平行四边形的证明
题
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一•解答题(共30小题)如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE±BD于E,CF丄BD于F.求证：BE=DF若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由).A.―
答案
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).25.在一次
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实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,/BCD=R±,AB=AD=10cmBC=8cm点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t.求CD的长；当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为0(0,0)、A(2,0)、B(1,1),则第四个顶点C的坐标是多少？已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE、DF,且-I「；cm,」，求平行四边形ABCD的面积.如图，在平面直角坐标系中，已知0为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A(-3，V2)，B(-2，3、匝)，C(2,3匝)，点D在第一象限.求D点的坐标；将平行四边形ABCD先向右平移｛个单位长度，再向下平移.个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？艮rr/70hX如图所示.？ABCD中，AF平分/BAD交BC于F,DE丄AF交CB于E求证:BE=CF1、解答：(1)•••四边形ABCD是平行四边形，•••AB=CD,AB//CD,•••/ABD=ZCDB,tAE丄BD于E,CF丄BD于F,•••/AEB=ZCFD=90,ABE^ACDF(A.A.S.),•BE=DF(2)四边形MENF是平行四边形.证明：有(1)可知：BE=DF••四边形ABCD为平行四边行，AD/BC,「./MDB=MBD,•/DM=BN,•△DNF^ABNE,•NE=MF,ZMFD=ZNEB,：/MFE=ZNEF,MF//NE,•四边形MENF是平行四边形.2、解答：证明：••四边形AECF是平行四边形OE=OF,OA=OCAE/CF,DFO=ZBEO,/FDO=ZEBO,•••△FDO^AEBO,•OD=OB,•/OA=OC,•四边形ABCD是平行四边形.3、解答：证明：(1)vBF=DE•-BF-EF=DE-EF,即BE=DE•/AE丄BD,CF丄BD,AEB=ZCFD=90,•/AB=CD,•RtAABEBRtACDF(HL);(2)•△ABEBACDF,•/ABE=ZCDF,•AB/CD,AB=CD,•四边形ABCD是平行四边形，•AO=CO4、解答：证明：•DE,DF是厶ABC的中位线，•DE/AB,DF/AC,•四边形AEDF是平行四边形，又•••/BAC=90,•平行四边形AEDF是矩形，•EF=AD5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等.证明：•CE//AB,•/DAO=ZECQ•/OA=OC,•△ADOBAECO•AD=CE•四边形ADCE是平行四边形，•CDAE.6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB/DAE=ZFCB又•AE=CFDAEB^BCF,•DE=BF,/AED=ZCFB又•M、N分别是DE、BF的中点，•ME=NF又由AB/DC,得ZAED=ZEDC/.ZEDC=ZBFC•ME/NF：四边形MFNE为平行四边形.7、解答：证明：连接AC交BD于点O,•四边形ABCD为平行四边形，•/OA=OC,OB=OD.BE=DF,•OE=OF•四边形AECF为平行四边形.&解答：证明：••四边形ABCD是平行四边形,•••CD=AB,AD=CB/DAB=/BCD.又•••△ADE和^CBF都是等边三角形，•DE=BFAE=CF/DAE=ZBCF=60.•••/DCF=ZBCD—/BCF,/BAE=ZDAB—/DAE,•••/DCF=ZBAE.「.ADCF^ABAE(SAS.•-DF=BE•四边形BEDF是平行四边形.9、解答：证明：TE是AC的中点，•EC^AC,又•••DB=AC,「.DB=EC2又•••DB//EC,•四边形DBCE是平行四边形.•BC=DE10、解答：解：设P,Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t,PD=24—t,CQ=2t,BQ=30—2t.