二项式练习题

张老师数学一对一家教辅导材料PAGE\*MERGEFORMAT3二项式练习题1．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)．A．－20B．－15C．15D．202．若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　)．A．6B．10C．12D．153．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)－\f(2,\r(x))))6的二项展开式中，x2的系数为(　　)．A．－eq\f(15,4)B.eq\f(15,4)C．－eq\f(3,8)D.eq\f(3,8)4．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)．A．28B．38C．1或38D．1或285．设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)．A．－150B．150C．300D．－3006．(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6的展开式中的常数项为________．7．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3\r(x))))18的展开式中含x15的项的系数为________．(结果用数值表示)8．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.9．(11分)已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．10．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论．第0行　　　　　　　1第1行　　　　　　1　1第2行　　　　　　1　2　1第3行　　　　　1　3　3　1第4行　　　　1　4　6　4　1第5行　　　1　5　10　10　5　1第6行　　1　6　15　20　15　6　1　…　　　　　　　　…　综合创新备选1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)．A．－40B．－20C．20D．402．在(x－eq\r(2))2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝eq\r(2)时，S等于(　　)．A．23008B．－23008C．23009D．－230093．已知(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.4．设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．5．(10分)已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ．6．已知f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；(2)若n∈N*，且n≥3，试证：f(n)＞eq\f(n,n＋1).二项式练习题答案1．(2011·陕西)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)．A．－20B．－15C．15D．20解析　Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)·(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4Ceq\o\al(4,6)＝15.答案　C2．(2012·泰安月考)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　)．A．6B．10C．12D．15解析　Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))r＝(－2)rCeq\o\al(r,n)xeq\f(n－3r,2)，当r＝4时，eq\f(n－3r,2)＝0，又n∈N*，∴n＝12.答案　C3．(2011·天津)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)－\f(2,\r(x))))6的二项展开式中，x2的系数为(　　)．A．－eq\f(15,4)B.eq\f(15,4)C．－eq\f(3,8)D.eq\f(3,8)解析　在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)－\f(2,\r(x))))6的展开式中，第r＋1项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)))6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6－rx3－r(－2)r，当r＝1时，为含x2的项，其系数是Ceq\o\al(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5(－2)＝－eq\f(3,8).答案　C4．(2012·临沂模拟)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)．A．28B．38C．1或38D．1或28解析　由题意知Ceq\o\al(4,8)·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案　C5．设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)．A．－150B．150C．300D．－300解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(5x)4－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)r54－rCeq\o\al(r,4)x4－eq\f(3r,2)，令4－eq\f(3r,2)＝1，得r＝2，T3＝150x.答案　B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·辽宁)(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6的展开式中的常数项为________．解析　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6的一般项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，当r＝3时，T4＝－Ceq\o\al(3,6)＝－20，当r＝4时，T5＝Ceq\o\al(4,6)＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案　－57．(2011·湖北)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3\r(x))))18的展开式中含x15的项的系数为________．(结果用数值表示)解析　Tr＋1＝Ceq\o\al(r,18)x18－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3\r(x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))rx18－eq\f(3,2)r，令18－eq\f(3,2)r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2Ceq\o\al(2,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝17.答案　178．(2012·天津质检)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝eq\f(36＋1,2).