随机过程习题解答(一)第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。分别写出随机变量和的分布密度试问：与是否独立？说明理由。解：(a)(b)由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。试求和的相关系数；与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：(a)利用的独立性，由计算有：(b)当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量求的均值、方差和相关函数；若与独立，求与Y的互相关函数。解：(a)(b)第二讲作业：P33/2.解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3.解：由周期性及三角关系，有:反函数，因此有一维分布：P35/4.解：(1)其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7.证明：（1）（2）由协方差函数的定义，有：P37/10.解：(1)当i=j令，则(2)时；否则有第三讲作业：P111/7.解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8.解：（1）由马氏链的马氏性，我们有:（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9.解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11.解：矩阵的特征多项式为:由此可得特征值为：，及特征向量：令矩阵则有:因此有：P112/12.解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：第四讲作业：P113/13.解：画出状态转移图，有:P113/14.解：画出状态转移图，有:P113/16.解：画出状态转移图，有：（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。第六讲作业：P115/17.解：（1）一步转移矩阵为：（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：解得极限分布即可。P115/18.解：由第七题的结果，计算可得:因此可计算极限分布如下：解以上方程，得极限分布：P115/19.解：见课上讲稿。P116/21.解：记，则有：（1）因为：(A)当时，有：由（A）可得:由（A）可得:当且时，有：由（A）可得：当且时，有:由（A）可得：另外：下列等式是明显的因此我们有：即｛是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：（2）画出转移矩阵图，可得：由：及，并且取，由递归可得：（3）由于：因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有:随机过程习题解答（二）P228/1。证明：由于s
0｝是一Poission过程，由母函数的定义，有:屮(s)=》P{N(t)=k}-skN(t+At)k=0k=0P{N(t)=1}-P{N(At)=k一1}I-skL1=0」丄》0{N(t)=1}-si-P{N(At)=k-1}-sk-i)L1=0-k=0=另另0{N(t)=1}-s1-P{N(At)=k—1}-sk-1)Lk=1-=区6{N(t)=1}•s1E0{N(At)=k-1}•sk-1)=]E6{N(t)=1}•s1)E^P{N(At)=j}•sj)1=0j=0=¥(s)•屮(s)N(t)N(At)2)有上面(1)的结果，可得：l=0阿(s)lim屮(s)-屮(s)6tN(t)=li[[]N(t+At)N(t)AtAtt0lim屮(s)•屮(s)-屮(s)At=屮(s)•limnwN(t)AtAtt0屮(s)-1(3)当At充分小时，由于:屮(s)丄P{N(At)=s}・skN(At)k=0=1—九At+o(At)】so+kAt+o(At)】si+(At)•skk=2因此，当|s|<1时，有:lim—d=lim“代(At)迄讐-sk"(s-1)N(At)_Atk=2由(2)的结果，我们有：河(s)dti(s-1)屮(s)N(t)我们有：P229/4.解：(1)由上面3题的结果(3)，Jd^汶(s-1)W〈dtN(t)dt屮(s)=1N(0)(s)()n屮(s)=eM-1)tN(t)(2)由于W(s)是随机过程N(t)的母函数，且屮将函数e九($-1)t关于s(s<1)N(t)N(t)展开成级数形式，我们可得：笛(t)(s)=ee(s-1)t二才罟-e入t-skk=0由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：P{N(t)=k}=-e亠,k=0,1,2Ak!P230/8.解：由特征函数的定义，我们有：①(u)=ECiuX(t)X(t)=区P{N(t)=n}-eIiuX(t)|N(t)="In=0cI=区(")"-e-九t-Egiu\y+y+ay]/12nn!