第4讲直线的方程-拔高难度-讲义1

直线的方程知识讲解一、两点之间的距离公式教师内容：在学习两点间距离公式之前，建议教师将平面直角坐标系中的％轴及y轴上的两点间的距离求法作复习．已知A(x,y),11B(x，2教师内容：由原点与任意点的距离导出两点间的距离公式：O、A两点间的距离通常用d(O,A)表示.由勾股定理可知：d(O,A)=Qx2+y2.若为任意两点A(x,y),B(x,y)，从点A和B分别向x轴和y轴作垂线AA、AA和BB、BB，垂221212TOC\o"1-5"\h\z足分别为A(x,0)、A(0,y)、B(x,0)、B(0,y)，其中直线BB和AA相1121122212交于点。，由勾股定理得：|AB|2=|ACI2+|BC|2=|x-xI2+|y-y|2，从而得到平面直角坐标系中任意两点2121间的距离公式.二、中点公式已知A(x,y),B(x,y)，则中点坐标为：x=xi+x2,y=yi+y2112222三、倾角与斜率直线的倾斜角的概念当直线l与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定a=0。.因此倾斜角a．．．的取值范围是0oWa<180。.直线的斜率：一条直线的倾斜角a(a小90。)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,也就是k-tana⑴直线l与x轴平行或重合时，a-0。，k-tan0。-0；⑵k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；⑶k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；⑷当直线l与x轴垂直时，a-90。，k不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在；⑸当a是锐角时，tan(180o-a)=-tana.例如，a=45o时，k=tan45。=1；a=135。时，k-tan135。=tan(180。-45。)--tan45。=-1.学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度．直线的斜率公式：设P(x,y),P(x,y)，则：111222斜率公式：k-上工(x丰x)x-x1221对于上面的斜率公式要注意下面五点：⑴当x-x时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a-90。，直线与x轴垂12直；⑵k与P、P的顺序无关，即y,y和x,x在公式中的前后次序可以同时交换，但121212分子与分母不能交换；⑶斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；⑷当y-y时，斜率k-0，直线的倾斜角a=0。，直线与X轴平行或重合.12⑸求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．教师内容：直线的倾斜角和斜率是高中解析几何内容的开端，是用坐标法研究几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的初步，对基本概念要准确掌握，尤其是倾斜角和斜率之间的关系．例子，判断对错：①直线的倾斜角为a，则它的斜率为tana;②直线斜率为tana，则它的倾斜角为a;③因为所有的直线都有倾斜角，所以所有的直线都有斜率；④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：①②③④都不对.、直线的方程教师内容：平面直角坐标系中的任意一条直线是否都可以用方程来表示呢？除了两点确定一条直线有两点式以外，结合我们刚学过的斜率，直线的方程可以有点斜式、斜截式和截距式，还有一种特殊的直线：与％轴垂直的直线％=%，上述直线方程1都是％,y的二元一次方程，因此可以总结出直线方程的一般式A%+By+C=0(A2+B2丰0，即A,B不全为0).重点是点斜式方程，直线方程的推导过程能体现出求轨迹方程的基本思路和步骤．直线方程的形式：.点斜式方程：y-y=k(%-%)，由直线上一点(％,y)和斜率k确定直线方程；0000教师内容：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.①当直线的倾斜角a=90。时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线恰与y轴平行或重合，这时直线上每个点的横坐标都等于%,所以此时的0方程为%=%.0②当直线的倾斜角a=0。时，k=0，此时直线的方程为y=y.0③当直线的倾斜角不为0。或90。时，可以直接代入方程求解.点斜式是直线方程的重点..斜截式方程：y=k+b，由直线的斜率k和其在y轴上的截距b确定直线的方程；教师内容：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.①并非所有直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线%=2在y轴上就没有截距，即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与％轴垂直的直线的方程.