一元二次方程的整数根问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
例1m为何正整数时，方程x2＋（2m－1）x＋（m2－m－12）=0有正整数根？解：△＝＞0由求根公式：故因为m是正整数，故－3－m＜0，原方程有正整数根，∴，∴m＜4∴m＝1，2，3时，原方程有正整数根。例2已知12＜m＜60，且关于x的二次方程x2－2（m＋1）x＋m2＝0有两个整数根，求整数m，并求此两个整数根。解：由求根公式：由于都为整数，所以必为完全平方数，而，故是奇数且为完全平方数，故只能为49和81只能为24和40（1）当时，；（2）当时，例3若方程（k2－1）x2－6（3k－1）x＋72＝0有两个不同的正整数根，求整数k的值。解:∵k2－1≠0，k≠±1．Δ=36(k－3)2＞0，所以k≠3．用求根公式可得，由于x1，x2是正整数，所以k+1=1，2，3，4，6，12且k－1=1，2，3，6，所以k＝0，1，2，3，5，且k＝2，3，4，7，符合条件的仅有k=2。例4已知方程（a2－1）x2－2（5a＋1）x＋24＝0有两个不等的负整数根，求整数a的值。解：∵a2－1≠0，a≠±1．，所以a≠－5．所以依题意有：、均为负整数，所以a－1＝－1，－2，－3，－6且a＋1＝－1，－2，－4所以a＝0，－1，－2，－5且a＝－2，－3，－5，符合此条件的仅有。例5方程x2－（a＋8）x＋8a－1＝0有两个整数根，试求整数a的值。解法一：原方程可化为于是有或，所以或∴综上所述a＝8解法二：由已知方程知x≠8，将原方程化为∵a、x均为整数，所以x－8＝1或－1，∴x＝9或7，当x＝9时，a＝8，当x＝7时，a＝8综上所述，a＝8例6试确定自然数m的值，使方程x2－（m＋2）x＋4m＝0有正整数解。解：由已知方程知，将原方程化为因为m为自然数，所以正整数x所取的可能值为2，5、6、8、12，分别代入方程，得m的值为0或15或12∴当m＝0或m＝15或m＝12时，方程有正整数解。例7已知关于x的方程a2x2－（3a2－8a）x＋2a2－13a＋15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例8设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2－（m－1）x＋1＝0有有理根，求m的值．解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=（m－1）2－4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2－6m＋1＝n2，所以（m－3）2－n2＝8，（m－3＋n）（m－3－n）＝8．由于m－3＋n≥m－3－n，并且（m－3＋n）＋（m－3－n）＝2（m－3）是偶数，所以m－3＋n与m－3－n同奇偶，所以或所以或（不合题意舍去），所以m＝6
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