高一数学必修4第二章综合检测题

第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列等式成立的是(　　)A.eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(NM,\s\up16(→))　　　　　　　B．a·0＝0C．(a·b)c＝a(b·c)D．|a＋b|≤|a|＋|b|[答案]　D2．如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(　　)A．a＝bB．a·b＝1C．a＝－bD．|a|＝|b|[答案]　D[解析]　两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A，C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．3．已知A(1,2)，B(3，－1)，C(3,4)，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))等于(　　)A．11　　　　B．5　　　　C．－1　　　　D．－2[答案]　D4．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，则四边形ABCD是(　　)A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形[答案]　C[解析]　eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))表示eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))模相等，方向相同，AB綊DC.故四边形ABCD是平行四边形．又eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，∴四边形ABCD为矩形．5．在五边形ABCDE中，(如图)，eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→))＝(　　)A.eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\o(AD,\s\up16(→))C.eq\o(BD,\s\up16(→))D.eq\o(BE,\s\up16(→))[答案]　B[解析]　eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).6．若|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－3，则|a＋b|等于(　　)A．23B．34C.eq\r(23)D.eq\r(34)[答案]　D[解析]　|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4－6＋36＝34.7．已知eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，eq\o(OD,\s\up16(→))＝d，且四边形ABCD为矩形，则(　　)A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝0[答案]　B[解析]　eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝a－b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＝d－c，又eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，故a－b＝d－c.8．如下图，M、N分别是AB、AC的一个三等分点，且eq\o(MN,\s\up16(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))成立，则λ＝(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．±eq\f(1,3)[答案]　B[解析]　eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))且eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)).9．与向量a＝(1,1)平行的单位向量为(　　)A．(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))B．(－eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2))C．(±eq\f(\r(2),2)，±eq\f(\r(2),2))D．(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))或(－eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2))[答案]　D[解析]　与a平行的单位向量为±eq\f(a,|a|).10．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为(　　)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)[答案]　C[解析]　a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2.cosθ＝eq\f(1,2)，θ∈[0，π]，故θ＝eq\f(π,3).11．(2012·全国高考浙江卷)设a、b是两个非零向量(　　)A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|[答案]　C[解析]　利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．12．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，a·b<0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角为(　　)A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°[答案]　C[解析]　由a·b<0可知a，b的夹角θ为钝角，又S△ABC＝eq\f(1,2)|a|·|b|sinθ，∴eq\f(1,2)×3×5×sinθ＝eq\f(15,4)，∴sinθ＝eq\f(1,2)⇒θ＝150°.第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝7a－2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是________．[答案]　A，B，D[解析]　eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up16(→)).14．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k等于________．[答案]　－1[解析]　(ka－2b)·a＝0，[k(1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k－4，k＋6)·(1,1)＝0，k－4＋k＋6＝0，∴k＝－1.15．如图，两块斜边长相等的直角三角形拼在一起，若eq\o(AD,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋yeq\o(AC,\s\up16(→))，则x＝________，y＝________.[答案]　eq\f(2＋\r(3),2)　eq\f(\r(3),2)[解析]　连接AE，则AE∥BD，且BD＝eq\r(3)AE，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\r(3)eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\r(3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(\r(3),2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，则eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(\r(3),2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(2＋\r(3),2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(\r(3),2)eq\o(AC,\s\up16(→)).16．关于平面向量a、b、c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[答案]　②[解析]　当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知O、A、B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝0，(1)用eq\o(OA,\s\up16(→))、eq\o(OB,\s\up16(→))表示eq\o(OC,\s\up16(→))；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．[解析]　(1)2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝0，2(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝0.2eq\o(OC,\s\up16(→))－2eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)).(2)如图，eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))．故eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→)).故四边形OCAD为梯形．18．(本题满分12分)已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(AB,\s\up16(→)).求：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)存在平行四边形OABP吗？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(AB,\s\up16(→))＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，即t＝－eq\f(2,3)；若点P在y轴上，只需1＋3t＝0，即t＝－eq\f(1,3)；若点P在第二象限，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0，,2＋3t>0，))解得－eq\f(2,3)