2021年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（B1卷）

2021年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（B1卷）2021年全国高中数学联合竞赛一试试题（B1卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,f(2)=3，则f(f(−1))=.解答f(−1)=−f(1)=−2,f(−2)=−f(2)=−3⇒f(f(−1))=f(−2)=−3.2.复数z=1+i+m(m为实数)的实部和虚部均大于0，则m的取值范围是1+i.解答mm(1−i)1+>0,z=1+i+=1+m+1−mi⇒2⇒−202所以m的取值范围是(−2,2).T3.集合A={1,2,3},X={4...

2021年全国高中数学联合竞赛一试试题（B1卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,f(2)=3，则f(f(−1))=.解答f(−1)=−f(1)=−2,f(−2)=−f(2)=−3⇒f(f(−1))=f(−2)=−3.2.复数z=1+i+m(m为实数)的实部和虚部均大于0，则m的取值范围是1+i.解答mm(1−i)1+>0,z=1+i+=1+m+1−mi⇒2⇒−202所以m的取值范围是(−2,2).T3.集合A={1,2,3},X={4x+y|x,y∈A},Y={4x−y|x,y∈A}，则XY的元素之和为.解答X={5,6,7,9,10,11,13,14,15},Y={1,2,3,5,6,7,9,10,11}TT⇒XY={5,6,7,9,10,11}，所以XY的元素之和为48.4.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px与一条倾斜角为π的直线相4交于P(3,2),Q两点，则△OPQ的面积为.解答x=y+1,抛物线y2=4x，直线x=y+1，则⇒Q1,−2，333y2=4x31214所以S△=3×−−2×=.OPQ23335.数列{an}满足a1=2,an+1=(n+1)an−n，则{an}的通项公式为.解答a1=2,a2=3,a3=7,a4=25,a6=121,a7=721⇒an=n!+1.假设n=k时结论成立，则n=k+1时，ak+1=(k+1)·(k!+1)−k第1页共4页=(k+1)!+k+1−k=(k+1)!+1，即n=k+1时结论也成立.∗综上，有an=n!+1(n∈N).V−6.正四棱锥P−ABCD中，G是△PBC的重心，则GPAD=.VG−PAB解答如图，M,N,F是相应边的中点，ME⊥PN,OH⊥PF.由于P−ABCD是正四棱锥，则∠MNE=∠OFH=α，于是ME=MNsinα=2OFsinα=2OH.即点M到平面PAD的距离是到平面PAB距离的2倍，从而点G到平面PAD的距离是到平面V−PAB距离的2倍.所以GPAD=2.VG−PAB7.已知α,β⩾0,α+β⩽2π，则sinα+2cosβ的最小值为.解答若α⩽π，则sinα+2cosβ⩾2cosβ⩾−2；若α>π，只需考虑β>π时的情形.设α=π+θ,β=π+φ,θ+φ⩽π，222于是sinα+2cosβ=−sinθ−2sinφ，下面考查sinθ+2sinφ的最大值.由于sinθ,sinφ均在0,π上单调递增，从而sinθ+2sinφ取得最大值时，2√必有θ+φ=π，此时sinθ+2sinφ=cosφ+2sinφ⩽5.2√−−−所以√sinα+2cosβ的最小值为√5，等号成立时sinα=sinθ=cosφ525=−,cosβ=−sinφ=−.558.设a1,a2,···,a21为1,2,···,21的排列，满足|a20−a21|⩾|a19−a21|⩾|a18−a21|⩾···⩾|a1−a21|.这样的排列的个数为.解答当a21=1时，只有a1=2,a2=3,···,a20=21一种情况，a21=21同理；当a21=2时，a1,a2可以是1,3之一，其余也只能按顺序排列，a21=20同理；当a21=3时，a1,a2可以是2,4之一，a3,a4可以是1,5之一，其余按顺序排列，a21=19同理；···；第2页共4页当a21=11时，a1,a2可以是10,12之一，a3,a4可以是9,13之一，···，a19,a20可以是1,21之一.所以满足条件的排列的个数为2(1+2+22+···+29)+210=2(210−1)+210=3·210−2=3070.二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.平面向量a,b夹角为π，若|a|,|b|,|a+b|依次成等差数列，求|a|:|b|:|a+b|.3解答设|a|=x,|b|=y,|a+b|=z，则z2=x2+y2+2xycosπ=x2+y2+xy3⇒(2y−x)2=4y2+x2−4xy=x2+y2+xy⇒3y2=5xy⇒y=5x3⇒z2=x2+25x2+5x2=49x2⇒z=7x.所以x:y:z=3:5:7.9393|−|10.设函数f(x)=2log3x，正实数a,b,c满足a

                    本文档为【2021年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（B1卷）】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
                    图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。 
 该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。

                    [版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。

                    本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。

                    网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
                

下载需要：￥11.9 已有0 人下载

立即下载

你可能还喜欢

最新资料

资料动态

专题动态

678教学资源

暂无简介~

格式：pdf

大小：320KB

软件：PDF阅读器

页数：0

分类：高中数学

上传时间：2021-10-11

浏览量：35

热点搜索

餐厅服务员试题及答案医院培训制度公路工程施工标准化技术指南：第七分册交通工程及安全设施物业工作总结小学五年级数学下册第三单元《长方体和正方体》知识点归纳全市工会工作先进单位先进个人公示各总监的英文缩写二氧化硫SO2检测记录表寄语大全之国培简报卷首寄语信息安全系统等级保护三级测评控制点概要 2017年北京高考英语试卷与答案水产养殖中有效强化鱼病防治工作的措施漏电开关检测报告省实验中学分配生试数学题餐厅服务员试题及答案医院培训制度公路工程施工标准化技术指南：第七分册交通工程及安全设施物业工作总结小学五年级数学下册第三单元《长方体和正方体》知识点归纳全市工会工作先进单位先进个人公示各总监的英文缩写二氧化硫SO2检测记录表寄语大全之国培简报卷首寄语信息安全系统等级保护三级测评控制点概要 2017年北京高考英语试卷与答案水产养殖中有效强化鱼病防治工作的措施漏电开关检测报告省实验中学分配生试数学题