初等数论考试试卷1一、单项选择题（每题3分，共18分）1、如果,，则(）.ABCD2、如果，,则15（）.A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数（)。A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果,是任意整数,则ABCTD5、如果（),则不定方程有解。ABCD6、整数5874192能被()整除。A3B3与9C9D3或9二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是(）.2、同余式有解的充分必要条件是（)。3、如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为（）.4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者().5、的公倍数是它们最小公倍数的(）.6、如果是两个正整数,则存在()整数，使，.三、计算题（每题8分，共32分)1、求［136,221，391]=?2、求解不定方程.3、解同余式。4、求,其中563是素数.（8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）1、证明对于任意整数，数是整数。2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和。试卷1答案一、单项选择题（每题3分，共18分)1、D。2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是（）。3、如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数，是任意一个整数，则被整除或者(与互素).5、的公倍数是它们最小公倍数的（倍数）。6、如果是两个正整数,则存在（唯一)整数,使，。三、计算题（每题8分,共32分）求［136，221，391]=？（8分）解［136，221，391］=［［136,221］,391]=[]=［1768,391]——--—---————(4分)==104391=40664.—--------—-—（4分）2、求解不定方程。(8分)解：因为（9，21)=3，，所以有解；—-—-——---———---—-——-——--——--（2分)化简得;—-——---—-——-——---——（1分）考虑，有，——---—--—--—-—-—-—-（2分)所以原方程的特解为，-—-——————---—--———-（1分)因此，所求的解是.———---—-——--—--————(2分）3、解同余式。（8分)解因为（12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.—-————---—(1分)又同余式等价于，即.-———————--—-（1分)我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10，3），--———-—-——（2分）即定理4.1中的。-—---—（1分）因此同余式的3个解为，-----—-—-（1分),-——----——-------—(1分）。—--—-—-—-（1分）4、求,其中563是素数。（8分）解把看成Jacobi符号，我们有---—---——--————（3分)----——-———-—---——-—---（2分)，-————-——-----———-（2分）即429是563的平方剩余。-——------——-——-（1分）四、证明题（第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.(10分)证明因为==,--———-（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数，3个连续整数的乘积是3的倍数，—--——(2分)并且(2,3）=1，———--(1分)所以从和有,——-—-（3分）即是整数.-—-——（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.（11分）证明因为，--———--—---—-（3分)所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,—1，0，1,2构成,所以这只需将n=0，±1，±2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5，的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,所以T--———-———(7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。-——-———-（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和。(11分）证明设是正数,并且,——-—-———--（3分）如果,———--—-——（1分）则因为对于模4，只与0,1,2，-1等同余,所以只能与0，1同余,所以，-—-—-—--—（4分）而这与的假设不符,---———-——（2分）即定理的结论成立。——-———(1分）初等数论考试试卷二一、单项选择题1、（)。ABCD02、如果,则=（）。ABCD3、小于30的素数的个数（）。A10B9C8D74、如果,是任意整数，则ABCTD5、不定方程（）.A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被(）整除.A3B3与9C9D3或97、如果，，则()。ABCD8、公因数是最大公因数的()。A因数B倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有(）。A4个B5个C2个D3个10、模7的最小非负完全剩余系是().A—3，—2，-1，0，1，2，3B—6，-5,—4，-3,—2,-1C1，2，3,4,5，6D0,1，2，3,4,5，611、因为（),所以不定方程没有解.A[12,15]不整除7B（12，15）不整除7C7不整除（12，15）D7不整除［12,15]12、同余式(）.A有解B无解C无法确定D有无限个解二、填空题1、有理数，,能写成循环小数的条件是（）。2、同余式有解,而且解的个数为().3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（).4、设是一正整数，Euler函数
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示所有()，而且与（）的正整数的个数.5、设整数,则（）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的(）数码的和能被3整除。7、（）。8、同余式有解，而且解的个数(）。9、在176与545之间有（）是17的倍数。10、如果,则=（)。11、的最小公倍数是它们公倍数的（).12、如果,那么=().三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程.(8分）3、求,其中563是素数.（8分）4、解同余式。（8分）5、求［525,231］=？6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余。四、证明题1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数。（11分）2、证明当是奇数时，有.(10分)3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数。（11分）4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中.
浙公网安备 33021202002483