②直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数，当k=0时，该函数为常量函数y=b；当k丰0时，该函数为一次函数.③直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例.3.两点式方程：上My-y21x-x/^(x丰x,x-x1221y丰y)，由直线上两点(x,y),(x,y)确定方程;121122教师内容：两点式方程需要注意的是①当直线没有斜率(x=x)或斜率为0(y=y)时，不能用两点式y-y1y-y■x二工表示它的方程;x-x1212②可以把两点式的方程化为整式(x-x)(y-y)=(y-y)(x-x)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程；如过两点A(1,2),B(1,3)的直线方程可以求得x=1,过两点A(1,3),B(-2,3)的直线方程可以求得y=3.③需要特别注意整式(x-x)(y-y211)=(y-y)(x-x)与两点式方程21y-y1y-y21xx-x-x^的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，x-x两者并不相同，前者是后者的拓展.21.截距式方程：x+y=1(。。0,b丰0),由直线在x,y轴上的截距a,b确定方程；ab教师内容：用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：①方程的条件限制为ab。0，即两个截距均不能为0，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；②用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；③要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，不为0..一般式方程：Ax+By+C=0(A2+B2。0),可表示平面上所有直线.教师内容：直线方程的几种特殊形式都有其使用的限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵活选用恰当的直线形式来求直线方程.五、直线的位置关系1.两条直线的位置关系(斜截式)：l:y=kx+b,l:y=kx+b111222两条直线相交、平行与重合条件：①相交的条件：k。k12②平行的条件：k=k且bwb1212③重合的条件：7ZT,bTT.1212两条直线垂直的条件：kk=-1122.两条直线的位置关系(一般式)：l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0；1111两条直线相交、平行与重合条件：①相交的条件：AB-ABw0或AiwBi(ABw0)1221AB22222222②平行的条件：AB12A-AB=0且BC-CBw0或f=212A21Bt丰B2CCi(ABC*0)③重合的条件：A=XA,B=XB1212两条直线垂直的条件：AA+BB=0.1212A,C=入C(入w0)或i=12A2222C(ABC丰0)BC22222教师内容：两条直线相交、平行或重合的位置关系的判断由这两条直线对应的方程构成的方程组的解的情况来判断．直线的一般式包含了直线的所有可能的情况，不需要考虑斜率的存在问题，而斜截式要注意这点．相对而言，斜截式的几何特征比较明显，条件比较容易记忆．讨论两条直线的垂直关系时，通过将直线平移到过原点，用数形结合的思想得出结论．在分析斜率关系和计算时，应该强调斜率存在与斜率不存在时的情况对比．六、点到线与线到线距离公式回+By+C|0),那么直线l的倾斜角的取值范围是()A.&,今B,[0,翁U(2，兀)C.[0,1]D.[0,力U©，兀)w+——3[【分析】设直线l的倾斜角为0,ee[0,n).m>0,由tan0=晨=3-(6+》利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出.【解答】解：设直线l的倾斜角为e,ee[0,n).又m>0,w+——3i・・・tane=1r2=3-（m+沅）W3-2麻1=1,当且仅当m=1时取等号・・・e£[0,孑uG,冗）.故选：B.（2018春•新华区校级期末）已知直线mx+y-pq=0与x-y+2q-pq=0互相垂直，垂足坐标为（p,q）,且p>0,q>0,则p+q的最小值为（）A.1B.4C.8D.9【分析】根据题意求得m=1,把坐标（p,4）代入直线方程得出p+q-pq=0,再利用基本不等式求得p+q的最小值.【解答】解：直线mx+y-pq=0与x-y+2q-pq=0互相垂直，则m=1；又垂足坐标为（p,q）,则Up+q-pq=0,・•・p+q=pq；又p>0,q>0,且pqW岁）2二月”，44（p+q）2・・・p+qW4，当且仅当p=q时取"=〃；解得p+q^4,Ap+q的最小值为4.故选：B.（2018春•陆川县校级期末）已知直线l：kx-y+2-k=0过定点M,点P（x,y）在直线2x+y-1=0上，则|MP|的最小值是（）3/5A.VTUB.