漆安慎-杜禅英-力学习题05章-习题解答

第5章角动量.关于对称性第5章角动量.关于对称性PAGEPAGE55第五章角动量一、基本知识小结⒈力矩力对点的力矩力对轴的力矩⒉角动量质点对点的角动量质点对轴的角动量⒊角动量定理适用于惯性系、质点、质点系⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该点的力矩之和⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该轴的力矩之和⒋角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该点的角动量保持不变⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该轴的角动量保持不变⒌对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必考虑惯性力矩。二、思考 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答5.1下面的叙述是否正确,试作分析,并把错误的叙述改正过来:（1）、一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定了，同时作用于质点的力矩也就确定了。（2）、质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩的作用。（3）、力与z轴平行，所以力矩为零；力与z轴垂直，所以力矩不为零。（4）、小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固定在铅直轴上。垂直于杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。所以，力矩是产生角动量的原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。（5）、作匀速圆周运动的质点，其质量m，速率v及圆周半径r都是常量。虽然其速度方向时时在改变，但却总与半径垂直，所以，其角动量守恒。答：（1）不正确.因为计算力矩,必须明确对哪个参考点.否则没有意义.作用于质点的合力可以由加速度确定.但没有明确参考点时,谈力矩是没有意义的.（2）不正确.质点作圆周运动时,有两种情况:一种是匀速圆周运动,它所受合力通过圆心;另一种是变速圆周运动,它所受的合力一般不通过圆心.若对圆心求力矩,则前者为零,后者不为零.质点作直线运动,作用于质点的合力必沿直线.若对直线上一点求力矩,必为零;对线外一点求力矩则不为零。（3）不正确.该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩.力与轴平行,力对轴上某点的力矩一般不为零,对轴的力矩则必为零.力与轴垂直,一般力对轴的力矩不为零,但力的作用线与轴相交,对轴力矩应为零（4）不正确.因为一个物体在不受力的情况下,保持静止或匀速直线运动状态,它对直线外一点具有一定的角动量而并无力矩.根据角动量定理,力矩为物体对同一点角动量变化的原因.力矩的方向与角动量变化的方向相同,而与角动量的方向一定不相同.（5）不正确.因为作匀速圆周运动的质点,所受合力通过圆心,对圆心的力矩为零，对圆心的角动量守恒，但对其他点，力矩不为零，角动量不守恒。5．2回答下列问题，并作解释：（1）、作用于质点的力不为零，质点所受的力矩是否也总不为零？（2）、作用于质点系的外力矢量和为零，是否外力矩之和也为零？（3）、质点的角动量不为零，作用于该质点上的力是否可能为零答：答：（1）、不一定。作用于质点的力矩不仅与力有关，还和所取得参考点有关。当力的作用线过参考点时，对该点的力矩就一定为零。（2）、不一定。作用质点系的外力矢量和为零，但对某点的力矩之和不一定为零。如一对力偶，因，。但对任一点的力矩之和等于力偶矩，并不等于零。（3）、可能为零。因为质点不受力时，保持静止或匀速直线状态。作匀速直线运动的质点对线外一点的角动量为，不为零，但质点受的力为零。5．3试分析下面的论述是否正确：“质点系的动量为零，则质点系的角动量也为零；质点系的角动量为零，则质点系的动量也为零。”答：不正确。以两个质点组成的最简单的质点系为例说明。（1）、两质点质量相同，运动速度等大反向，且不沿同一条直线质点的动量。但对中心的角动量大小为，为两速度方向垂直距离的一半，并且不为零。（2）、两质点质量相同，运动速度等大同向，质点系的动量，不为零。但对中心的角动量5．4本章5.12图中题是否可以运用动量守恒定律来解释？为什么？答：不能。将盘、重物、胶泥视为质点系，碰撞过程中受外力为绳的拉力和重力。由于冲击，绳的拉力会增大，重力无变化，外力之和，所以总动量不守恒。5．5一圆盘内有冰，冰面水平，与盘面共同绕过盘中心的铅直轴转动。后来冰化成水，问盘的转速是否改变？如何改变。不计阻力矩。答：有变化。因为冰化为水，体积变小，各质元到轴的距离也变小。对轴的角动量守恒，其中，变小，变大5．7角动量是否具有对伽利略变换的对称性？角动量守恒定律是否具有对伽利略变换的对称性？答：角动量对不同的参照系具有不同的值，所以角动量对伽利略变换不具对称性；但角动定理对不同的惯性系具有相同的形式，所以角动量定理对伽利略变换具有对称性。同理，角动量守恒定理对伽利略变换也具有对称性。5．8南北极的冰块溶化，使地球海平面升高，能否影响地球自转快慢？答：南北极的冰块溶化，地球海平面升高，南北极的水质元向赤道方向移动，到轴的距离增大，角动量守恒。其中，变大，变小，而地球对轴的转动会变慢。三、习题解答5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km,远地点高度d远=2384km,地球半径R地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒m月v近（d近+R地）=m月v远（d远+R地）v近/v远=（d远+R地）/（d近+R地）=（2384+6370）/（439+6370）≈1.295.1.2一个质量为m的质点沿着的空间曲线运动，其中a、b及ω皆为常数。求此质点所受的对原点的力矩。