=Y丛•e入t・Q{J!n=0令eIiuY1Y1则有：(u)=£'S•e-k=exp{tQ(u)一JX(t)n!Y1n=0若Y(n二l,2,A)的概率分布为：n(九tQ(u))nY*)九九P{Y二1}二;,P{Y=-1}二;n九+九n九+九1212丄/、彳》九九Q(u)=EeiuY=1•eiu+2•e-iuT\Znr\r\ccYn九+九九+九1212**)将(**)代入(*)，我们有：11k+k1=expkteiu+kte-i1221-(k+尢)t12①(u)=exp<(k+k)tX(t)12kk——上—•eiu+2•e—iu—1k+k2P230/7・解：先求｛N(t),t>0｝的特征函数:0①(u)=EfeiwN0(t)=Ebiu(Ni(t)-N2(t))JN0(t)012=EeiuNi(t)Ebi(-u)n2(t)丿y(kt)n(kt)m=1•e-kit•eiun•2•e-k_t•ei(-u)mn!m!n=0m=0(kteiu)n(ktei(-u))m=i•e-人t•2•e-k21n!m!n=0{Jm=0{J=expkteiu•e-k1t•expktei(-u)•e-k2t{112J2=expkteiu+kte-iu-(k+k)t1212由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知{N(t),t>0}是复合0m!Poission过程。P231/10.解：由于P{(t)=k,X(t)=jX(t)+X(t)+X(t)=J=12123P仪(t)=k,X(t)=j,X(t)+X(t)+X(t)=nJ=12123P1X(t)+X(t)+X(t)=nJ123因为X(t)的母函数为:i屮(s)=exp{k(s一1)t}，N(t)i由独立性，可知X(t)+X(t)+X(t)的母函数为:3屮(s)=rfX(t)i=1屮(s)=exp(s-l)t},X(t)123所以X(t)=X(t)+X(t)+X(t)是参数为k+k+k的泊松过程，即23123{J((k+k+k)t\/)P1X(t)+X(t)+X(t)=nJ=123-e-(k1+k2+k3)t123123n!因此我们有：弘)-(p°(t),屮),P/))，陋)-(1'0'0)p{x(t)=k,X(t)=j|X(t)+X(t)+X(t)=r)=12123(Xtl(Xt)j(Xtie-x,t-ie-x21-ie-X3t_k!j!(n-j-k)!Cx+X+X)t')n/)123e-x1+x2+x3)tn!n!XkXjXn-k-j—-1k!j!(n-k-j)!(X+X+X)n123P231/12.解：(1)由p{x(t+At)—k}-—P{X(t)—k,X(At)—0}+P{X(t)—k—1,X(At)—1}+A—P{X(t)—k}C1-XPAt)+P{X(t)—k-1}XPAt+o(At)rr令AtT0，有dpM+XPP(t)—XPP(t)dtrkrk-1解得p{x(t)=k}=@仔”e闷k!r(2)由(1)知，X(t)服从参数为九P的泊松分布。rP232/15.解：(1)以2(t)表示t时刻系统中不正常工作的信道数，则{g(t),t>0}是一马氏过程，其状态空间为：S={0,1,2}，Q矩阵为:(-2九2九0\Q=卩一(九+卩)九2)令：'P00P(t)=P(t)(t)10IP20(t)p(t)01p(t)11p(t)21p(t))02p(t)12p(t)丿22则前进方程为：P(0)二I3x33)令：写出福克－普朗克方程：即有：|啤-P()Qt,T>t}—P{T>t}P{T>t}—e-久te-久t—e-2久tBP233/16.解：(1)令g(t)表示t时刻系统中正在用电的焊工数，则｛g(t),t>0｝是一马氏过程，其状态空间为：S—｛0,1,2,A,m｝。(2)Q矩阵为：'一m九m九00A0、p-[p+(m-1)九](m-1)九0A0Q=02p-[2p+(m-2)九](m-2)九A0MM00AM<0000mp-mp丿3)令：pj(t)=P忆(t)=j}p(t)二(p(t),p(t),p(t),A,p(t)),月(0)二(1,0,0,A,0)012m写出福克－普朗克方程：dp(t)dtp(0)=(1,0,0,A,0)1x(m+1)(4)画出状态转移率图，可得t*时的平衡方程：m九p=卩p01[(m-1)九+卩]p=m九p+2pp102M[(m-n)兀+np]p=(m-n+1)九p+(n+1)pp[nn-1n+1M九p=mppm-1m£p=1nn=0由此可得：(m-n)九p-(n+1)pp=(m-n+1)九p-npp=A=nn+1n-1nm九p-pp=001即有：(m-n)九p-(n+1)pp=0nn+1n=0,1,2,A,m(m-n)九p=•—•p,n+1(n+1)pn由此可以求得：(m-n+1)(m-n)m(九、=••A•——•—nn-11Ip丿•p=Cn⑴0mIp丿np,0n=0,1,A,m由£p=1，即可确定p，最终得到所要的结果。n0n=0P233/17.解：(1)由于：九=n九+a,p=np(九,p,a>0)nnn=1n=1可以得到此过程的Q矩阵:'-aa000A]—(九+a+H)尢+a00AQ=02H一(2尢+a+2h)2九+a00A00nH一[n(尢+H)+a]n九+aV000丿令：p(t)=P{g(t)=j}j月(t)=(p(t),p(t),p(t),A,p(t),A)012n写出福克－普朗克方程：dp(t)TOC\o"1-5"\h\z=-ap(t)+卩p(t)dto1-Pi⑴=ap(t)一[(九+y)+a]p(t)+2卩p(t)dt012"P2⑴=(九+a)p(t)一[2(九+卩)+a]p(t)+3卩p(t)t,k>k时，有2121(2)任取t,t>0,我们有：12所以Poission过程不是平稳过程。P311/2・解：(1)由Poission过程的性质，任取t,t,t>t假定事件:2121则有：，因此有：(2)由，且f(x,x;t,t)仅与t-1有关，可知是平稳过程。q121221P312/3・解：(1)由均值的定义，我们有：(2)由相关函数的定义，任取，我们可得：P312/4・解：为了解此题，先看下面的引理：引理：设是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：则和Y取不同符号的概率为：引理的证明：令：则有：以上式子用了变换：由：因此只要求：因此有：由于此时：我们即可得到结论。