(1)若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ•24—t=2t•t=8•8秒后四边形PDCQ是平行四边形；(2)若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ,「.t=30—2t•t=10•10秒后四边形APQB是平行四边形11、解答：证明：•••D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE/AC,DE=AF,EF/AB,EF=AD•四边形ADEF为平行四边形.故AE与DF互相平分.12、解答：证明：T?ABCD中，对角线AC交BD于点0,二OB=OD,又•••四边形AODE是平行四边形，•AE/OD且AE=OD•AE/OB且AE=OB,•四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形.13、解答：证明：连接EGGF、FH、HE,点E、F、G、H分别是AB、CD、ACBD的中点.在厶ABC中，EG」BC;在厶DBC中，HF—BC,22•EG=HF.同理EH=GF.•四边形EGFH为平行四边形.•EF与GH互相平分.14、解答：证明：•••四边形ABCD是平行四边形，•AM/QC,AP/NC.又•••MN/AC,「.四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形.•AC=MQAC=NP.•MQ=NP.15、解答：证明：如答图所示，•••点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点，•OA=OC,OB=OD.•/G,H分别为OA,OC的中点，•OG匸OA,OH丄OC,「.OG=OH22又•••AB/CD,•/1=/2.在厶OEB和厶OFD中，/1=/2,OB=OD,/3=/4,•••△OEB^AOFD,•••OE=OF.•••四边形EHFG为平行四边形.16、解答：(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，17、二AB=CD,AB//CD,：/GBE=ZHDF.又•••AG=CH•BG=DH又•••BE=DF，GBE^AHDF.：GE=HF,/GEB=/HFD,•/GEF=ZHFE•GE/HF,：四边形GEHF是平行四边形.(2)解：仍成立.(证法同上)17、解答：(1)证明：•••AF/EC,•/DFA=/DEC,/DAF=/DCE•/D是AC的中点，•DA=DC,DAF^ADCE,•AF=CE(2)解：四边形AFCE是正方形.理由如下：•••AF/ECAF=CE•四边形AFCE是平行四边形，又•••AC=EF•平行四边形AFCE是矩形，•/FCE=/CFA=90,而/ACB=135,•/FCA=135-90°=45°°•/FAC=45,•FC=FA•矩形AFCE是正方形.18、解答：(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB/CD,且AB=CD,又•••AE/BD,•四边形ABDE是平行四边形,•AB=DE,•CD=DE即D是EC的中点；(2)解：连接EF,•/EF丄BF,•△EFC是直角三角形，又•••D是EC的中点，•DF=CD=DE=2在平行四边形ABCD中，AB/CD,•••/ABC=60,•/ECF=/ABC=60,CDF是等边三角形，•FC=DF=2故答案为：2.19、解答：证明：(1)•••△ABC是等边三角形，•/ABC=60°,•••/EFB=60,•/ABC=/EFB•EF/DC(内错角相等，两直线平行)•/DC=EF•四边形EFCD是平行四边形；(2)连接BE•/BF=EF,/EFB=60°EFB是等边三角形,•EB=EF/EBF=60•/DC=EF•EB=DC•/△ABC是等边三角形，•/ACB=60,AB=AC,•/EBF=/ACB,•△AEB^AADC,•AE=AD.EFdAC3同理HG/AC,EF=HGiEFGH是平行四边形;20、解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形.连接AC,F分别是AB、BC的中点，•••EF//AC,（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等.•••假若四边形EFGH为正方形，.••它的每一组邻边互相垂直且相等，•根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等.21、解答：（1）证明：•••△ABE、ABCF为等边三角形，AB=BE=AEBC=CF=FB/ABE=ZCBF=60.•••/CBA=ZFBEABC^AEBF•EF=AC又•••△ADC为等边三角形，•CD=AD=AC•EF=AD同理可得AE=DF•四边形AEFD是平行四边形.（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.