12.3角的平分线的性质如图11-100所示,在Rt△ABC中,/C=90°AD是角平分线,DE丄AB于点E,下列结论错误的是()A.BD+DE=BCB.DE平分/ADBC.DA平分/EDCD.DE+AC>AD如图11—101所示,在AABC中,于F,则下列结论中错误的是()AD平分/BAC,DE丄AB于E,DF丄ACA.DE=DFB.AD上任意一点到E,F两点的距离相等C.AE=AFD.BD=DC如图11-102所示,BE丄AC于E,CF丄AB于F,AE=AF,BE与CF交于点D,贝归①厶ABE^AACF;②厶BDFCDE;③点D在/BAC的平分线上.以上结论正确的是()D.①②③A.①B.②如图11-103所示,△ABC中,P,Q分别是BC,AC上的点,作PR丄AB,PS丄AC,垂足分别是R,S,若AQ=PQ,PR=PS,下面三个结沦:①AS=AR:②QP//AR;③△BRP^△CSP.其中正确的是()A.①③B.②③C.①②D.①②③在△ABC中,/C=90°AD平分/BAC,BC=10cm,BD=7cm,则点D到AB的距离是.如图11-104所示,在直线I上找一点,使这点到/AOB的两边OA,OB的距离相等,则这个点是.如图11-105所示,已知O为/BAC的平分线与/ACD的平分线的交点,OE丄AC于E,若OE=2,则点O至UAB的距离与点O至UCD的距离的和是.如图11-106所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到AB,BC,CA的距离相等.11-106如图1I-107所示,BD是/ABC的平分线,BA=BC,点P在BD上,且PM丄AD,PN丄CD.求证PM=PN.如图11-108所示,BF丄AC于点F,CE丄AB于点E,BF与CE交于D,且BD=CD.求证D在/BAC的平分线上;若将条件:BD=CD和结论:D在/BAC的平分线上互换,结论成立吗?试说明理由.ACF11•I旳如图11-109所示,点B,C在/A的两边上,且AC=AB,P为/A内一点,PC=PB,PE丄AB、PF丄AC,垂足分别为E,F.求证PE=PF.如图11-110所示,已知点B,C分别在/MAN的两边上,BD丄AM,CE丄AN,垂足分别为D,E,BD,CE相交于点F,且BF=CF.求证点F在/A的平分线上.(提示:在同一个三角形中,等边对等角,等角对等边)凰11-110mi\-in如图11-111所示,在△ABC中,/C=90°AC=BC,AD平分/CAB,交BC于D,能否在AB上确定一点E,使厶BDE的周长等于AB的长?请说明理由.参考答案B[提示:由AD是/BAC的平分线,DE丄AB,/C=90°可知DC=DE,所以BD+DE=BD+CD=BC,选项A成立;DE+AC=DC+AC>AD,选项D成立;由AD平分/BAC,/DEA=90°/C=90°可知/EDA=/CDA,所以选项C成立•]D[提示:利用角平分线的性质及全等三角形的有关知识可解本题.]D[提示:由ASA可知Rt△ABE也RtAACF,从而AC=AB,又AE=AF,故CE=BF,从而可由AAS得RtADFB也RtADEC,有DE=DF,又DE,DF分别垂直于AC,AB,故点D在/BAC的平分线上.故①②③均正确.]C[提示:连接AP,由PR=PS及已知条件易证Rt△ARP也RtAASP(HL),故AR=AS,/RAP=ZSAP,又QA=QP,故/QAP=ZQPA=/RAP.从而PQ//AR,但无法证明△BRP^ACSP.]3cm[提示:由AD平分/BAC知D到AB,AC的距离相等,又BC=10cm,BD=7cm,故CD=3,又/ACD=90°则点D到AC的距离即是CD的长,为3cm,故D到AB的距离也是3cm.]/AOB的平分线与直线I的交点4[提示:过O分别作AB,CD的垂线.则点O到AB,CD的距离均等于OE,故它们的和为4.]证明:过P点分别作PE丄AB于E,PF丄BC于F,PG丄CA于G.vBM平分/ABC,APE=PF.同理PF=PC.aPE=PF=PG,即点P至UAB,BC,CA的距离相等.9.证明:tBD是/ABC的平分线,二/ABD=/CBD.在△ABD和厶CBD中,AB=AB(已知)ABD二CBD(已证)_一BD二BD(公共边)•••△ABD^ACBD(SAS).a/ADB=/CDB(全等三角形的对应角相等),即DB是/ADC的平分线.又tPM丄AD,PN丄DC,:PM=PN.(1)证明:tBF丄AC,CE丄AB,:/BED=/CFD=90°在RtABED.BED二.CFD(已证)和RtACFD中.EDB=/FDC(对顶角相等)二RtABED也RtACFDBD=CD(已知)(AAS).•••DE=DF(全等三角形的对应边相等).•••D在/BAC的平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上).(2)解:成立.理由如下:•••点D在/BAC的平分线上,且BF丄AC,CE丄AB,•••DE=DF,/BED=/CFD=90°在RtABED和RtACFD中,BED=CFDDE=DF,二RtABED也RtACFD(ASA).EDB=FDC•••BD=DC(全等三角形的对应边相等).‘AB=AC证明:连接AP,在RtAABP和厶ACP中,AP=AP(公共边),PB=PC•••△ABP^AACP(SSS)aZBAP=ZCAP.又:PE丄AB,PF丄AC,:PE=PF.证明:如图11-112所示,连接BC,作射线AF.vBD丄AM,CE丄AN,/-ZADB=/AEC=ZBDC=ZCEB=90°vBF=CF,vZDBC=ZECB.又vBC=CB,BCDCBE.:BD=CE,:EF=DF,•/点F在ZCAB的平分线上.13•解:能.过D作DE丄AB,交AB于E点,则E点即可满足要求.理由:vAD平分ZCAB,CD丄AC,DE丄AB,/CD=DE.在Rt△ACD和RtAAED中,CD=DE,[AD=AD,/RtAACD也RtAAED(HL):AC=AE.vAC=BC,.BC=AE.BDE的周长=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AE+EB=AB.S11-112
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