【专题关注】磁聚焦与磁扩散【亮点】发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。【结论】R磁场=R轨迹【借鉴例题】(2012•一中4月模拟)有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图但)所示,平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图(b)所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为Uo，反向值也为Uo，现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点0以平行于金属板方向00/的速度vo=qUoT不断射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为3dmT,不计重力影响。试求：(1)粒子打出电场时位置离0/点的距离围(2)粒子射出电场时的速度大小及方向(3)在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大？*【寒假作业五套卷5-25】(2008•二模)如图4所示的直角坐标系中，在直线x=-2Lo到y轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向,x轴下方的电场方向沿y轴正方向•在电场左边界上A(-2Lo,-Lo)到C(-2L0,0)区域旌续分布着电荷量为+q、质量为m的粒子.从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度vo沿x轴正方向射入电场•若从A点射入的粒子恰好从y轴上的A(0,Lo),沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图中虚线所示.不计粒子的重力及粒子间的相互作用•求：（1）求匀强电场的电场强度E;（2）求在AC间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x轴正方向运动？⑶若以直线x=2L0上的某点为圆心的圆形区域,分布着垂直于xoy平面向里的匀强磁场,使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2L0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？x=2Lo图4【寒假作业十套卷7-25】如图所示，半径为R,圆心在C点的圆有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆与x轴相切于A，A处有一粒子源，可以释放出质量为m、电荷量为q且速率相同的带正电粒子，粒子射入磁场时的速度方向与磁场垂直且被限定在以AC为中心左右各30。角的围。已知沿AC方向射入磁场的粒子，穿出磁场时的方向与y轴垂直。（1）求粒子射入磁场时的速率。（2）所有粒子穿出磁场后经过y轴时的最大及最小纵坐标值。（3）在y轴右侧加一与y轴平行的匀强电场，所有粒子经过x轴时的区域长度与经过y轴时的区域长度相同,求所加电场的大小和方向。、【补充练习1】如图所示，一半径为r的垂直纸面向外的圆形匀强磁场B，圆心Oi,OOi=r，在纸面从0点向x轴上方各个方向发射出速率为v、质量为m、电量为q的带正电粒子(不计重力)，已知速率v满足v=qBr/m。问所有从磁场边界射出的粒子的速度有何特征?【补充练习2】(2009•如图所示，在xoy平面有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆还有与xoy平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正向发射出一束具有相同质量m、电荷量q和速度v的正电微粒。微粒分布在0
0一侧沿Oxy平面的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v，质量均是m，电荷量均是q。有人设计了一方向垂直于Oxy平面,磁感应大小为B的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正向运动。试求出此边界的方程，并画出此边界线的示意图。【例1参考
答案
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】解析：(1)用Q表示极板电荷量的大小,地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则q表示碰后小球电荷量的大小.要使小球能不停Eq^>mg其中q=aQ由以上三式有Q=CE.以ai表示其加速度，ti表示从A板到B板所用的时间，则有+mg=ma1⑤12d=2a£2当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a2表示其加速度，t2表示从B板c到A板所用的时间，则有q--mg=ma2⑦12d=2a2t2小球往返一次共用时间为(tl+t2),故小球在T时间往返的次数n=t7+tl由以上关系式得小球往返一次通过的电量为2q,在T时间通过电源的总电量Q=2qn(11)由以上两式可得:2ac—2md2aC-+mgd2md2aCs2—mgd20•解析：据U-t(1)当粒子由t图象可作出v-t图象如下图所示，由图象可知:nT时刻进入电场，向下侧移最大，则quo2dm2T3quo2TTdm33qu02dm37qUoT218dm当粒子由tnT红时刻进入电场,3向上侧移最大,则s2quo2dmquoT18dm在距离22O/中点下方7qUoT至上方围有粒子打出。