7 4积分与路径无关精编版

?F?ds??P(x,y)dx?Q(x,y)dyLL一般地，第二类曲线积分值是与积分曲线L有关的，具体是指：1.积分曲线的起点与终点；2.积分曲线的路径（形状）；但个别第二类曲线积分只与起点和终点有关，而与积分路径无关。ydx?2xydy引例.计算?，其中L为:L2(1)从点O(0，0)沿上半圆x2+y2=2x到点A(2，0)。(2)从点O(0，0)沿折线y=1-|1-x|到点A(2，0)。(3)从点O(0，0)沿x轴到点A(2，0)。可以算得:(1)?ydx?2xydy2?0L2(2)?ydx?2xydy?0L2yB(3)?ydx?2xydyL?0o1Ax2注意：被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同而积分结果相同!.第二类曲线积分与路径无关？一、曲线积分与路径无关的定义二、平面曲线积分与路径无关的条件三、求原函数四、全微分方程一、曲线积分与路径无关的定义设D是平面开区域，函数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数.如果D内任意两个指定点A,B,以及在D内从点A到点B的任意两条有向曲线L1，L2,恒有：?L1Pdx?Qdy??LPdx?Qdy成立，2则称曲线积分?Pdx?Qdy在D内与路径无关,L问题：在什么条件下，第二类曲线积分与积分路径无关？二平面曲线积分与路径无关的条件定理1设D为平面内的单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D上有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价，(1)沿D内任一闭曲线L，有P(x，y)dx?Q(x，y)dy在D内与积分路径无关；(2)(3)P(x，y)dx+Q(x，y)dy在D内是某一函数u(x，y)的全微分，即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.(4)在D内每一点满足?Q?L?LP(x，y)dx?Q(x，y)dy＝0?P??x?yu(x，y)??P(x，y)dx?Q(x，y)dy 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：求函数(x，y)00(x，y)（M0(x0,y0)为定点，M(x,y)为任意点,且积分与路径无关！）M0NM为积分路径：1.选取YM(x，y)u(x，y)??(x，y)????MNNM00(x，y)P(x，y)dx?Q(x，y)dy??0M0(x0，y0)yN(x,y0)?M0N???P(x，y0)dx,x0xX?NM???Q(x，y)dy,y0?u(x，y)??P(x，y0)dx??Q(x，y)dyx0y0xyM0KM为积分路径：2.选取u(x，y)??(x，y)00(x，y)P(x，y)dx?Q(x，y)dy??xM0K????KM?M0K???yy0Q(x0，y)dy,?KM???P(x，y)dxx0u(x，y)?Y?yy0Q(x0，y)dy＋M(x，y)?xx0P(x，y)dxK(x0,y)M0(x0，y0)X由定理1知：（两个常用结论）设D为单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D内有连续的一阶偏导数，P(x，y)dx?Q(x，y)dy在D内与积分路径无关1、?L?Q?P??x?y2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D内某一函数u(x，y)的全微分，即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.?Q?P??x?y且u(x，y)??(x，y)(x0，y0)P(x，y)dx?Q(x，y)dy（称u(x,y)为P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个原函数）ydx?2xydy引例.计算?，其中L为:L2(1)从点O(0，0)沿上半圆x2+y2=2x到点A(2，0)。(2)从点O(0，0)沿折线y=1-|1-x|到点A(2，0)。(3)从点O(0，0)沿x轴到点A(2，0)。可以算得:(1)?ydx?2xydy2?0L2(2)?ydx?2xydy?0L2yB(3)?ydx?2xydyL?0o1Ax2?Q?P?2y??x?y所以该积分与路径无关例1计算：解：?(0，1)（2,0）(x?y)(dx?dy).?(0,1)（2,0）(x?y)(dx?dy)??(0,1)（2,0）(x?y)dx＋(y?x)dy?Q?P??1??x?yP?x?y,Q＝y-x.与路径无关，故可如图选取路径：?Q?P?由于在整个平面(单连通区域)上均成立，则此积分?x?y原式??(x?y)dx?(y?x)dy???(x?1)dx?033?0??222L1?L2(x?y)dx?