课题相似图形3例1已知如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD平分∠ABC.求证：AD2=AC·DC.解：∵AB=AC，∠A=36∴∠ABC=∠C=72∴∠ABC=∠C=72∴BD=BC∵BD平分∠ABC易证△ABC∽△BDC∴∠ABC=∠ABD=36∴BC2=AC·DC.∴AD=BD∴AD2=AC·DC.练习1：1.已知如图，△ABC中，∠BAC=108，AB=AC=BD.求证：BD2=DC·BC.例2如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G、F在BC边上，D、E分别在AB、AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC=12cm，AH=8cm，求正方形DEFG的边长.解：假设正方形边长为x厘米，显然△ADE∽△ABC，∴=，∵BC=12cm，BC边上的高为8cm，∴AH=8cm，DE=xcm，AM=(8-x)cm代入上式得：即=，解得：x=4.8cm．∴正方形的边长是4.8cm．练习2：2.直角三角形ABC中∠A=90°，正方形EFGH的四个顶点在三角形的边上，如图．已知BE=6，FC=2，求正方形EFGH的面积.3.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，求△ABC的周长.4．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，求S1+S2的值.5．如图，在矩形ABCD中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，AB=8cm，BC=6cm，求S1，S2的值.例3.在△ABC中,点D、E分别是BC和AC边上的中点，且AD与BE相交于G点.求AG∶GD的值.解：过D作DF∥AC交BE于∴==点F，易证△BDF∽△BCE易证△FDG∽△EAG∴==∴==2.∵AE=CE练习3：6.在△ABC中,点D、E分别是AC和BD边上的中点，且AE交BC与点F,求AE∶EF的值.7.在△ABC中，D为AC的中点，F为BC的三等分点，且AF和BD相交与点E,求AE∶EF的值.中考练兵：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．(图3)(图2)(图1)(1)求证：EF=EG；(2)如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：(3)如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）解：成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴，，∴，即==，∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME∽△FNE，∴，∴．
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