P313/5.证明：由于：故是宽平稳过程。分别取t=0,t=兀14,,贝V,g（t）=zsin©+兀/4），因为具有不同分布，所以g（t）不122满足一级严平稳条件。P314/10・解：样本函数不连续。令：t>t>0，下面求相关函数：21因为：因此该过程是均方连续的随机过程。P314/11・证明：令：，贝有由车比雪夫不等式：P315/13・证明：（1）令：，由上题的结果可知：因此有（2）由相关函数的定义及（1）的结果，有P316/17・解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有：由，可得2）有上面的结果知是一宽平稳过程。令：，，，，不具有相同的分布，所以不是一级严平稳过程。P318/22・解：根据题目给定的条件，有：因为：，因此有：P318/23.解：根据为一平稳过程，则有：，因此有：P318/25.解：由平稳过程相关函数的定义，有：P319/28.解：由题意，我们有：设，则有：令：，则有：，因此有：P319/30.解：（1）由于：因此输入不是平稳的。（2）由计算可得：（3）计算均值函数和相关函数为：因此输出不是平稳的过程。P445/1.解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：当时，因此有：P445/2.解：（3）4）4）P445/3.解：由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/4.解：（1）由于：因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有：（2）由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/5.解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有：其均方值为：P447/7.解：（1）冲激响应为：（2）由6题的结果，我们有：注意到的定义，当或时，，当时，当时，因此有：（3）由6题的结果，令：，有：P447/8・解：由Fourier变换，有：因为：则有：因此有：当时，有131由于：R（1）=一一e3+-e,R（一1）=一e-3，显然，所以不关于工=0对称。切24如4P448/11.证明I:当时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及，取：t=2,t=T,t=0；以及,123我们有：由此可得：即有：因此有：证明II:设此随机过程的功率谱密度函数为，由题意可知S（①）=S（-①），下面用归纳法证明结论：当时，有假设当n=k时，结论成立，即则有：即当n=k+1时，结论成立，由归纳法可知有结论成立。P450/14.解：由样本函数可知，假设S为第i个脉冲到达时刻，则有：i根据：，由我们有：由于因此，当ts时，是平稳过程，且由Fourier变换，可得：P452/16.解：由，且与的独立性及它们的平稳性，有：P452/17.证明：（1）由：由于：因此：由于：，因此输出过程:（t）是平稳过程。（2）由（1）的结果，有：P454/19.解：令，我们有：P454/21.解：（1）取：，则有因此有：（2）由（1）的结果，有：由于：因此有：P561/1・解：只要求矩阵B的逆矩阵即可。我们有：P562/4.解：由求特征函数的公式：我们有：P563/7・解：由的密度函数，我们有：因此有：计算，得：因此是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为，因此变换后的分布密度为由归一化条件可以确定。P562/6・解：由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为：令：则有：（1）计算得：因此有：（2）计算得：对于t次数大于1的那些项，当t二0时，都会变成0,统一记作A（t,t,t），有：ii123对于含有t的那些项，当t二0时，都会变成0,统一记作，则有：ii利用①（0,0,0）=1，可得：（3）先求得：则有：P563/8・解：求边缘分布密度，由于：即服从正态分布，同理也服从正态分布。注意到：我们可以求得随机变量的分布密度为：由全概率公式，我们有：因此，当时，我们有：即：显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此和的线性组合不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知不是二维正态分布。P564/11・解：（1）根据维纳一辛钦定理，我们有:则有故两两不相关，由于是高斯过程，因此它们是独立的。令：则有：因此有：（的联合概率密度为：（2）由于故有：P568/18.解：我们知道，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程是正态过程，且有由公式（见P466例）：我们有：即有：下面计算：当时，有：由于此时当TT8时，有eT2，因此：当时，我们有：因此有：同理可以讨论当和的情形，同样有。由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。P569/23.解：随机微分方程的解为：P569/24.解：将微分方程化成标准形式，有：利用上题的结果，有：由于X0为常数，因此我们有：由于X(t)是正态分布，因此可以写出其一维分布密度为：
浙公网安备 33021202002483