山东省烟台市2021-2022学年高三上学期期中数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页绝密★启用前山东省烟台市2021-2022学年高三上学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．设，，分别是的三条边，且.则“”是“为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设，，，则（）A．B．C．D．4．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列，把和的公共项从小到大得到数列，则（）A．B．C．D．5．设为所在平面内一点，，为的中点，则（）A．B．C．D．6．已知函数（）的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．7．曲线在处的切线的倾斜角为，则（）A．B．C．D．8．设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则()A．B．C．D．二、多选题9．设为数列的前项和.若，则（）A．B．C．D．数列为递减数列10．下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．已知，，且，则D．已知，，且，则11．设函数（），若在有且仅有个极值点，则（）A．在有且仅有个极大值点B．在有且仅有个零点C．的取值范围是D．在上单调递增12．关于函数，，下列说法正确的是（）A．对，恒成立B．对，恒成立C．函数的最小值为D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为三、填空题13．已知向量，，.若，则________.14．已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围________.四、双空题16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.五、解答题17．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在的最大值.18．已知公差不为的等差数列，满足，，记，其中表示不超过的最大整数，如，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19．首届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本万元，每生产一箱需另投入元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元，.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万箱）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.（1）求；（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.21．已知函数，其中为正实数.（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）当时，，求的取值范围.22．已知函数.（1）当，证明：；（2）设，若，且（），求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．A根据题意，求出集合，再由交集与补集的定义求解即可.解:由题意，或，则，故.故选：A.2．C利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.解:由题意可知，若，则，所以，所以为钝角三角形，充分性满足；若为钝角三角形，由，则，即，所以，必要性满足.所以“”是“为钝角三角形”的充要条件.故选：C3．D利用对数函数的单调性比较，，与的大小关系即可得正确选项.解:，，，所以，故选：D.4．B根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.解:根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列，，数列是首项为2，公差为5的等差数列，，数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，.对于A，，，，错误对于B，，，，正确.对于C，，，，，错误.对于D，，，，，错误.故选：B.5．A由已知即可求解.解:解：因为，为的中点，所以，故选：A.6．C令，由题意可知在上有零点，利用导数法研究函数的零点即可求解解:令，，，因为上存在关于轴对称的点，所以，则，令，要使有对称点，则在上有零点，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，又，，所以，要使在上有零点，则，即，解得，故选：C7．B先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.解:，当时，，所以，由万能公式得：所以故选：B8．B首先利用函数的奇偶性求出，再利用的对称性和奇函数性质求解即可.解:因为是定义域的奇函数，所以，，因为当，，所以，从而，因为是偶函数，即的图像关于轴对称，因为图像是图像向左平移一个单位得到的，所以的图像关于对称，故，因为，所以，因为，，所以.故选：B.9．CD根据求出数列的通项公式，进而求出前项和，然后结合选项逐项分析判断即可.解:因为，当时，，即；当时，，即，因此，则数列是以为首项，为公比的等比数列，因此，故B错误；，所以，，故A错误；，，，因此，故C正确；当时，，即，因此数列为递减数列，故D正确；故选：CD.10．BCA选项做差法即可比较大小从而得出结果；B选项结合均值不等式即可判断；C选项结合二次不等式的恒成立问题即可判断；D选项举出反例即可说明.解:A因为，，则，即，故A错误；B因为，，则当且仅当时等号成立，故B正确；C因为，则，当时等号成立，故C正确；D当时，满足，，且，但，故D错误.故选：BC.11．AD令,利用图像逐项分析极值点、零点个数，单调性即可.解:，，，令，画出图像进行分析:对于A选项：由图像可知：在上有且仅有这3个极大值点，故A选项正确；对于B选项：当，即时，在有且仅有个零点；当，即时，在有且仅有个零点，故B选项不正确；对于C选项：在有且仅有个极值点，，，的取值范围是，故C选项不正确；对于D选项：，，，由C选项可知，，，在上单调递增，故D选项正确.故选：AD12．ABD利用导数证明恒成立，判断A，A中不等式绝对值变形的转换可判断B，利用导数求出函数的最小值判断C，把不等式进行变形转化为不等式恒成立，然后求得的范围判断D．解:设，，时，，递减，时，，递增，所以，所以，即恒成立，A正确；在中令，则，，，再令得，B正确；设，定义域为，，定义域内恒成立，令是增函数，，，所以在即在上存在唯一零点，，，时，，即，递减，时，，即，递增，所以，C错；不等式为，，，所以，即，令，则，时，，递减，时，，递增，，因为，所以，因此不等式恒成立，则恒成立，，即，设，，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即的最小值是，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．13．根据求解即可.解:因为，所以，解得.故答案为：14．画出的图象，数形结合解决问题解:有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意故答案为：15．首先求导，根据题意得到，恒成立，再利用导数求解最值即可得到答案.解:，，因为函数在上单调递增，所以，恒成立，即，恒成立，设，，，，为减函数，，，为增函数，所以，即.故答案为：16．首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.解:因为，，所以，所以..故答案为：；17．（1）（2）（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.（2）根据三角函数的单调性即可求解.（1），，解得，所以函数的单调递增区间为（2）由（1），解得函数的单调递减区间为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，，所以函数的最大值为.18．（1）（2）8809（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式求出首项和公差，进而可求出结果；（2）结合对数的运算以及取整的概念找出规律，即可求出结果.（1）设等差数列的公差为，由题意可知，解得，所以，故的通项公式为，（2）由（1）知，则，当时，，则，共2项，当时，，则，共6项，当时，，则，共34项，当时，，则，共166项，当时，，则，共833项，当时，，则，共4165项，因此前项中有2个0，6个1，34个2，166个3，833个4，981个5，则前项的和为.19．（1）（2）年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.（1）分和两种情况列出解析式即可；（2）分别结合二次函数在某区间上的最值以及利用均值不等式求出最值，进而比较即可求出结果.（1）当时，，所以，当时，；所以，因此；（2）由（1）知当时，，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，因此当时；当时，，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为万元.20．（1）（2）（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可求解.（1）选①，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以，又因为，所以，所以，解得.②，由正弦定理可得，即，整理可得，又因为，解得，因为，所以.③，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.（2），解得，由余弦定理可得，所以，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为.21．（1）2（2）（1）由导数的几何意义求出切线方程即可求解；（2）当时，成立，所以；当时，，令，，利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，然后利用求出即可得答案.（1）解：当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即，设切线与两坐标轴交点为，所以；（2）解：由题意，当时，即恒成立，当时，成立，所以；当时，因为，所以恒成立，即，令，，则，令，，则，，令，，由二次函数的知识有在上单调递减，因为，，所以存在使得，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，所以存在，使得，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，即，所以在上单调递减，所以，所以，综上，的取值范围为.22．（1）证明见解析（2）证明见解析（1）作差法，构造函数，研究其单调性和极值，得到，从而得到结论；（2）先对函数两边变形为指数形式，然后构造新函数，解决极值点偏移问题（1）当时，，令，定义域为则，令则在上恒成立所以在单调递减因为，所以存在唯一的，使得，即且当时，即；当时，即故在单调递增，在单调递减，，因为，由对勾函数性质可知：在单调递增所以故恒成立，所以，即（2），不妨设由题意得：，即令，则与的图象的两交点的横坐标为，，令得：其中因为时，，所以，即所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增于是可知要证，只需证即证：又因为在区间上单调递增，只需证因为，只需证令，，则所以单调递增，且由于，故即成立，即成立