(y?x)dy1O?01(y?2)dyL1(2，1)L22xedy?yedx，其中L:x2+xy+y2=1为例2：求L逆时针方向解：?x2?y21?xy?Lxex2?y2dy?ye1?xy1?xydx??xeL1?xydy?ye1?xydxP?ye，Q＝xe1?xy.?Q?P1?xy由在整个平面上均成立，?(1?xy)e??x?y知?xeL1?xydy?ye1?xydx在整个平面上与路径无关??xeLx2?y2dy?ye1?xydx??xeL1?xydy?ye1?xydx?0 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :计算?P(x，y)dx?Q(x，y)dy,L?DL(D为单连通区域，?Q?PP,Q有连续偏导数)若?在D内成立，?x?y则该积分在单连通区域D内与路径无关!1.若L是封闭曲线，且L?D,则?LP(x，y)dx?Q(x，y)dy＝02.若L是未封闭的曲线，可选取简单的路径来计算积分.注意:第二类曲线积分与路径无关的定理要求区域D是单连通的，且函数P(x，y)，Q(x，y)在D内有连续的一阶偏导数，否则结论未必成立。例如：?Lxdy?ydxx?y22（L为简单闭曲线，方向为逆时针，见P186,例3）L?yx22P?22，Q＝2,2(x?y?0)x?yx?y?Qy?x?P22?2?，(x?y?0)?x(x?y2)2?y22所以在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关。即当L不包含原点时，O?Lxdy?ydxx?y22?0当L所围区域D含原点时，P、Q在（0，0）点无意义（如图）。?Lxdy?ydx2??22x?yLO（L方向为逆时针）(x?y)dx?(x?4y)dy例3：求，其中L为从点(1，Lx2?4y2?0)沿上半圆x2+y2=1到点(-1，0)。解：P?x?yx?4y22，Q＝x?4yx?4y22(x?y?0.)22?Q?x2?8xy?4y2?P??在整个平面上除原点外均成立，222(x?4y)?y?x则此积分在不含原点的单连通区域内与路径无关，故可选取新路径：L?:x?4y?1,(y?0)则221L?L(x?y)dx?(x?4y)dyx?4y(x?y)dx?(x?4y)dy22L??11?L?22x?4y??(x?y)dx?(x?4y)dy?L?O1L?:x?cost，y?sint其中t从0到?2?L(x?y)dx?(x?4y)dy?11?[(cost?sint)(?sint)?(cost?2sint)cost]dt022?122??(cost?sint)dt0222??1??dt20L?:x?4y?11????1O2.P(x，y)dx?Q(x，y)dy的方法：计算?L(平面上的第二类曲线积分)方法一:积分与路径无关。??Q?P??需计算及，?x?y方法二:格林公式。??方法三:直接转化为定积分。三、求原函数若存在可微函数u(x,y),使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称u(x,y)是P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个原函数.由定理1知，若P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域D内存在连续的一阶偏导数，则P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D内某一函数u(x，y)的全微分，即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.且?Q?P??x?yu(x，y)??(x，y)00(x，y)P(x，y)dx?Q(x，y)dy（M0(x0,y0)为D内定点，M(x,y)为任意点,且积分与路径无关!）u(x，y)??P(x，y)dx?Q(x，y)dy的方法：求原函数(x，y)00(x，y)（M0(x0,y0)为定点，M(x,y)为任意点,且积分与路径无关！）M0NM为积分路径：1.选取YM(x，y)u(x，y)??(x，y)????MNNM00(x，y)P(x，y)dx?Q(x，y)dy??0M0(x0，y0)yN(x,y0)?M0N???P(x，y0)dx,x0xX?NM???Q(x，y)dy,y0?u(x，y)??P(x，y0)dx??Q(x，y)dyx0y0xyM0KM为积分路径：2.选取u(x，y)??(x，y)00(x，y)P(x，y)dx?Q(x，y)dy??xM0K????KM?M0K???yy0Q(x0，y)dy,?KM???P(x，y)dxx0u(x，y)?Y?yy0Q(x0，y)dy＋M(x，y)?xx0P(x，y)dxK(x0,y)M0(x0，y0)X(x?2xy?2y)dx?(x?4xy)dy在整个xOy面上例4验证222是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。解：P?x?2xy?2y，Q＝-x?4xy.222?Q?P??2x?4y?在整个平面上均成立?x?y故在整个平面上(x?2xy?2y)dx?