福建省龙岩市中考数学试卷WORD解析版

福建省龙岩市2014年中考数学试卷(WORD解析版)福建省龙岩市2014年中考数学试卷　一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2014•龙岩）计算：﹣2+3=（　　）　A．1B．﹣1C．5D．﹣5考点：有理数的加法．.分析：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．解答：解：﹣2+3=+（3﹣2）=1．故选：A．点评：本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值得运算．　2．（4分）（2014•龙岩）下列运算正确的是（　　）　A．a3+a3=a6B．a6÷a2=a4C．a3•a5=a15D．（a3）4=a7考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．解答：解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、a6÷a2=a4，故B选项正确；C、a3•a5=a8，故C选项错误；D、（a3）4=a12，故D选项错误．故选：B．点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．　3．（4分）（2014•龙岩）下列图形中既是对称轴又是中心对称的是（　　）　A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．.分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．　4．（4分）（2014•龙岩）不等式组的解集是（　　）　A．＜x≤2B．﹣＜x≤2C．﹣＜x≤2D．﹣≤x≤2考点：解一元一次不等式组．.分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x≤2，解②得：x＞﹣，则不等式组的解集是：﹣＜x≤2．故选C．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．　5．（4分）（2014•龙岩）如图所示几何体的俯视图是（　　）　A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．.分析：根据俯视图的定义，找出从上往下看到的图形．解答：解：从上往下看，俯视图为．故选C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形．　6．（4分）（2014•龙岩）下列叙述正确的是（　　）　A．“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛．”是必然事件　B．若甲乙两人六次跳远成绩的方差为S甲2=0.1，S乙2=0.3，则甲的成绩更稳定　C．从一副扑克牌中随即抽取一张一定是红桃K　D．任意一组数据的平均数一定等于它的众数考点：随机事件；算术平均数；众数；方差．.分析：根据随机事件以及众数和和算术平均数的求法分别分析得出即可．解答：解：A、“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛．”是随机事件，故此选项错误；B、若甲乙两人六次跳远成绩的方差为S甲2=0.1，S乙2=0.3，则甲的成绩更稳定，利用方差的意义，故此选项正确；C、从一副扑克牌中随即抽取一张不一定是红桃K，故此选项错误；D、任意一组数据的平均数不一定等于它的众数，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了随机事件以及众数和和算术平均数的求法等知识，正确把握相关概念是解题关键．　7．（4分）（2014•龙岩）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（　　）　A．40°B．50°C．70°D．80°考点：平行线的性质．.分析：根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵∠1=∠2，∠3=40°，∴∠1=（180°﹣∠3）=（180°﹣40°）=70°，∵a∥b，∴∠4=∠1=70°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键．　8．（4分）（2014•龙岩）如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），下列结论错误的是（　　）　A．该班总人数为50人B．步行人数为30人　C．乘车人数是骑车人数的2.5倍D．骑车人数占20%考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图．.分析：根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．解答：解：总人数是：25÷50%=50（人），故A正确；步行的人数是：50×30%=15（人），故B错误；骑车人数所占的比例是：1﹣50%﹣30%=20%，故D正确；乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确．故选B．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．　9．（4分）（2014•龙岩）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（　　）　A．﹣=2B．﹣=2　C．﹣=2D．=考点：由实际问题抽象出分式方程．.分析：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可．解答：解：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米，由题意得，﹣=2．故选A．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．　10．（4分）（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（　　）　A．B．C．1D．0考点：二次函数的最值；正比例函数的性质．.专题：新定义．分析：由定义先求出其解析式，再利用单调性即可求出其最大值．解答：解：由﹣x2+1≤﹣x，解得x≤或x≥．故函数min{﹣x2+1，﹣x}=，由上面解析式可知：①x≤x≤时，函数min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，其最大值为；②当x≤或x≥时，函数min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，其最大值为1．综上可知：函数min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选B．点评：本题考查了二次函数的最值，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的单调性是解题的关键．　二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）（2014•龙岩）据统计，2014年全国约有939万人参加高考，939万人用科学记数法表示为　9.39×106　人．考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于939万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．解答：解：939万=9390000=9.39×106．故答案为：9.39×106．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．　12．（3分）（2014•龙岩）因式分解：x2﹣4x+4=　（x﹣2）2　．考点：因式分解-运用公式法．.分析：直接运用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答：解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．　13．（3分）（2014•龙岩）若圆锥的侧面展开图的弧长为24πcm，则此圆锥底面的半径为　12　cm．考点：圆锥的计算．.分析：利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长列出等式求得圆锥的底面半径即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，∵圆锥的侧面展开图的弧长为24πcm，∴2πr=24π，解得：r=12，故答案为：12．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记扇形的弧长等于圆锥的底面周长．　14．（3分）（2014•龙岩）若一组数据3，4，x，5，8的平均数是4，则该组数据的中位数是　4　．