令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝eq\f(36＋1,2)－1＝364.答案　364三、解答题(共23分)9．(11分)已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解　(1)由题意得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,8)·xeq\f(8－4r,3)，令eq\f(8－4r,3)＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝Ceq\o\al(2,8)＝28.10．(12分)(2012·厦门质检)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行　　　　　　　1第1行　　　　　　1　1第2行　　　　　　1　2　1第3行　　　　　1　3　3　1第4行　　　　1　4　6　4　1第5行　　　1　5　10　10　5　1第6行　　1　6　15　20　15　6　1　…　　　　　　　　…解　(1)Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al(r,n)＋Ceq\o\al(r－1,n)(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1(3)设Ceq\o\al(r－1,n)∶Ceq\o\al(r,n)∶Ceq\o\al(r＋1,n)＝3∶4∶5由eq\f(C\o\al(r－1,n),C\o\al(r,n))＝eq\f(3,4)，得eq\f(r,n－r＋1)＝eq\f(3,4)即3n－7r＋3＝0①由eq\f(C\o\al(r,n),C\o\al(r＋1,n))＝eq\f(4,5)，得eq\f(r＋1,n－r)＝eq\f(4,5)即4n－9r－5＝0②解①②联立方程组得n＝62，r＝27即Ceq\o\al(26,62)∶Ceq\o\al(27,62)∶Ceq\o\al(28,62)＝3∶4∶5.B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·全国新课标)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)．A．－40B．－20C．20D．40解析　令x＝1，由已知条件1＋a＝2，则a＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5＝Ceq\o\al(0,5)(2x)5＋Ceq\o\al(1,5)(2x)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＋Ceq\o\al(2,5)(2x)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2＋Ceq\o\al(3,5)(2x)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3＋Ceq\o\al(4,5)(2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝32x5－80x3＋80x－40eq\f(1,x)＋10eq\f(1,x3)－eq\f(1,x5)，则常数项为40.答案　D2．(2012·杭州质检)在(x－eq\r(2))2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝eq\r(2)时，S等于(　　)．A．23008B．－23008C．23009D．－23009解析　(x－eq\r(2))2006＝x2006＋Ceq\o\al(1,2006)x2005(－eq\r(2))＋Ceq\o\al(2,2006)x2004(－eq\r(2))2＋…＋(－eq\r(2))2006，由已知条件S＝－Ceq\o\al(1,2006)(eq\r(2))2006－Ceq\o\al(3,2006)(eq\r(2))2006－…－Ceq\o\al(2005,2006)(eq\r(2))2006＝－22005·21003＝－23008.答案　B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·大同调研)已知(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.解析　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n展开式中的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xn－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))r＝Ceq\o\al(r,n)xn－4r(r＝0,1,2，…，8)，将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n＝5.答案　n＝54．(2011·浙江)设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析　此题主要考查二项式定理中的特定项的计算，解题的关键是理解通项，结合方程便可求解．对于Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a,x\f(1,2))))r＝Ceq\o\al(r,6)(－a)rx6－eq\f(3,2)r，B＝Ceq\o\al(4,6)(－a)4，A＝Ceq\o\al(2,6)(－a)2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.答案　2三、解答题(共22分)5．(10分)已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．解　等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式为bk＝2k，令3n－1＝2k，n∈N*，k∈N*，即n＝eq\f(2k＋1,3)＝eq\f(3－1k＋1,3)＝eq\f(C\o\al(0,k)3k－C\o\al(1,k)3k－1＋…＋C\o\al(k－1,k)3－1k－1＋C\o\al(k,k)－1k＋1,3)，当k＝2m－1时，m∈N*，n＝eq\f(C\o\al(0,2m－1)32m－1－C\o\al(1,2m－1)32m－2＋…＋C\o\al(2m－2,2m－1)3,3)∈N*，Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．6．(12分)(2012·三门峡月考)已知f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；(2)若n∈N*，且n≥3，试证：f(n)＞eq\f(n,n＋1).证明　(1)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)．设x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,2x1＋1)－eq\f(2x2－1,2x2＋1)＝eq\f(2x1－12x2＋1－2x2－12x1＋1,2x1＋12x2＋1)＝eq\f(22x1－2x2,2x1＋12x2＋1)，由x1＜x2则2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，因此f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)当n∈N*且n≥3，要证f(n)＞eq\f(n,n＋1)，即eq\f(2n－1,2n＋1)＞eq\f(n,n＋1)，只须证2n＞2n＋1，∵2n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＞Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＝2n＋1.∴f(n)＞eq\f(n,n＋1).