(x?4xy)dy是某函数u(x,y)的全微分；且u(x，y)?222?x(x，y)(0,0)(x?2xy?2y)dx?(x?4xy)dyy20222??xdx??(x?4xy)dy02(x，y)1322?x?xy?2xy.3O(x，0)四、全微分方程定义如果方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0的左边P?x,y?dx?Q?x,y?dy恰好是某函数u?x,y?的全微分,则称方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0为全微分方程.判别：P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域D若内存在连续的一阶偏导数，则P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0为全微分方程??P?Q?.?y?x求解全微分方程：若P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0为全微分方程,则存在函数u?x,y?,使得du?x,y??P?x,y?dx?Q?x,y?dy?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0与du?x,y??0同解.?u?x,y??C亦是P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0的通解.故求解全微分方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0亦即求P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数u(x,y)。而du?x,y??0的通解为:u?x,y??C(C为任意常数)例5求解微分方程(2x-y2)dx-(2xy+1)dy=0。解：P?2x?y2，Q??2xy?1.?Q?P??2y??x?y故(2x-y2)dx-(2y+1)dy=0是全微分方程；u(x，y)??x0(2x?y)dx?(2xy?1)dy(如图取积分路径)(0,0)y0(x，y)2??2xdx??(2xy?1)dy?x?xy?y则方程的通解：22(x，y)x?xy?y?C22O(x，0)求解全微分方程的步骤：1.判定方程是否为全微分方程?Q?P(?)?x?y2.求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函数u(x，y)；3.写出通解u(x，y)=C；其中u(x，y)??(x，y)(x0，y0)P(x，y)dx?Q(x，y)dy注:有些非全微分方程可以转化为全微分方程.如xdy-ydx=0不是全微分方程，1xy得dy?dx?0而乘以?(x,y)?xyxyxy11即dy?dx?0(全微分方程!)yx即d(lny-lnx)?0,1?(x,y)?称为方程的一个积分因子.xy若一阶常微分方程：P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0不是全微分方程。?(x，y)?0使方程但存在?(x，y)P(x，y)dx??(x，y)Q(x，y)dy?0?(x，y)为方程的积分因子。为全微分方程，则称函数一般来讲，求积分因子的难度较大，在常微分方程中有详细的涉及。2yy1y2练习：证明：I=?[2xy?3f(2)]dx?(2f(2)?x)dy,xxxx在不包含y轴的区域内，积分与路径无关，并计算其L值。其中L为点A(1,2)到点B(2,8)的直线段，f(x)在(0,+?)上有连续的导数。解：2yyP?2xy?3f(2),xx1y2Q?2f(2)?xxx?Q?P1y2yy?2x?23f(2)?5f?(2)?,(x?0)?x?yxxxx故在不包含y轴的区域内,该积分与路径无关?y?2选积分路径L1：,x:1?2??x?x?x?2L2：,y:2?8??y?y2yy1y2I=?[2xy?3f(2)]dx?(2f(2)?x)dyL1?L2xxxx8142y??[4x?3f(2)]dx??(f()?4)dy124xx42?30选积分路径L?：y?2x2起点:x?1,23终点:x?2,412I=?[4x?f(2)?(2f(2)?x)4x]dxxx1233=?[4x?4x]dx=8xdx?30?3112思考题:设f(x)具有连续的导数，且f(?)?1,已知曲线积分y[sinx?f(x)]dx?f(x)dy在右半平面（x?0)内?Lx求：f(x)；与路径无关。1答：f(x)?(C?cosx),xC???1(单元检测题)(x?y)dx?(x?y)dy22例5：验证在右半平面(x>0)上是x?y某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。解：?Q??x?x?2xy?y?P?222?y(x?y)22由于上式在整个平面上除原点外均成立，故(x?y)dx?(x?y)dyx?y22且在右半平面上是某一函数的全微分；u(x，y)??