解：5.1.3一个具有单位质量的质点在力场中运动，其中t是时间。该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时该质点所受的对原点的力矩。解：据质点动量定理的微分形式，5.1.4地球质量为6.0×1024kg，地球与太阳相距149×106km，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。解：5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。解：5.1.6根据5.1.3题所给的条件，求质点在t=2时对原点的角动量。解：5.1.7水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的F速率是多少？拉力所做的功是多少？解：设小球的质量为m=10×10-3kg,原来的运动半径为R1=40cm,运动速率为v1;后来的运动半径为R2=10cm,运动速率为v2.先求小球原来的速率v1：据牛顿第二定律，F=mv12/R1，所以，由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，mv1R1=mv2R2，v2=v1R1/R2=0.2×0.4/0.1=0.8m/s在由R1→R2的过程中，只有拉力F做功，据动能定理，有5.1.8一个质量为m的质点在o-xy平面内运动，其位置矢量为，其中a、b和ω是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。证明：⑴运动学观点：显然与时间t无关，是个守恒量。⑵动力学观点：∵,∴该质点角动量守恒。400mm5.1.9质量为200g的小球v0B以弹性绳在光滑水平面上与固AB30º定点A相连。弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度v0如图所示。当小球的速率变为v时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速率v及初速率v0.解：设小球B的质量m=0.2kg,原来与固定点A的距离r0=0.4m,当速率为v时，与A点距离r=0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d=0.6m.小球B的速率由v0→v的过程中，作用在小球B上的力对过A点轴的力矩之和始终为零，因而小球对A点的角动量守恒，有r0mv0sin30º=rmv(最大距离时，（1）另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，为求解方便，将⑴⑵化简，并代入已知数据可得：解此方程组，求得：v0≈1.3m/sv≈0.33m/s5.1.10一条不可伸长的细绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动。最初l1=2m,θ1=30º，后来继续向下拉绳使小球以θ2=60º沿水平圆周运动。求小球最初的速度v1，最后的速度v2以及绳对小球做的总功。解：隔离小球，受力情况如图示，　　　　　l2应用牛顿第二定律，有：θFθ2　l1θ1Fmg当θ=θ1时当θ=θ2时,由于作用质点上的力对管轴的力矩始终等于零,∴角动量守恒：，将（4）式和三角函数值代入，可求得：将v2代入（4）中，可求得l2=0.8m，根据质点动能定理：5.2.2理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘。用轻线拴住轻弹簧两端使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码。另一砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止。燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离。求砝码升起的高度，已知弹簧劲度系数为k，被压缩的长度为l0.m解：设滑轮半径为R，弹簧释放后，弹簧上边的砝码获得的速度为v，方向向上，左边砝码盘获得的速度为v'，方向向下，显然右边砝码盘及砝码获得的m速度大小也是v',但方向向上（如图示）。vv’把左盘、左盘上的砝码和右盘及盘mm中砝码视为一个质点系，作为研究对象。v'在弹簧释放过程中，作用于质点系的外力对滑轮轴的力矩之和始终为零，故质点系对滑轮轴的角动量守恒，规定垂直纸面向外的角动量为正，则有：-mvR+mv’R+2mv’R=0，即v=3v'(1)另外，在此过程中，只有弹簧的弹力和重力做功，因而质点系能量守恒，忽略重力势能的微小变化，则有：，即左盘中的砝码脱离弹簧获得速度v后做竖直上抛运动,达到最大高度h时速度为零,据能量守恒,由⑴⑵可求得v2=3kl02/4m，代入⑶中得：h=3kl02/8mg5.2.3两个滑冰运动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m，当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。⑴在抓住绳索一端之前，各自对绳索中心的角动量是多少？抓住之后是多少？⑵它们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？⑶绳长为5m时，绳内张力多大？⑷二人在收拢绳索时，各自做了多少功〉⑸总动能如何变化？解：设每个运动员的质量为m=70kg，收mvd绳前相对绳中心o的距离为d=d1=5m，速率为v=v1=6.5m/s；当把绳收拢为d=d2=2.5m时,od速率v=v2.⑴对绳中心o点的角动量各为vmL=mv1d1=70×6.5×5=2275kgm2/s（抓住绳索前后角动量相同）⑵把两个运动员视为一个质点系,在收绳过程中，质点系对o轴的角动量守恒,有2mv1d1=2mv2d2∴v2=v1d1/d2=6.5×5/2.5=13m/s⑶把某一运动员视为质点，作为研究对象，由牛顿第二定律，绳中张力F=mv22/d2=70×132/2.5=4732N⑷由质点动能定理，每人所做的功均为：⑸总动能增大了ΔEk=2×4436=8872J