平面向量课标解读

第二章平面向量 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 4是高中数学课程的必修模块，内容包括三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换。平面向量是1996年进入高中数学课程的内容，《标准》对其中的一些内容作了新的处理，在要求上也有变化。一、教育价值向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面。1、有助于学生体会数学与实际生活的联系以及数学在解决实际问题中的作用。向量是刻画现实世界的重要数学模型。力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述。《标准》突出向量的实际背景与应用。因此，通过本模块内容的学习，有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识。2、有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学发现与创造过程。向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁。《标准》将向量与三角函数 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 在一个模块中，主要是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系，体现向量在处理三角函数问题中的工具作用。《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式等，这个过程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式之间的内在联系。3、有助于发展学生的运算能力和推理能力。向量作为代数对象，可以象数一样进行运算。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。数运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等是数学中的基本运算。从数运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用。《标准》要求学生掌握向量的加、减、数乘、数量积的运算，推导三角恒等变换公式。三角恒等变换公式的推导即是一种三角函数运算，也体现了公理化方法和推理论证在数学研究中的作用。因此，本模块内容的学习有助于学生体会数学运算的意义，以及运算、推理在探索、发现数学结论，建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力。二、课程内容加强的方面及依据1、加强几何直观。对于平面向量，《标准》强调向量概念的几何背景，强调理解向量运算（加、减、数乘、数量积）及其性质的几何意义。2、强调数学建模。《标准》将向量作为刻画现实世界的数学模型。学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即“问题情景—建立模型—数学结果—解释、应用与拓展”。《标准》对向量内容的处理，首先提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立向量模型（引出向量的概念），再运用数学的方法研究向量模型的性质，最后运用向量模型及其性质去解决包括现实原型在内的更加广泛的一类实际问题。这样处理体现了数学知识的产生、发展过程，反映了数学的“来龙去脉”，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识。4、强调数学知识之间的内在联系以及数学与其他学科的联系。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的一种工具，体现了数形结合的思想。本模块用向量的数量积来推导两角差的余弦公式、刻画平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题，体现了向量方法在研究和解决数学问题中的作用，也沟通了代数、几何与三角的联系。三角函数与向量在物理中有着广泛的应用，物理背景也是向量模型的重要原型。《标准》强调突出向量的物理背景和向量在物理中的应用，体现了数学与物理等学科的密切联系。三、课程内容削弱的方面及依据平面向量与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，《标准》在平面向量部分删减了平面两点间的距离公式，线段定比分点及中点坐标公式，平移公式等内容。四、对标准内容的有关说明与建议1•向量是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型。《标准》将向量当作数学模型来处理，体现了数学模型观，渗透了数学建模的思想。对于数学模型，徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中作了这样的解释：所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。徐利治先生在该书中还对数学模型作了广义的解释：凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程、微分方程、差分方程、积分方程）以及有公式系列构成的算法系统等等都可称之为数学模型。这是一种广义的数学模型观。以这种观点看待本模块的内容，向量的概念、向量的运算等等都是数学模型。学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即首先从大量的实际背景中概括抽象出三角函数、向量的概念（数学模型），然后利用数学的方法研究向量的性质，再运用这些数学模型去解决实际问题。由于数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于刻画和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题。这个过程突出了数学的来龙去脉。因此，教师在向量的教学中，应树立一种数学模型的观念，用数学模型的观点看待这些内容。在向量概念的教学中，教师也应关注以下两点：第一，根据学生的生活经验，创设丰富的情境。例如，物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型。通过这些实例，可使学生了解向量的物理背景和几何背景，认识到向量是描述和刻画现实问题、物理和数学等学科中的问题的工具。这对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。第二，注重向量模型的运用，引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。2•向量是数学中重要的、基本的概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量是重要的数学模型。（V,+）是一个群的模型，即向量对加法运算构成群；（V,R,+,.）是一个线性空间的模型，即向量、实数对向量加法、数与向量乘法构成线性空间；（V,II,R,+,.）是一个线性赋范空间的模型，即给向量赋以长度，向量、实数对向量加法、数与向量乘法构成线性赋范空间。因此，向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型，是理解这些数学内容的基础。向量也是重要的物理模型。平面力场、平面位移场以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且，体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。《标准》中，对向量内容也是分层次处理的。在必修数学4中设计了平面向量，在选修系列2中设计了空间向量。下面对数学4中的平面向量作进一步分析。平面上任意向量可唯一表示成一组不共线的向量的线性组合，也就是说，对于平面上的向量，任意一组不共线的向量都可作为基底。为了方便，通常我们选择一组标准正交的向量（一组夹角为90度，长度为1的向量）作为基底。将平面上的一个向量用标准正交基表示就是向量的正交分解，即平面上的任一向量都可以分解成两个正交的向量。从几何的角度看，向量的正交分解就是把一个向量分解成两个互相垂直（正交）的向量，这两个互相垂直的向量的长度正是原向量分别在正交基的两个方向上的投影的长度。从代数的角度看，向量的正交分解就是把一个向量表示为标准正交基的线性组合，这个线性组合的系数（唯一的数对）就是该向量在此标准正交基下的坐标，即向量可以用数对来表示。向量的数量积是向量的一种重要运算。为便于说明向量的数量积的意义，我们不妨以一个向量与单位向量的数量积为例。一个向量与单位向量的数量积，其物理意义就是由向量表示的力使物体沿单位向量方向作运动所做的功，其几何意义就是向量在单位向量上的投影的长度。一个向量与自身的数量积就是该向量长度的平方。因此，向量的坐标就是该向量与标准正交基中的两个单位向量的数量积。运用向量的数量积很容易推导出两角差的余弦公式。设（ei,e2）是平面上的标准正交基，a，b是平面上的单位向量，a与ei的夹角为〉，b与ei的夹角为［，且二匸匸。向量a在（ei,e2）下的坐标为（cos「，sin：•），向量b在（ei,e2）下的坐标为（cos-,sinJ，向量a，b的数量积ab=abcos（:•-J=cos〉cos1sin：•sin一：。由于a，b是单位向量，所以，cos（:;『■）=cos：cos：sin：sin-。运用向量也可以解释三角函数。设（ei,e2）是平面上的标准正交基，a是平cos：a在0上的投影a的长度aeiae2面上的向量，a与ei的夹角为〉，则可以用向量的数量积来解释三角函数如下。a在e2上的投影a的长度a在e2上的投影ae2tan-■a在上的投影ae1三角函数的向量解释常作为物理、工程中研究力、速度、加速度的工具。5•通过本模块内容学习，学生对基本初等函数已经有一个较为完整的认识和理解。因此，在本模块的教学中，可以插入数学探究或数学建模活动，鼓励学生综合运用基本初等函数模型解决实际问题。例如，可以提供一个实际问题的背景及一些数据信息，让学生自己选择适当的初等函数模型来刻画和解决该问题。在此过程中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。