(1，0)(x，y)(x?y)dx?(x?y)dyx?y22如图所示,取积分路径，u(x，y)??(1，0)(x，y)(x?y)dx?(x?y)dyx?y22??x11dx?x?y0x?ydy22x?y(x，y)O1(x，0)y122?lnx?[arctan?lnx?ln(x?y)]x2y122?arctan?ln(x?y)x2?(0)??1，(x)具有连续的导数，且例5设函数?2[xy?y??(x)y]dx?[?(x)?2xy]dy?0.?(x)使方程试确定(见P203例7)为全微分方程，并求其通解。?Q?P?要使方程为全微分方程，只需?x?y即：解：P?xy?y??(x)y，Q＝-?(x)?2xy2??(x)??(x)??x?dxdx?x????(x)?e[C???xedx]?Ce?x?1，?x?(0)??1又，从而C=-2，?(x)??2e?x?1，代入原方程得全微分方程：(y?y?2ye2?x)dx?(2e?x-2xy-1)dy?0.-x于是u(x，y)??(0,0)y0(x，y)(y?y?2ye)dx?(2e?x2?x?x?x?2xy?1)dy(x，y)?0??(2e?x?2xy?1)dy?2ye?x?xy?xy?y?x2O(x，0)则方程的通解：2ye?xy?xy?y?C.2§7.5场论初步一场二向量场的通量与散度三向量场的环流量与旋度一、场若在空间区域V中每一个点,都对应着某个物理量的一个确定的值,则称V中确定了该物理量的一个场.当物理量为数量时,称之为数量场.(如温度场,密度场等)(如力场,流速场等)当物理量为向量时,称之为向量场.二.向量场的通量与散度:设空间区域V内有向量场A(x.y.z)?P(x.y.z)i?Q(x.y.z)j?R(x.y.z)k,(x.y.z)?VS为空间区域V内有向光滑曲面,则称??A?dS???A?n0dSS(n0为S的单位法向量)SA通过S流向指定一侧的通量.为向量场?P?Q?R称??为A的散度,?x?y?z记为divA?P?Q?R??)dVGauss公式:??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(?x?y?zVS即??SA?dS?divAdV???V三.向量场的环流量与旋度:设空间区域V内有向量场A(x.y.z)?P(x.y.z)i?Q(x.y.z)j?R(x.y.z)k,(x.y.z)?VL为空间区域V内有向光滑封闭曲线,(?0为L的单位切向量)则?L?L称?R?Q?P?R?Q?P记为rotA称(?)i?(?)j?(?)k为A的旋度,?y?z?z?x?x?yA?dS?A沿L的环流量.A??0dS为向量场Stokes公式:?LPdx?Qdy?Rdz??R?Q?P?R?Q?P(?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy???y?z?z?x?x?yS可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为：?LA?dS?rotA?dS??S填空题:(2001年考研一)设r?x?y?z,则div(gradr)222(1,?2,2)2?()3xdydz?ydzdx?zdxdyI?P212.4(6)3:计算其中S为曲面2222S(x?y?z)22(y?1)z(x?2)1???(z?0)的上侧。??5169zSS2oS1x2解作辅助面S1：Z=0,222(x?2)(y?1)??1;(x?y?ε)1692取下侧；y2（?为适当小的正数）222作辅助面S2：x?y?z?ε;z?0取下侧；?I?(S?S1?S2?????????S1S2xdydz?ydzdx?zdxdy)(x?y?z)22232由Gauss公式知，zS?S1?S2???xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)22232SS2oS1y?P?Q?R????(??)dv?0?x?y?zV又x??S1xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)22322（S1：z?0)?0zS2:x?y?z?ε;z?0且为下侧2222S??S2xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)S2222321?3εS2oS1xZS2xVxdydz?ydzdx?zdxdyx??222(x?y?ε)取上侧再作辅助面S3：Z=0由Gauss公式得S2?S3S3y??xdydz?ydzdx?zdxdy??3???dv??2??3而??xdydz?ydzdx?zdxdyS3?0???xdydz?ydzdx?zdxdy??2??S23??S2xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)1?3εS222322xdydz?ydzdx?zdxdy??2???I?S?S1?S2?????????S1S2?0?0?(?2?)?2?1.P212,4(2)2.P212,4(6)3.P213,74.P213,8