【成才之路】高中数学 2、1-7定积分的简单应用同步检测 新人教版选修2-2

【成才之路】高中数学2、1-7定积分的简单应用同步检测新人教版选修2-2【成才之路】高中数学2、1-7定积分的简单应用同步检测新人教版选修2-2PAGE/NUMPAGES【成才之路】高中数学2、1-7定积分的简单应用同步检测新人教版选修2-2选修2-21.7HYPERLINK":\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\数学（人教A版）\\人教A版数学选修2-2,2-3\\2、1-7.ppt"\t"_parent"定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为(　　)A.eq\i\in(a,b,)f(x)dx　　　　　　　B.eq\i\in(a,b,)g(x)dxC.eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dxD.eq\i\in(a,b,)[g(x)－f(x)]dx[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　C[解析]　由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.2．如图所示，阴影部分的面积是(　　)A．2eq\r(3)B．2－eq\r(3)C.eq\f(32,3)D.eq\f(35,3)[答案]　C[解析]　S＝eq\i\in(,1,)－3(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－eq\f(1,3)x3－x2，则F(1)＝3－1－eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，F(－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S＝F(1)－F(－3)＝eq\f(5,3)＋9＝eq\f(32,3).故应选C.3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　)A.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|C.eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx[答案]　C[解析]　y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.4．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为(　　)A.eq\i\in(a,b,)f(x)dxB．|eq\i\in(a,b,)f(x)dx|C.eq\i\in(a,b,)|f(x)|dxD．以上都不对[答案]　C[解析]　当f(x)在[a，b]上满足f(x)<0时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，eq\i\in(a,b,)f(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C.5．曲线y＝1－eq\f(16,81)x2与x轴所围图形的面积是(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D.eq\f(5,2)[答案]　B[解析]　曲线与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，0))故应选B.6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是(　　)A．31m　　　B．36m　　　C．38m　　　D．40m[答案]　B[解析]　S＝eq\i\in(0,3,)(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,0)))＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)A.eq\f(1,12)　　　B.eq\f(1,4)　　　C.eq\f(1,3)　　　D.eq\f(7,12)[答案]　A[解析]　由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝x3))得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x3)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,12).8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为(　　)A．8J　　　B．10J　　　C．12J　　　D．14J[答案]　D[解析]　由变力做功公式有：W＝eq\i\in(1,3,)(4x－1)dx＝(2x2－x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,1)))＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝eq\f(3,\r(6t))，那么从3小时到6小时期间内的产量为(　　)A.eq\f(1,2)B．3－eq\f(3,2)eq\r(2)C．6＋3eq\r(2)D．6－3eq\r(2)[答案]　D[解析]　eq\i\in(3,6,)eq\f(3,\r(6t))dt＝eq\f(6,\r(6))eq\r(t)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(6,3)))＝6－3eq\r(2)，故应选D.10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为eq\f(9,2)a3，则直线l的方程为(　　)A．y＝±axB．y＝axC．y＝－axD．y＝－5ax[答案]　B[解析]　设直线l的方程为y＝kx，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,y＝x2－2ax))得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)图形面积S＝∫eq\o\al(2a＋k,0)[kx－(x2－2ax)]dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋2a,2)x2－\f(x3,3)))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2a＋k,0)))＝eq\f((k＋2a)3,2)－eq\f((2a＋k)3,3)＝eq\f((2a＋k)3,6)＝eq\f(9,2)a3∴k＝a，∴l的方程为y＝ax，故应选B.二、填空题11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．[答案]　18[解析]　如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x,y＝x－4))得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝eq\i\in(,4,)－2(y＋4－eq\f(y2,2))dy取F(y)＝eq\f(1,2)y2＋4y－eq\f(y3,6)，则F′(y)＝y＋4－eq\f(y2,2)，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.12．一物体沿直线以v＝eq\r(1＋t)m/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．13．由两条曲线y＝x2，y＝eq\f(1,4)x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．[答案]　eq\f(4,3)[解析]　如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝eq\f(x2,4)交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)dx－eq\i\in(0,2,)eq\f(1,4)x2dx)＝eq\f(4,3).14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t　(0≤t≤1),at(1≤t≤2),\f(b,t)(2≤t≤e)))则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．[答案]　9－8ln2＋eq\f(2,ln2)[解析]　∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；又1≤t≤2时，v(t)＝at，∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；又2≤t≤e时，v(t)＝eq\f(b,t)，∴v(2)＝eq\f(b,2)＝4，∴b＝8.∴路程为S＝eq\i\in(0,1,)2tdt＋eq\i\in(1,2,)2tdt＋eq\i\in(2,e,)eq\f(8,t)dt＝9－8ln2＋eq\f(2,ln2).三、解答题15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．[解析]　由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3,y＝x2－2x＋3))解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝eq\i\in(0,3,)(x＋3)dx－eq\i\in(0,3,)(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(0,3,)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(0,3,)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,0)))＝eq\f(9,2).16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根．∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意有eq\i\in(－1,－t,)(x2＋2x＋1)dx＝eq\i\in(,0,)－t(x2＋2x＋1)dx，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(－t,－1)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(0,－t)))即－eq\f(1,3)t3＋t2－t＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)t3－t2＋t.∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－eq\f(1,\r(3,2)).17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．[解析]　(1)设A到C经过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫eq\o\al(20,0)1.2tdt＝0.6t2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(20,0)))＝240(m)．(2)设从D→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，所以DB＝∫eq\o\al(20,0)(24－1.2t)dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝eq\f(6720,24)＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为eq\f(1,12)，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程．[解析]　如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－xeq\o\al(2,0).令y＝0得x＝eq\f(x0,2)，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，0)).设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S＝S曲边△AOB－S△ABC.S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝eq\f(1,3)xeq\o\al(3,0)，S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|·|AB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(x0,2)))·xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(3,0)，即S＝eq\f(1,3)xeq\o\al(3,0)－eq\f(1,4)xeq\o\al(3,0)＝eq\f(1,12)xeq\o\al(3,0)＝eq\f(1,12).所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.内容总结