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物理学相关三维谐振子

物理学相关三维谐振子本科生量子力学课程讲义------------三维各向同性的谐振子§6.4三维各向同性谐振子1位势是V(r)m2r2，也是有心力场，故可取力学量完全集(Hˆ,Lˆ2,L)来分类能级及相应的本征函2z数。一、在球坐标系下，能量本征方程为：212Lˆ21(r)m2r2E.2mrr22r2nlm2nlmnlm由于Tˆ和Vˆ的性质，所以能变量可分离为下列形式：nlmr,,R(r)Y(,)，nlmnllm代入能量本征方程得到径向方程为：1d22m1l(l1)rR(r)...

本科生量子力学课程讲义------------三维各向同性的谐振子§6.4三维各向同性谐振子1位势是V(r)m2r2，也是有心力场，故可取力学量完全集(Hˆ,Lˆ2,L)来分类能级及相应的本征函2z数。一、在球坐标系下，能量本征方程为：212Lˆ21(r)m2r2E.2mrr22r2nlm2nlmnlm由于Tˆ和Vˆ的性质，所以能变量可分离为下列形式：nlmr,,R(r)Y(,)，nlmnllm代入能量本征方程得到径向方程为：1d22m1l(l1)rR(r)Em2r2R(r)0rdr2nl22r2nl令m，2E及r，则有d2l(l1)(R)[2](R)0d22分析物理上可接受的径向波函数的渐进行为：22d(i)、当时，则有(R)2(R)0，所以R~e2。d2(ii)、当0时，R~l12令R()l1e2v()，代人方程得v[2(l1)22]v(2l3)v0；并代y2,则有3(2l3)yv(y)[(l)y]v(y)v(y)0。242l33这即为合流超比方程，要在y＝0处有正常解，则v(y)cF(,l,y)。42在y时，FeyR0是无穷级数（若不截断）。为使在无穷远处nl，因此要求截断成多项式，2本科生量子力学课程讲义------------三维各向同性的谐振子2l32E即n4n2l34rr33所以E(2nl)(N)，其中N2nl。r22r1N为奇N12N为奇当给定N时，lN,N2,，而n0,1,。0N为偶rN2N为偶可以求得与之相对应的归一化的波函数为：3l2n2r(2l2n1)!!3r(r)le2r22F(n,l,2r2)Y，nlm2rlmr(2l1)!!n!2rNl其中m，n。r2注意双阶乘记号：2l1!!135(2l1)及归一化条件R2(r)r2dr1。nlr0讨论：3A.三维各向同性谐振子的能级是等间距的，最低能级为；21B．每条能级是简并的。简并度g(N1)(N2)；N2C．当N为偶，l0,2,4N；当N为奇，l1,3,5N。所以，宇称为(1)N。二、三维各向同性谐振子也可用Hˆ,Hˆ,Hˆ作为力学量完全集来分类。xyz在直角坐标系下：11势能为：V(r)m2r2m2(x2y2z2)22哈密顿量为：HˆHˆHˆHˆ，即可分解为三个相互独立的一维谐振子：xyz221Hˆ2x2x2x22221Hˆ2y2y2y22221Hˆ2z2z2z22力学量完全集(Hˆ,Hˆ,Hˆ)的共同本征函数及本征值为：xyz2本科生量子力学课程讲义------------三维各向同性的谐振子1nxHˆ2xˆ1H(x,y,z)n(x,y,z)，n,n,n0,1,2,ynnny2nnnxyzxyzxyzHˆz1nz2能量为1113E(n)(n)(n)(N)ENnnn0,1,2,nnnxyzNxyZxyz22221能级简并度：g(N1)(N2)。N2证明：对于给定N，n和nn的取值数目为N1：xyzn0,1,2,,NxnnNnN,N1,N2,,0yzx进一步对于给定N和n时，n和n取值有(Nn1)种；即xyzxn0,1,2,,NnyxnNn,Nn1,Nn2,,0zxxxN1所以n,n,n的可能取值数目为：g(Nn1)(N1)(N2)，证毕。xyzNx2n0x对应的波函数为：1(x,y,z)32e2x2y2z22H(x)H(y)H(z)nnnnnnxyz2Nn!n!n!xyzxyz三、基底的变换1能级Eg(N1)(N2)维简并子空间NN2Hˆ,Hˆ,Hˆ表象：(x,y,z)xyznnnxyzHˆ,Lˆ2,Lˆ表象：(r,,)znlmr基底的变换：(x,y,z)(r,,)nnnnlmxyzr(r,,)(x,y,z)*(x,y,z)(r,,)dxdydznlmnnnnnnnrxyzxyzrmln,n,nxyz2本科生量子力学课程讲义------------三维各向同性的谐振子rrdr1r,,r,,r2sindrdd1r,,nlmr,,nnnnnnnlmrxyzxyzr1例：第一激发态N1，g(N1)(N2)3N2lN2n,n0,1,2,rrn0，l1，m1,1,0r(r,,)(r,,),(r,,),(r,,)nlm011010011rNnnn1xyznnnxyz100(x,y,z)(x,y,z),(x,y,z),(x,y,z)nnn100010001010xyz001(r,,)(x,y,z)(x,y,z)(r,,)01mnnnnnn01mxyzxyzn,n,nxyz12i2001110012i20011010001010001其中011100011100010011010001011001变换矩阵的矩阵元：1*(x,y,z)(r,,)d1000112i*(x,y,z)(r,,)d010011232132(x,y,z)e2x2y2z22H(x)H(y)H(z)2ze2r220012001*(x,y,z)(r,,)d0001011而对于基态N0，能级不简并。两种表象波函数相同，即2本科生量子力学课程讲义------------三维各向同性的谐振子32(r,,)e2r22n0,l0,m0r(x,y,z)32e2x2y2z22n0,n0,n0xyz2

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