX∥DE，那么MD=ME．．在GX上取点X′，使∠GFD=∠DFX′，在X′F上取W使CF∥GW．由得CG·X′D=X′C·GD．由上面两式得=，故X=X′．∴∠GFD=∠XFD．又∵=<1和∠XPB=∠CDF<1．∴H和B在CX的同一侧．设H′为直线BF与△GFX外接圆的交点，那么∠H′XG=∠H′FG=∠H′FX=∠H′GX．∴H′G=H′X，∴H′=H．∴X、F、G、H四点共圆，得证．注：上述证法比拟麻烦，此题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设外接圆交于点，由“鸡爪〞定理知，从而在的中垂线上，此题得证.例5.△ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的外心与垂心．求证：AP⊥OH．证明：由∠BMC=∠BNC=90知B、C、N、M四点共圆．∴AM·AB=AN·AC．又AE=AB,AF=AC，∴AM·AE=AN·AF，即E、F、N、M共圆．注意到由∠AMH=∠ANH=∠AEO=∠AFO=90知AH、AO分别为△AMN、△AEF外接圆的直径．过AH中点H′与AO中点O′分别为△AMN与△AEF的外心，且易知O′H′∥OH．∴只需证AP⊥O′H′，只需证A、O为△AMN、△AEF外接圆的等幂点即可．注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知PM·PN=PE·PF．故P也为等幂点．综上所述，原命题成立．例6.设△ABC接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S．证明：假设QR=ST，那么PQ=UT．证明：过O作OK⊥PU=K，OF⊥BU=F，连结AK延长交⊙O于另一点E，过C作CH∥PU交AE于G，交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE．由垂径定理知BF=FC,QK=KT，且QR=ST．∴RK=KS即K是RS的中点，且CH∥PU．∴==⇒==1⇒HG=GC．由中位线定理知FG∥BH．∴∠FGE=∠BAE=∠BCE⇒F、G、C、E共圆．∴∠EFC=∠EGC=∠AGH=∠UKG．∴∠EFO+∠OKE=∠OFC+∠CFE+∠OKE=90+∠UKG+∠OKE=90+90=180．∴K、O、F、E四点共圆…①又∵∠OKU+∠OFU=2×90=180，∴K、O、F、U四点共圆…②结合①②知K、O、F、E、U五点共圆，∴∠KUO=∠KEO．又∵PA为⊙O切线⇒OA⊥PA，且OK⊥PU⇒∠KEO=∠KAO．∴∠KPO=∠KUO⇒OP=OU．又∵OK⊥PU，∴PK=UK．而QK=TU，∴PQ=UT，得证．例7.AB、AC为⊙O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共线，⊙P为以P点为圆心、PD为半径的圆．证明：C点在△BMP外接圆与⊙P的根轴上．证明：作PR⊥AC，其延长线交BC延长线于S．∵∠OMA=∠OBA=∠OCA=90，∴A、C、O、M、B五点共圆．∴∠BMP=∠BMA+90=∠BCA+90=180－∠RSC．∴B、M、P、S四点共圆．∴C对△BMP外接圆的幂为－CB·CS=－2CA·CR．而C对⊙P的幂为CP2－PD2=CP2－AP2－AD·AE=CP2－AP2+AC2=CR2+RP2－PR2－AR2+AC2=CR2－CR+CA2+CA2=－2RC·CA．∴C点对⊙P的幂等于C点到△BMP外接圆的幂．∴C点在上述两圆根轴上，得证．例8.设H为△ABC的垂心，D、E、F为△ABC的外接圆上三点，使AD∥BE∥CF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点．求证：S、T、U、H四点共圆．证明：先证引理：ABC外接圆⊙O与它的九点圆⊙V关于△ABC的垂心H位似，且位似比为．引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F，交⊙O于D′、E′、F′．易知HD=HD′,HE=HE′,HF=HF′．∴△D′E′F′与△DEF关于H位似，位似比为．∴△D′E′F′外接圆与△DEF外接圆关于H位似，即⊙O与⊙V关于H位似，位似比为．回到原题：设BC、CA、AB中点分别为X、Y、Z，过D作DP∥BC，交⊙O于P，设PH中点为W．易知SD⊥BC，设PS交BC于X′，那么由SD关于BC对称知SX′=X′D．∴X′为BC中点，即X与X′重合，即P与S关于X对称．同理P与U、T分别关于Z、Y对称．∴四边形USHT与四边形ZYWX对称．由引理知Z、X、Y、W四点共圆．∴U、T、H、S四点共圆，得证．例9.给定锐角△ABC，过A作BC的垂线，垂足为D，记△ABC的垂心为H，在△ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交△APD的外接圆于Q．求Q点的轨迹．解：Q点轨迹为△ABC的九点圆．如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K，延长AD交△ABC外接圆于G．那么熟知HD=DG，连接KN、MN、KD、PB、PG．因为各取中点有∠NKD=∠BPG,∠NMD=∠BAG．∴K、N、M、D四点共圆．又Q在△APD的外接圆上，∴PH·HQ=AH·HD，即2KH·HQ=2MH·HD．∴KH·HQ=MH·HD．于是有K、D、Q、M、N五点共圆．又△DMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上．