高考复数专题及答案

RevisedfinaldraftNovember26,2020高考复数专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及答案复数专题及答案（一）1.【2015高考新课标2，理2】若为实数且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，所以，解得，故选B．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数()（A）-i（B）-3i（C）i.（D）3i【答案】C【解析】，选C.【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【2015高考广东，理2】若复数(是虚数单位)，则（）A．B．C．D．【答案】．【解析】因为，所以，故选．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，的共轭复数为．4.【2015高考新课标1，理1】设复数z满足=，则|z|=()（A）1（B）（C）（D）2【答案】A【解析】由得，==，故|z|=1，故选A.【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查， 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考北京，理1】复数（）A．B．C．D．【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【2015高考湖北，理1】为虚数单位，的共轭复数为（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】,所以的共轭复数为，选A.【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，是虚数单位,7.【2015高考山东，理2】若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因为，所以，，所以，故选：A.【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数在复平面内一一对应的点为.9.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【解析】由得，即，所以.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得，复数相乘可根据平方差公式求得，也可根据共轭复数的性质得．10.【2015高考天津，理9】是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为.【答案】【解析】是纯虚数，所以，即.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【2015江苏高考，3】设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.【答案】【解析】【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：12.【2015高考湖南，理1】已知（为虚数单位），则复数=（）B.C.D.【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【2015高考上海，理2】若复数满足，其中为虚数单位，则．【答案】【解析】设，则【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如的共轭复数为，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【2015高考上海，理15】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.复数专题及答案（二）一、选择题1．(2010·全国Ⅰ理)复数eq\f(3＋2i,2－3i)＝(　　)A．i　　　　　　　　　B．－iC．12－13iD．12＋13i[答案]　A[解析]　eq\f(3＋2i,2－3i)＝eq\f((3＋2i)(2＋3i),(2－3i)(2＋3i))＝eq\f(6＋9i＋4i－6,13)＝i.2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[答案]　C[解析]　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝eq\f(6－2,2)＝2，y＝eq\f(5＋3,2)＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是(　　)A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[答案]　C[解析]　由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.[点评]　复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．4．(文)已知复数z＝eq\f(1,1＋i)，则eq\o(z,\s\up6(－))·i在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　B[解析]　z＝eq\f(1－i,2)，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)，eq\o(z,\s\up6(－))·i＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.实数－eq\f(1,2)，虚部eq\f(1,2)，对应点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))在第二象限，故选B.(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数eq\f(z2＋1,z)(　　)A．是纯虚数B．是虚数但不是纯虚数C．是实数D．只能是零[答案]　C[解析]　解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ.则eq\f(z2＋1,z)＝eq\f(cos2θ＋isin2θ＋1,cosθ＋isinθ)＝eq\f(2cos2θ＋2isinθcosθ,cosθ＋isinθ)＝2cosθ为实数．解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，∴eq\f(z2＋1,z)＝z＋eq\f(1,z)＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数是(　　)A．－3＋iB．－3－iC．3＋iD．3－i[答案]　A[解析]　(3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为(　　)A．－4B．4C．－1D．1[答案]　A[解析]　由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]　D[解析]　∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.(理)现定义：eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于(　　)A．cos5θ＋isin5θB．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θD．sin5θ－icos5θ[答案]　A[解析]　a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数eq\f(a,b)∈R，则实数x的值为(　　)A．－6B．6\f(8,3)D．－eq\f(8,3)[答案]　C[解析]　eq\f(a,b)＝eq\f(3＋2i,4＋xi)＝eq\f((3＋2i)(4－xi),16＋x2)＝eq\f(12＋2x,16＋x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8－3x,16＋x2)))　i∈R，∴eq\f(8－3x,16＋x2)＝0，∴x＝eq\f(8,3).(理)(2010·山东邹平一中月考)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋eq\f(2,z)＝(　　)A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i[答案]　C[解析]　∵z＝1－i，∴z2＝－2i，eq\f(2,z)＝eq\f(2,1－i)＝1＋i，∴z2＋eq\f(2,z)＝1－i，选C.9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数eq\f(2,1－i)对应的点到直线y＝x＋1的距离是(　　)\f(\r(2),2)\r(2)C．2D．2eq\r(2)[答案]　A[解析]　∵eq\f(2,1－i)＝eq\f(2(1＋i),(1－i)(1＋i))＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故选A.10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|eq\o(z,\s\up6(－))|＝2＋i，则z等于(　　)A．－eq\f(3,4)＋i\f(3,4)－i\f(3,4)＋iD．－eq\f(3,4)－i[答案]　C[解析]　由z＝2－|eq\o(z,\s\up6(－))|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2－eq\r(a2＋1)，∴a＝eq\f(3,4)，故选C.(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z＝eq\f(a＋i,1－2i)(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|等于(　　)A．2B．2eq\r(2)C．4D．8[答案]　B[解析]　z＝eq\f(a＋i,1－2i)＝eq\f((a＋i)(1＋2i),5)＝eq\f(a－2,5)＋eq\f(2a＋1,5)i是纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,5)＝0,\f(2a＋1,5)≠0))，∴a＝2，∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝2eq\r(2).二、填空题11．规定运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))＝ad－bc，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(　z　i,－i　2))＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.[答案]　1－i[解析]　由已知可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(　z　i,－i　2))＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.12．(2010·南京市调研)若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为________．[答案]　－1[解析]　因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1.13．(文)若a是复数z1＝eq\f(1＋i,2－i)的实部，b是复数z2＝(1－i)3的虚部，则ab等于________．[答案]　－eq\f(2,5)[解析]　∵z1＝eq\f(1＋i,2－i)＝eq\f((1＋i)(2＋i),(2－i)(2＋i))＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，∴a＝eq\f(1,5).又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2.于是，ab＝－eq\f(2,5).(理)如果复数eq\f(2－bi,1＋2i)(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b等于________．[答案]　－eq\f(2,3)[解析]　eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi,1＋2i)·eq\f(1－2i,1－2i)＝eq\f(2－2b,5)－eq\f(b＋4,5)i，由复数的实数与虚数互为相反数得，eq\f(2－2b,5)＝eq\f(b＋4,5)，解得b＝－eq\f(2,3).14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________.[答案]　(2k＋1)π　(k∈Z)[解析]　依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝0,1－cosα≠0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ,α≠2kπ))，所以α＝(2k＋1)π　(k∈Z)．[点评]　新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．(理)(2010·上海大同中学模考)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．[答案]　－eq\f(5,12)[解析]　z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－eq\f(5,12).三、解答题15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z＝eq\f(a2－7a＋6,a＋1)＋(a2－5a－6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析]　(1)当z为实数时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6＝0,a＋1≠0))，∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6≠0,a＋1≠0))，∴a≠－1且a≠6，故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6≠0,a2－7a＋6＝0,a＋1≠0))∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z＋1,z－1)))＝1且z＋eq\f(2,z)∈R的复数z.[解析]　设z＝a＋bi(a、b∈R)，由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z＋1,z－1)))＝1|z＋1|＝|z－1|，由|(a＋1)＋bi|＝|(a－1)＋bi|，∴(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，得a＝0，∴z＝bi，又由bi＋eq\f(2,bi)∈R得，b－eq\f(2,b)＝0b＝±eq\r(2)，∴z＝±eq\r(2)i.