—C.V6D.3V5【分析】令直线l的参数k的系数等于零，求得定点M的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得Imp|的最小值.【解答】解：直线l：kx-y+2-k=0,即k（x-1）-y+2=0,过定点M（1,2）,点P（x,y）在直线2x+y-1=0上，...y=1-2x,a|mp|=4％-1）2+（1-2x-2）2=V5%2+2%+2=«（%+5）2+5,故当x=-■1时，|MP|取得最小值为学，JJ故选：B.(2018春•陆川县校级期末)已知直线l：kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上，则|MP|的最小值是()3V5A.VIUB.-C.V6D.3展【分析】令直线l的参数k的系数等于零，求得定点M的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得Imp|的最小值.【解答】解：直线l：kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上，...y=1-2x,AImp|&(x-I)2+(I-2%-2)23512+2%+2=^5(%+5)2+5，TOC\o"1-5"\h\z故当x=-I时，|MP|取得最小值为挈，JJ故选：B.(2017春•潮阳区校级期中)设m£R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),(点P与点A,B不重合)，则4PAB的面积最大值是()A.2^5B.5C.5D.V5【分析】动直线x+my=0,令y=0,解得x=0,因此此直线过定点A(0,0).动直线mx-y-m+3=0,即m(x-1)+3-y=0,令x-1=0,3-y=0,可得此直线过定点B(1,3).分类讨论：m=0时，两条直线分别为x=0,y=3,交点P(0,3),可得S=3.m/0时，两条直线的斜率分别为：--,m,则-二X△pab2mmm=-1,因此两条直线相互垂直.当PA=PB时，4PAB的面积取得最大值.即可得出.【解答】解：动直线x+my=0,令y=0，解得x=0,因此此直线过定点A(0,0).动直线mx-y-m+3=0,即m(x-1)+3-y=0,令x-1=0,3-丫=0,解得x=1,y=3,因此此直线过定点B(1,3).m=0时，两条直线分别为x=0,y=3,交点P(0,3),S=-X1x3=-.△pab22m/0时，两条直线的斜率分别为：--,m,则--Xm=-1,因此两条直线相mm互垂直.当PA=PB时，4PAB的面积取得最大值.由V2pa=ab=J12+32=710.解得PA=V5..・.sSpa2=5.△PAB22综上可得：△PAB的面积最大值是5.故选：C.（2018春・双流区期末）在平面直角坐标系xOy（O为坐标原点）中，不过原点的两直线l1：x-my+2m-1=0、12：mx+y-m-2=0的交点为P,过点O分别向直线1『12引垂线，垂足分别为M,N,则四边形OMPN的面积的最大值为（）A.3B.3C.5D.5【分析】先求出直线L、l2所过定点坐标，即为点p的坐标，于是得到|op|=4,结合勾股定理得到|。乂|2+|。^2=5,注意到直线ljl2垂直，于是得到四边形OMPN为矩形，由矩形的面积公式得到矩形OMPN的面积为S=|OM|•|ON|,结合基本不等式可求出S的最大值.【解答】解：将直线l1的方程变形得（x-1）+m（2-y）=0,由诊二；=0，得g=2,则直线l1过定点A（1，2）,同理可知，直线l2过定点A（1,2）,所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为（1,2）,易知，直线L,f如下图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且|0P|=，12+22=V5,设|OM|二a,|ON|二b，则a2+b2=5,TOC\o"1-5"\h\zn2+h25四边形OMPN的面积为S=|OMI•|ON|=ab<2=2,当且仅当｛72b即当a=b=g°时，等号成立，HYPERLINK\l"bookmark56"（。2+匕2=525因此，四边形OMPN面积的最大值为5,故选：D.(2018•重庆一模)设m,0£R,则(2,2-6-cos6)2+(242+6-s讥6)2的最小值为()A.3B.4C.9D.16【分析】令点P(2V2-m,2V2+m),Q(cos0,sinB).点P在直线1+y—4V2=0上，点Q的轨迹为单位圆：X2+y2=1.因此(2V2-6-c。se)2+(2V2+6-s讥e)2的最小值为：单位圆上的点到直线1+y-472=0的距离的平方，即可得出.【解答】解：令点P(2V2-m,2V2+m),Q(cos0,sin0).点P在直线1+y-4V2=0上，点Q的轨迹为单位圆：x2+y2=1.因此(2V2-m-cos6)2+(242+m-s讥6)2的最小值为：单位圆上的点到直线%+y-4,2=0的距离的平方，故其最小值=(*-1)2=(4-1)2=9.故选：C.