反之，在如上所述九点圆上任取一点Q′，设Q′H延长线交△ABC外接圆于P′，取P′H中点R，同上可证R在九点圆上．故2RH·HQ′=2MH·HD，即P′H·HQ′=AH·HD．因此Q′在△AP′D外接圆上．得证．例10.在△ABC中，D是BC边上的一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆的圆心．求证：O′D⊥BC⇔AD恰好经过△ABC的九点圆心．证明：连AO1、BO1、AO2、CO2，作AB、AC垂直平分线交于点O．∵∠AO2C=2∠ADB=∠AO1B,AO1=BO1,AO2=CO2，∴△AO1B∽△AO2C．∴△AO1O2∽△ABC．∴∠AO1O=180－∠AO1B=180－∠AO2C=180－∠AO2O．故O在⊙O′上，O是△ABC的外心，故△AO′O∽△AO1B．又∠ADB=∠1,∠O1AB=∠O′AO=∠O′OA．∴O′D⊥BC⇔∠BAO1=∠ADO′⇔∠ADO′=∠O′DA⇔A、O′、O、D共圆⇔∠AO′O=180－∠ADO=∠ADB+∠ODC⇔∠ADB=∠ODC∵∠AO′O=2∠ADB如图，设OH与AD交于点K，作BC中垂线OM，交AD延长线于点M，OM与BC交于点L．由∠ADB=∠ODC⇔DL=LM⇔OM=2OL=AH⇔△AKH≌△MKO⇔OK=KH⇔K为九点圆心⇔AD经过△ABC的九点圆心．综上所述，命题得证．例11.接于,自作的切线,又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；那么四边形的四条边所在直线分别通过的心及三个旁心.以下，我们仍按情况给出图形和解答〔其实在所有情形下结论都成立〕证明:、如图,设的平分线交于，因，那么点关于直线对称，又因在上,那么，因此共圆,由于为的切线，那么，又由，所以，因此为的心.、据条件知，为矩形,设角平分线交直线于，连，由(1)知,点关于直线对称，故，那么为的外角平分线，因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，由，那么共圆.故共线,因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，连，因故共圆..所以共线,即是的外角平分线,因此为边外的旁心．例12.三角形中，是的中点，分别是边上的点，且△的外接圆交线段于假设点满足：证明：证明：在圆中，由于弦故圆周角，因此，与分别共圆，于是设点在边上的射影分别为，那么△∽△∽△，故由得，○1设△的心为今证四点共圆：连因分别共圆，那么，又由○1，，所以△∽△因此而所以因为故得，因此四点共圆，于是延长交的外接圆于那么为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为的切线.延长交于T,那么∽,所以,又由∽,得,因故...②延长到,使，那么为平行四边形,...③由②得.……④由③、④得∽．所以，,即.三、稳固训练1.为正三角形的边上的任意一点，设与的心分别为，外心分别为；证明：．证明：如图，据心性质，有，所以共圆，即点在上，而，得点也在上，即五点共圆．此圆的圆心即为的圆心；注意的平分线也是的中垂线，即共线，因此；同理有五点共圆，圆心为，因此，且．由于，，那么；又在中，；在中，；所以，于是≌．从而，由于在直角三角形中，，所以有．2.△ABC切圆与BC切于K，AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与△ABC切圆交于K、N．求证：△BNC外接圆与△ABC切圆切于N．证明：设△ABC关于∠BAC的旁切圆为⊙IA，半径为rA，△ABC心为I，⊙I半径为r，⊙IA切BC于T，KI交⊙I于K、S，那么∵==，IAT∥IS均垂直于BC，∴A、S、T共线．∵I为SK中点，M为AD中点，SK∥AD，∴T、I、M共线．∵===,IK∥IAT，∴M、K、IA三点共线．设⊙I关于点K、N切线交于Q，那么QI⊥NK．设QI交NK于R，那么∵IB平分∠ABC，IAB平分∠ABC外角，∴∠IBIA=90．又∵∠IRIA=90，∴I、B、IA、R共圆．同理I、R、C、IA共圆，∴I、B、IA、C、R共圆．∴QB·QC=QR·QI．∵IQ⊥KN,IK⊥KQ，∴QR·QI=QK2．∴QB·QC=QK2=QN2，∴△BNC外接圆有切线QN．又QN为⊙I切线，∴△BNC外接圆与△ABC切圆切于N，证毕．3.△ABC的三边分别交⊙O于X、X′、Y、Y′、Z、Z′．假设△AYZ、△BXZ、△CXY的外接圆交于一点M，△AY′Z′、△BX′Z′、△CY′Z′的外接圆交于一点M′．求证：OM=OM′．证明：设M的等角共轭点为M1，在BC、AC、AB上分别取点X1、Y1、Z1使∠M1X1B=∠M1Y1C=∠M1Z1A=∠MXC=∠MYA=∠MZB．∴A、Y1、Z1M四点共圆．∴∠AZ1Y1=∠AM1Y1=∠M1Y1C－∠M1AC=∠MZB－∠MAB=∠AMZ=∠AYZ．∴Y1、Y、Z1、Z四点共圆1．同理可得Y、X1、X、Y1共圆2；X1、X、Z1、Z共圆3．∴假设1≠2，那么3≠1,2，与三圆根轴交于一点，矛盾！故1=2=3，X、X1、Y、Y1、Z、Z1共圆，那么X1=X′,Y1=Y′,Z1=Z′．设MX∩M′X′=X0,MY∩M′Y′=Y0,MZ∩M′Z′=Z0，那么M、M′、X0、Y0、Z0三点共圆∵∠XX0X′=∠YY0Y′=∠ZZ0Z′．又∠OX0M′=∠OY0M′∵OX0⊥XX′,OY0⊥YY′．∴O、M、M′、X0、Y0、Z0共圆．而∠OM′M=∠OX0M=∠OMM′，故OM=OM′．