考点：中位数；算术平均数．.分析：首先根据平均数为4，求出x的值，然后根据中位数的概念求解．解答：解：根据题意可得，=4，解得：x=0，这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，3，4，5，8，则中位数为：4．点评：本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．　15．（3分）（2014•龙岩）如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC=　6　．考点：圆周角定理；等腰直角三角形．.分析：首先连接OB，OC，易得△BOC是等腰直角三角形，继而求得答案．解答：解：连接OB，OC，∵∠BAC=45°，∴∠BOC=2∠BAC=90°，∵OB=OC=6，∴BC==6．=故答案为：6．点评：此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．　16．（3分）（2014•龙岩）如图，△ABC中，∠B=70°，则∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE=　50°　．考点：旋转的性质．.分析：利用旋转的性质得出AC=CE，以及利用三角形内角和得出∠BCA的度数，利用等腰三角形的性质得出答案．解答：解：∵△ABC中，∠B=70°，则∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，点B的对应点D恰好落在AC上，∴∠BCA=180°﹣70°﹣30°=80°，AC=CE，∴∠BCA=∠DCE=80°，∴∠CAE=∠AEC=100°×=50°．故答案为：50°．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠CAE=∠AEC是解题关键．　17．（3分）（2014•龙岩）如图，∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，若O1，O2，O3…分别以为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则⊙O2014的面积是　34026π　（结果保留π）考点：相切两圆的性质．.专题：规律型．分析：根据相切两圆的性质得出，∠O1OC=30°，得出CO1=1，进而求出⊙O2014的半径，即可得出答案．解答：解：设⊙O1，⊙O2，⊙O3…与OB的切点分别为C，D，E，连接CO1，DO2，EO3，∴CO1⊥BO，DO2⊥BO，EO3⊥BO，∵∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，∴∠O1OC=30°，∴CO1=1，∴DO2=（2+1+DO2），∴DO2=3，同理可得出：EO3=9，∴⊙O2014的半径为：32013，∴⊙O2014的面积是π×（32013）2=34026π．故答案为：34026π．点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及数字变化规律，得出⊙O2014的半径长是解题关键．　三、解答题（共8小题，满分89分）18．（10分）（2014•龙岩）（1）计算：（π﹣2014）0﹣2sin45°+|﹣2|+（2）解方程：+1=．考点：实数的运算；零指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．.分析：（1）本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据解分式方程的一般步骤，可得答案．解答：解：（1）原式=1﹣+2﹣+2=3；（2）方程两边都乘以（x﹣2）得2x+（x﹣2）=﹣3，解得x=﹣，经检验x=﹣是原分式方程的解．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算；解分式方程要检验．　19．（8分）（2014•龙岩）先化简，再求值：（+）•，其中a=﹣2．考点：分式的化简求值．.专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=•=，当a=﹣2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　20．（10分）（2014•龙岩）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．.分析：（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°．解答：（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，∴在△BCE与△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴CE=BF；（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°﹣60°=120°．即：∠BPC=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．　21．（10分）（2014•龙岩）某校九年级有10个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书籍的阅读情况，准备抽取50名学生作为一个样本惊醒分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本书为n，当0≤n＜5时为一般读者；当5≤n＜10时为良好读者；当n≥10时为优秀读者．（1）下列四种抽取方法最具有代表性的是　B　；A．随机抽取一个班的学生B．随机抽取50名学生C．随机抽取50名男生D．随机抽取50名女生（2）由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读本数的数据如下：8106971681101310582697576412101168141571213897101211813104681365711129根据以上数据回答下列问题①求样本中优秀读者的频率；②估计该校九年级优秀读者的人数；③在样本为一般读者的学生中随机抽取2人，用树形图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．考点：列表法与树状图法；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数与频率．.分析：（1）根据抽取方法的代表性可求得答案；（2）①由样本中优秀读者20人，即可求得样本中优秀读者的频率；②由①可求得该校九年级优秀读者的人数；③首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）∵A、C、D不具有全面性，∴选B；（2）①∵样本中优秀读者20人，∴样本中优秀读者的频率为：=；②该校九年级优秀读者的人数为：10×50×=200（个）；③画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况，∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为：=．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　22．（12分）（2014•龙岩）如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．（1）若四边形ABCD是菱形，则它的中点四边形EFGH一定是　B　；A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形（2）若四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=　2　S2（3）在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请在答题卡的图形上画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形．考点：中点四边形；作图—应用与设计作图．.分析：（1）连接AC、BD．先根据三角形中位线的性质得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，则四边形EFGH为平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直，得出EF⊥FG，从而证明▱EFGH是矩形；（2）由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK与△ABM相似，△AEN与△ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到△EBK面积与△ABM面积之比为1：4，且△AEN与△EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN面积为△ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为△MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为△ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半；（3）利用中点四边形的性质得出拼接方法，进而得出全等三角形．