(2018春•田家庵区校级期末)m£R,动直线l1：x+my-1=0过定点A,动直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B,若l1与12于点P(异于点A,B),则|PA|+|PB|的最大值为（）A.V5B.2V5C.VTUD.2VTU【分析】求出直线11：x+my-1=0过定点A的坐标和直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B的坐标，11与12交于点P,根据两条直线的斜率不难发现有则有PA±pb,・・.|pa|2+|pb|2二|ab|2=10.利用基本不等式的性质可得|p等+|pb|的最大值.1【解答】解：直线11：x+my-1=0过定点A（1,0）,斜率k=-沅，直线12：mx-y-2m+3=0过定点B（2,3）,斜率k=m,11与12始终垂直，P又是两条直线的交点，则有pa±pb,a|pa|2+|pb|2=|ab|2=i0.TOC\o"1-5"\h\z那么：（伊用J尸B「工伊川2,仍B2，当且仅当|pa|=|pb|时，取等号.42，|pa|+|pb|W网=2V5.故选：B.（2018•南充模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知有-M11-yi=0，x2-y2-2=0,则（4-%）2（y1-y2）2的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【分析】化简已知条件，得到两个函数，利用函数的导数求出切线的斜率，利用平行线之间的距离求解即可.【解答】解：实数x1,y1,x2,y2满足12-伍%1-乙=0,x2-y2-2=0,可得y1=x12-1位1,并且x2-y2-2=0,（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值转化为：函数y=x2-1nx图象上的点与x-y-2=0图象上的点的距离的最小值的平方，由y=x2-1nx可得y'=2x--=,xx与直线x-y-2=0平行的直线的斜率为1,所以2x—=1,解得x=1,x切点坐标（1,1）,与x-y-2=0平行的直线为：y-1=x-1,即x-y=0,而x-y=0和x-y-2=0的距离是V2,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为：2.故选：B.二.填空题(共9小题)(2018春•新吴区校级期中)已知点A(1,2),B(2,4),直线ax-y+1=0与线段AB有公共点，则a的最大值为3.Z【分析】根据条件结合直线斜率的公式,利用数形结合进行求解即可.【解答】解：由ax-y+1=0得y=ax+1,在a的几何意义是过定点C(0,1)的直线斜率，由图象知，BC的斜率最大，则BC的斜率k=4—1=3,即a的最大值为3,3故答案为：—乙IIIII.-101234工-1(2018•全国一模)直线x-ysina-3=0(a£R)的倾斜角的取值范围是[45°,135°].【分析】讨论若sina=0,若sina/0,求得直线的斜率，由正弦函数的值域，可得k的范围，结合正切函数的图象，即可得到倾斜角的范围.【解答】解：直线x-ysina-3=0(a£R),若sina=0,则x=3,直线的斜率不存在，倾斜角为90°；若sina/0,则直线的斜率k=「二,sina由-10时，由于m+m1#,PA・PB的最小值为：|4^―|=4^与'当m<0时,由于m+m«巾PA・PB的最小值为：塞4当且仅当m=仅时取等号.即k=21.47244V243-272〉2V234v24故得PA•PB的最小值为：--r-(当且仅当m=V2时取等号.即k=V21).32V225.(2018春•东胜区校级期末)已知点P(x1,y1)和直线l：Ax+By+C=0(A2+B2/0).(1)求证：点P到直线l的距离d=忆」％,|；VA2序(2)求证:两条平行线l.：Ax+By+C.=0,l2：Ax+By+C2=0之间的距离是:d=IG引.VA2序【分析】(1)讨论A=0,BW0和A=0,B=0以及AB/0时，求出点P到直线l的距离即可；(2)在直线L上任取一点P,求出点P到直线l2的距离即为两平行直线间的距离.【解答】证明：(1)当A=0,BW0时，直线l：,B点P到直线l的距离为d=。+y1|=1巧二%QB17A2B2当A=0,B=0时，直线l：x=-0,A点p到直线l的距离d=|。+、।二堂行骂尸£；；A1VA2B2TOC\o"1-5"\h\z一BCAC当ab力0时，如图所示，则点r(-^y1_a，y1)，s(xj-百x1-b)，...二产1%ps二1A支1：,ABPQ是直角△PRS斜边上的高，由三角形面积公式可得PQ=PR-PS1AxiBy1C|=‘RSVA2B〔Ax〕BvC|综上(2)点P到直线l的距离为d=।Z"；VA2B2在直线l1：Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),则点P满足，Ax0+By0+C1=0,且点P到直线l2：Ax+By+C2=0的距离为B%£||q£|1cl£|0===■=Vx2B2Vx2B2Vx2B2，两平行直线11、i2之间的距离是：-J。1qVX2"