18dm18dm(2)打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为vy严dmUoqT3dm(2)当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动2U°qT3dmf所以打出速度大小为vJv：v：'(U^qT)2(匕述)2\3dm3dm设速度方向与V0的夹角为9,则tanvVx即9=45x轴从C点进入磁场,轴正方向【练2参考答案】解：（1）带电粒子平行于设电场强度大小为E，由，可得，方向沿y带电微粒进入磁场后，将做圆周运动，且r=R，如图甲所示，设磁感应强度大小为由，得，方向垂直于纸面向外（2）这束带电微粒都通过坐标原点方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图乙所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图乙的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为O'点的连线与y轴的夹角为9,其圆心Q的坐标为（-Rsin为得x=0,y=0或x=-Rsin9,y=R（1+cos9）（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0带电微粒在磁场中经过一段半径为r'的圆弧运动后，将在y线运动，如图丙所示。靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与x轴相交的区域围是x>0-e-0—电微粒所受重力和电场力平衡。甲乙R的匀速圆周运动。如图乙所示，高P点与，RCOS…9）圆周■运动轨迹方程!Vx轴正方向同的右方（后会射向x>0）的区域离场并做匀速直穷远处，靠近N【练3参考答案】解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力①应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a按照牛顿定律有②联立①②式得③（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为9（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示图中，圆的圆心为0，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标为这意味着，在围，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为【作业1参考答案】孵：（1）谩川a直射入的粒子由孔点到k必餉运动时闾列粮採运幼轨迹的対威称性可得:TOC\o"1-5"\h\z兀方向有；2L[i=vQtI#t=①y方向有：n僭2m22mv^解谓E=0®如0也0即从AC间入射的粒子寿超电场区诫的时间>匀强电场的电场强嗟E的尢小为VQ（2）设到C点距离芮丛y处射出的粒子通过电场后也沿k轴正方向，粒子第一次到达亲输用时水耳分位移△紆TOC\o"1-5"\h\z鳴△沪刊止t空A（At⑤2m要粒子从电场中射出时速度方向也沿注轴正方向，疤颁蒜罡杀件210=n-2A3（n=l-龙，3-）©联立解得：Ay=4;Z0©故粒子汕电场中射出时淒愷方向也沿貰釉正方向，必须是在AC闾纵坐标为：7=（-1）n（竝二1，2，3*"）®（3）^n=l时I粒子射出的坐标为71=10®当”2时*粒子肘出的坐标为君“空迴4当n>30i，沿工軸正方向射岀的魅子孙布在汨到卩2之间（如图断示）・之间壮當対^-=y1-72=—（11】4所以，晞场圆州的最小半轻弘*迥（12）上S若使粒子坯讎场后茫集于1^210与團形灌场丈畀的一个交点，分祈知就点只競是答匱中的Q点，弓養子在睡场中粒團周运动的半徑等于躍坳懐悼馆丰桧.Sravn联立:ii)得：班——位盍的觀子•憧过电畅后也襁甑轴正戸直运亦朽：砥场区牺的最小半廉星迢，相应的嶺匾应強度B是沁，S5qLq【练4参考答案】15•参考解答：先设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界.考察从粒子源发出的速率为V、方向与x轴夹角为0的粒子，在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O,且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R，有qvB2vm一R(1)得mvRqB⑵圆轨道的圆心离为R，如图点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿O'在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距1所示•通过圆心O'作平行于y轴的直线与圆轨道交于x轴正方向，故P点就在磁场P点的位置不同，所有P点的坐标为(3)⑷区域的边界上.对于不同人射方向的粒子，对应的这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线.x=—Rsin0y=一R+Rcos0这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数x2+(y+R)2=R2由(2)、(5)式得0,2/mv、2x(ymv)22mv~2qbF■・•*Tt••*.◎■«ft*A43■■这是半径为R圆心O'的坐标为的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图2所示x2(y晋)2qB若磁场方向垂直于xyx2+(y—R)2=R2(ymv)2qB)证明同前22mv22qb面向外,则磁场的边界线为如图3示的半圆，磁场区域的边界线的方程为(8)
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