当图形为菱形时，/BAO60（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）当图形为线段时，/BAC=60（或A与F重合、△ABC为正三角形）.22、解答：解：四边形AFED是平行四边形.证明如下：在厶BED与厶BCA中，BE=BCBD=BA（均为同一等边三角形的边）/DBE=ZABC=60-ZEBA△BED^ABCA（SAS•-DE=AC又•••AC=AF/.DE=AF在厶CBA与厶CEF中，CB=CECA=CFZACB=ZFCE=60+ZACE△CBA^ACEF（SAS•BA=EF又•••BA=DA,「.DA=EF故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）23、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB图2证明：过点P作MN//BC分别交AB,AC于M,N两点，由题意得PE+PF=AM•••四边形BDPM是平行四边形，•••MB=PD.「.PD+PE+PF=MB+AM=AB即PD+PE+PF=AB图3结论：PE+PF-PD=AB.24、解答：解：(1)DE/BC,DE=BC,DE丄AC.(2)如图4,如图5.(3)方法一：如图6,连接BE,•/PM=ME,AM=MB,ZPMA=ZEMB,."PMA^^EMB.•/PA=BE/MPA=ZMEB,.PA//BE.•••平行四边形PADC•PA//DC,PA=DC•BE/DC,BE=DC•四边形DEBC是平行四边形.•••DE/BC,DE=BC•••/ACB=90,•BC丄AC,.DE丄AC.方法二：如图7连接BE,PB,AE,•/PM=ME,AM=MB,•四边形PAEB是平行四边形.二PA//BE,PA=BE余下部分同方法一：方法三：如图8,连接PD,交AC于N,连接MN,•••平行四边形PADC•••AN=NC,PN=ND.•/AM=BM,AN=NC,「.MN//BC,MN=」BC.3又•••PN=ND,PM=ME,•MN//DE,MN=_DE.「.DE//BC,DE=BC225、解答：解：（1）无数；（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可.如图有：AE=BE=DF=CFAM=CN.（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）26、解答：解：（1）过点A作AM丄CD于M,根据勾股定理，AD=10,AM=BC=8,「.DM=1-:」=6,二CD=16;(2)当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10-3t,DQ=2t「.1O-3t=2t，解得t=2此时，BP=DQ=4,CQ=12「...厂,.'r..'-.J—•••四边形PBQD的周长=2(BP+BQ=*：';;②当点P在线段BC上时，即时，如图^P-CQ=4(St-10>XC16-21)=20化简得：3t2-34t+100=0,△=-44V0,所以方程无实数解.BP=3t-10,CQ=16-2t•若点P在Q的右侧，即6Wt千,则有PQ=34-5tS1Xg=20,亡曰＜6，舍去△匸时也-&t)5若点P在Q的左侧，即5则有PQ=5t-34,…，；「—一|「•?_.i,t=7.8.综合得，满足条件的t存在，其值分别为切丄，t2=7.8.27、解答：解：当BC//OA,BC=OA时，C和B的纵坐标相等，若选择AB为对角线，则Ci(3,1);若选择OB为对角线，则C2(-1,1)；当AB/OC,AB=OC时，选择OA为对角线，则C3(1,-1).故第四个顶点坐标是：C1(3,1),C2(-1,1),C3(1,-1).28、解答：解：设AB=x,贝UBC=18-x,由AB?DE=BC?DFF得：丄解之x=10,所以平行四边形ABCD的面积为：；.29、解答：解：(1)由B、C的坐标可知，AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1，点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为可得点D的坐标为(1,近).依题意得A1、B1、C1、D1的坐标分别为A(-3+?：力,0),B(-2+:,2：：)C(2+.】:,2X2),D(1+血,0).如图，平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，由题意可得GD=AD-AG=4-.二，平行四边形DEFG的高为2」.-',•••重叠部分的面积为(4-.：：)?二=4.-：-2.5C30、解答：证明：在平行四边形ABCD中，AD/BC,「./DAF=ZF,又AF平分/BAD,：/DAF=ZBAF,「./BAF=ZF,「.AB=BF,又AF平分/BAD,DE丄AF,•/AOD=/ADO,又/BOE=/AOD=/EDC,/ADO=/E,•••/EDC=/E,：CE=CD又AB=CD,•BE=CF
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