用matlab研究应用定点投篮命中率问题

Matlab课题用matlab研究定点投篮命中率问题组长：易冬泉成员：陈福林成员：龚向鹏先只考虑球心对框心点对点投篮，合理假设，建立恰当模型，用matlab解出出手速度和出手方向范畴然后考虑球大小和框大小进行投篮，球入筐时可以偏离框心，在此基本上建立模型，用matlab解出出手速度、角度及其最大偏值最后针对实际状况，考虑空气阻力，设阻力与速度成正比，比例系数不超过0.05，建立恰当物理模型，在用matlab解出出手速度和出手方向范畴问题求解：模块1分析：不考虑篮球和篮筐大小，不考虑空气阻力大小影响，从未出手时球心P为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度α投出，可视为质点斜抛运动，其运动方程为：其中g是重力加速度，由此可得球心运动轨迹如下抛物线=2\*GB3\*MERGEFORMAT②以x=L，y=H-h代入=2\*GB3\*MERGEFORMAT②式，就得到了球心命中框心条件可以看出，给定出手速度v和出手高度h，就有两个α满足条件，而式有解前提为：=4\*GB3\*MERGEFORMAT④可解得：=5\*GB3\*MERGEFORMAT⑤于是对于一定出手高度h，使=5\*GB3\*MERGEFORMAT⑤式等号成立v为最小出手速度球入篮筐处入射角度为β，可从下式得到：=6\*GB3\*MERGEFORMAT⑥这里导数由=2\*GB3\*MERGEFORMAT②式计算代入后得相应，有，设eq\o\ac(○,7)求解代码见附录1表1对于不同出手速度和出手高度出手角度和入射角度速度高度最大出手角1最小出手角相应入框角1相应入框角28.00001.800062.409953.876342.792520.92138.00001.850062.777954.887641.843020.49158.00001.900063.117455.820640.918820.14318.00001.950063.433056.686540.015619.86498.00002.000063.728157.494139.130019.64788.00002.050064.005458.250538.259419.48478.00002.100064.267058.961537.401719.36988.50001.800067.697562.172637.504912.62508.50001.850067.866362.692236.754612.68708.50001.900068.028863.188436.007512.77538.50001.950068.185463.663235.263212.88828.50002.000068.336764.117934.521413.02408.50002.050068.482964.554133.781913.18118.50002.100068.624464.972933.044413.35839.00001.800071.069767.142634.13277.65509.00001.850071.173667.475633.44737.90359.00001.900071.274967.797432.76148.16639.00001.950071.373668.108632.07508.44289.00002.000071.470068.409831.38818.73219.00002.050071.564168.701430.70069.03389.00002.100071.656168.984030.01279.3472注：速度单位均为m/s，高度单位均为m，角度单位均为℃模块2分析：BADO图2图3考虑篮球和篮筐大小，如图2，若入射角太小，则球无法入筐。由图不难看出，球心命中筐心条件为（8）将=24.6cm，=45.0cm代入得>。由此对表1进行筛选，可得下表：表2.1对于不同出手速度和出手高度出手角度和入射角度速度v高度h出手角度ɑ入射角度β8.00001.800062.409942.79258.00001.850062.777941.84308.00001.900063.117440.91888.00001.950063.433040.01568.00002.000063.728139.13008.00002.050064.267037.40178.00002.100064.267037.40178.50001.800067.697537.50498.50001.850067.866336.75468.50001.900068.028836.00758.50001.950068.185435.26328.50002.000068.482935.26328.50002.050068.482933.78199.00001.800071.069734.13279.00001.850071.173633.4473由图3看出，球入筐时球心可以偏前（偏后与偏前同样）最大距离为=（9）在（2）式中，用代入，可得（10）对求导并令，就有（11）用近似代替左边导数，即可得到出手角度偏差与如下关系（12）由和已经得到也可以求得相对偏差。类似，（10）式对求导并令，可得出手速度容许最大偏差（13）由（12）和（13）式相对偏差为（14）编程实现见附录2计算成果表2.2：出手角度和出手速度最大偏差出手速度v高度h出手角度a偏差aa偏差vv相对偏差|aa/a|相对偏差|vv/v|8.00001.800062.4099-0.76520.05280.00660.01231.850062.7779-0.74920.05480.00690.01191.900063.1174-0.73490.05670.00710.01161.950063.4330-0.72190.05850.00730.01142.000063.7281-0.71000.06010.00750.01112.050064.0054-0.69890.06160.00770.01092.100064.2670-0.68870.06300.00790.01078.50001.800067.6975-0.56030.06940.00820.00831.850067.8663-0.55520.07050.00830.00821.900068.0288-0.55030.07150.00840.00811.950068.1854-0.54560.07250.00850.00802.000068.3367-0.54110.07340.00860.00792.050068.4829-0.53670.07430.00870.00782.100068.6244-0.53240.07520.00880.00789.00001.800071.0697-0.45700.08030.00890.00641.850071.1736-0.45420.08110.00900.00641.900071.2749-0.45150.08180.00910.00631.950071.3736-0.44890.08250.00920.00632.000071.4700-0.44630.08320.00920.00622.050071.5641-0.44370.08390.00930.00622.100071