解答：解：（1）如图1，连接AC、BD．∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴▱EFGH是矩形；故选：B．（2）如图2，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，=，=，∴=，∴四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2；（3）如图3，四边形NEHM是平行四边形；△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．点评：此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质和矩形的判定以及菱形的性质等知识，利用三角形中位线的性质得出是解题关键．　23．（12分）（2014•龙岩）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题：（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按　1.6　元收取；超过5吨的部分，每吨按　2.4　元收取；（2）请写出y与x的函数关系式；（3）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月人均用了多少吨生活用水？考点：一次函数的应用．.分析：（1）由图可知，用水5吨是8元，每吨按8÷5=1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按（20﹣8）÷（10﹣5）=2.4元收取；（2）根据图象分x≤5和x＞5，分别设出y与x的函数关系式，代入对应点，得出答案即可；（3）把y=76代入x＞5的y与x的函数关系式，求出x的数值即可．解答：解：1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按2.4元收取；（2）当x≤5时，设y=kx，代入（5，8）得8=5k，解得k=1.6∴y=1.6x；当x＞5时，设y=kx+b，代入（5，8）、（10，20）得解得k=2.4，b=﹣4∴y=2.4x﹣4；（3）把y=76代入y=2.4x﹣4得2.4x﹣4=76解得x=答：该家庭这个月用了吨生活用水．点评：此题考查一次函数的实际运用，结合图形，利用基本数量关系，得出函数解析式，进一步利用解析式解决问题．　24．（13分）（2014•龙岩）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D，E分别是边BC，AB的中点，P是BC边上的动点（不与B，C重合）．设BP=x．（1）当x=6时，求PE的长；（2）当△BPE是等腰三角形时，求x的值；（3）当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．考点：圆的综合题．.专题：综合题．分析：（1）根据等腰三角形的性质得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6时，点P在D点处，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=AB=5；（2）先得到BE=5，再分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EM∥AD得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=BE=，再证明Rt△BPN∽Rt△BAP，理由相似可计算出PB=，即x=；（3）EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=BD=3，AF=DF=AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出OE=，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比计算出OH=，再比较OE与OH的大小，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．解答：解：（1）∵AB=AC=10，BC=12，D为边BC的中点，∴BD=CD=6，AD⊥BC，∴当x=6时，点P在D点处，∴PE为Rt△ABD斜边上的中线，∴PE=AB=5；（2）∵点E为AB的中点，∴BE=5，当BP=BE=5，则x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，则BM=PM，∵点E为AB的中点，而EM∥AD，∴M点为BD的中点，∴PB=BD=6，∴x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，则BN=EN=BE=，∵∠PBN=∠DBA，∴Rt△BPN∽Rt△BAP，∴PB：AB=BN：BD，即x：10=：6，∴x=，综上所述，当△BPE是等腰三角形时，x的值为5或6或；（3）以EP为直径的圆与直线AC相交．理由如下：EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，AB=10，BD=6，∴AD==8，∵点E为AB的中点，而EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=3，AF=DF=AD=4，∵AD平分EP，∴OE=OF，在△OEF和△OPD中，∴△OEF≌△OPD，∴OF=OD，∴OF=DF=2，∴AO=AF+OF=6，在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，∴OE==，∵∠OAH=∠CAD，∴Rt△AOH∽Rt△ACD，∴OH：CD=AO：AC，即OH：6=6：10，解得OH=，∵OE===，OH===，∴OE＞OH，∴以EP为直径的圆与直线AC相交．点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法和等腰三角形的性质；利用三角形全等解决线段相等的问题；利用三角形相似求线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．　25．（14分）（2014•龙岩）如图①，双曲线y=（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．考点：二次函数综合题．.分析：（1）用待定系数法即可求得．（2）过O作OM⊥BC，则OM=，因为OB=，根据勾股定理求得MB=2，进而求得tan∠COM===2，所以tan∠POE=2，从而求得P点的坐标．（3）根据勾股定理求得DF、OB的长，根据DF∥OB得出=即可求得．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）过B（3，1），C（﹣1，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x，把B（3，1）代入y=（k≠0）得：1=，解得：k=3，∴双曲线的解析式为：y=．（2）∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），设直线BC为y=kx+b，∴，解得k=1，b=﹣2，∴直线BC为：y=x﹣2，∴与坐标轴的交点（2，0），（0，﹣2），过O作OM⊥BC，则OM=，∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），∴OB=OC=，∴BM=2，∴tan∠COM===2，∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，∴∠POE=∠COM，∴tan∠POE=2，∵P点是抛物线上的点，设P（m，﹣m2+m），∴=2，解得：m=，∴P（，1），（3）∵直线CO过C（﹣1，﹣3），∴直线CO的解析式为y=3x，解，解得，∴D（1，3），∵B（3，1），∴直线OB的斜率=，∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，∴DF∥OB，∴直线l的斜率=﹣3，直线DF的斜率=，∵直线l过B（3，1），直线DF过D（1，3），∴直线l的解析式为y=﹣3x+10，直线DF解析式为y=x+，解，解得，∴F（，），∴DF==，∵DF∥OB，OB=，∴===．点评：本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理的运用，平行线的斜率的特点，以及图象的交点等．