.6561-0.44130.08450.00940.0062模块3分析：投球示意图如图分别为不考虑球和球框和考虑球和球框大小示意图由于阻力与速度成正比，故有：=15\*GB2\*MERGEFORMAT⒂水平方向由牛顿第二定律有：=16\*GB2\*MERGEFORMAT⒃联立上面两式，有：=17\*GB2\*MERGEFORMAT⒄初始条件：=18\*GB2\*MERGEFORMAT⒅水平方向速度初条件：=19\*GB2\*MERGEFORMAT⒆综上（17）~（19）式，即可建立二次微分方程，为解决这个方程，采用如下代码：symsxyvtthetakx=v*t*cos(theta)y=dsolve('m*D2x+k*Dx=0','x(0)=0','Dx(0)=v*cos(theta)','t')y=v*cos(theta)/k-v*cos(theta)/k*exp(-k*t)简化为：simple(y)simplify:ans=(1-exp(-k*t))*m*v*cos(theta)/k即：对进行泰勒展开为：a=taylor(exp(-k*t),3)a=1-k*t+1/2*k^2*t^2将a代入(1-exp(-k*t))*v*cos(theta)/k得：(1-a)*v*cos(theta)/kans=(k*t-1/2*k^2*t^2)*v*cos(theta)/k扩展得到：expand(ans)ans=v*cos(theta)*t-1/2*v*cos(theta)*k*t^2即水平位移为L，竖直位移为（H-h）；即有：=20\*GB2\*MERGEFORMAT⒇求解程序见附录3其成果为（结合了第二问）：表3有无阻力时相应出手角度比较速度v/m/s高度h/m出手角度/°无阻力时出手角度/°88.5091.800060.786962.40991.850061.218362.77791.900061.610063.11741.950061.969363.4330262.301763.72812.050062.611364.00542.100062.901264.26701.800066.571867.69751.850066.751667.86631.900066.924368.02881.950067.090468.1854267.250468.33672.050067.404868.48292.100067.554068.62441.800070.119771.06971.850070.227771.17361.900070.332871.27491.950070.435371.3736270.535271.47002.050070.632771.56412.100070.727971.6561成果分析：1、速度一定期，出手高度越大，出手角度应越大，但随着速度增加，高度对角度影响变小，这种情形在1度左右；出手高度一定期，速度越大，出手角度也应越大，速度影响在7~9度左右。（见表1）2、出手角度和出手速度容许偏差总来看，容许偏差都比较小；进一步分析可知，出手高度一定，速度越大，角度容许偏差越小，速度容许偏差越大，且对角度 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 比对速度规定严格，出手速度一定，高度越大，虽然也是高度容许偏差越小，速度容许偏差越大，但这时角度和速度规定都相对较低（见表2.2）考虑空气阻力影响对同样出手速度和高度，考虑阻力影响时出手角度要大某些，约1~2度（见表3）附录1、第一问代码：%对于出手速度v=8.0~9.0m/s和出手高度h=1.8~2.1m,由(3)式%计算出手角度a1,a2,由(7)式计算出入射角度b1,b2,成果见表1clear;clc;H=3.05;h=1.8:0.05:2.1;L=4.6;g=9.8;input('高度出手角1出手角2入框角1入框角2');%v=sqrt(g*(H-h+sqrt(L*L+(H-L)^2)));forv=8.0:0.5:9.0;forh=1.8:0.05:2.1;%求球在出手时球心出射角a=atan(v.^2/(g*L).*(1+sqrt(1-2*g./v.^2.*(H-h+g*L^2./(2.*v.^2)))));b=atan(v.^2/(g*L).*(1-sqrt(1-2*g./v.^2.*(H-h+g*L^2./(2.*v.^2)))));a11=max(a,b);a21=min(a,b);a1=180.*a11/pi;a2=180.*a21/pi;%求球入框时入射角b11=atan(tan(a11)-2.*(H-h)/L);b21=atan(tan(a21)-2.*(H-h)/L);b1=180.*b11/pi;b2=180.*b21/pi;R=[v'h'a1'b1'a2'b2']endEnd第二问代码：代码：%求出手时最大偏移距离%求出手时最大偏移角D=0.45;d=0.246;H=3.05;L=4.6;g=9.8;input('出手速度高度出手角度偏差a偏差v相对偏差a相对偏差v');forv=8.0:0.5:9forh=1.8:0.05:2.1a1=atan(v.*v./(g.*L).*(1+sqrt(1-2.*g./(v.*v).*(H-h+g.*L.*L./(2.*v.*v)))));a=180.*a1/pi;b11=atan(tan(a1)-2.*(H-h)/L);b=180.*b11/pi;xx=D/2-d/sin(b11)/2;%xx为aa1=(g*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1)).*xx./L./(v.*v-g.*L.*tan(a1));%aa为aa=aa1*180/pi;vv=(g.*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1)).*xx.*v/(g*L^2);%vv为A2=[v'h'a'aa'vv'(abs(vv./v))'(abs(aa./a))']endend1第三问代码：%求解微分方程组symsxyvtthetakx=v*t*cos(theta)y=dsolve('m*D2x+k*Dx=0','x(0)=0','Dx(0)=v*cos(theta)','t')y=v*cos(theta)/k-v*cos(theta)/k*exp(-k*t)简化为：simple(y)simplify:ans=(1-exp(-k*t))*m*v*cos(theta)/k即：对进行泰勒展开为：a=taylor(exp(-k*t),3)a=1-k*t+1/2*k^2*t^2将a代入(1-exp(-k*t))*v*cos(theta)/k得：(1-a)*v*cos(theta)/kans=(k*t-1/2*k^2*t^2)*v*cos(theta)/k扩展得到：expand(ans)3、2%求解非线性方程组g=9.8;k=0.05;H=3.05;L=4.6；forv=8:0.5:9forh=1.8:0.05:2.1f=@(x)([x(1)*v*x(2)-k*v*x(1)*x(2)^2/2-L；v*sqrt(1-x(1)^2)*x(2)-g*x(2)^2/2-(H-h)]);x=fsolve(f,[0.41]);a=acos(x(1))*180/pi;[vah]endend