最新1995考研数二真题及解析

学习-----好资料更多精品文档1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)1TOC\o"1-5"\h\z(1)设y=cos(xox(x-1)(2-x)dx⑶设f(x)在(二)内可导，且对任意x1,x2,当x1x2时，都有f(xj•f(x2),则()(A)对任意x,f(x)0(B)对任意x,f(-x)乞0(C)函数f(-x)单调增加(D)函数-f(-x)单调增加(4)设函数f(x)在［0,1］上f(x)0,则f(1)f(0)、f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小)sin2—,贝Uy"=.x⑵微分方程y'y--2x的通解为.lx=1t2⑶曲线3在t=2处的切线方程为.[y=t⑷lim(^^,L)=.Yn2+n+1n2+n+2n2+n+n22⑸曲线y二x2e丄的渐近线方程为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设f(x)和(x)在(」：，•：：)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)=O「(x)有间断点则()(A)[f(x)]必有间断点(B)[(x)]2必有间断点(C)f[(x)]必有间断点(D)Z(x)(x)必有间断点f(x)TOC\o"1-5"\h\z⑵曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形的面积可表示为()2-0x(x-1)(2-x)dx12ox(x-1)(2-x)dx-”x(x-1)(2-x)dx12-ox(x-1)(2-x)dx十x(x-1)(2-x)dx顺序是()(A)f(1).f(0).f(1)_f(0)(B)f(1).f(1)_f(0).f(0)(C)f(1)—f(0)•f(1)•f(0)(D)f(1)•f(0)一f(1)•f(0)(5)设f(x)可导,F(x)二f(x)(1|sinx|),若使F(x)在x=0处可导,则必有()(A)f(0)=0(B)f(0)=0(C)f(0)f(0)=0(D)f(0)—f(0)=0三、(本题共6小题,每小题5分，满分30分.)(1)求lim1"Sxx)0x(1-cos.,x)⑵设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey确定,其中f具有二阶导数,且f"工1,求d-2dx2⑶设f(x2-1)=l,且f[(x)^lnx,求(x)dx.x2—2⑷设f(x)=xarctar^x",试讨论f⑴在x=0处的连续性.I0,x=0,!x=1-cost求摆线一拱(0乞t乞2)的弧长.=t—sint设单位质点在水平面内作直线运动，初速度Vt=0=V0,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为y?并求到此时刻该质点所经过的路程3四、(本题满分8分)x2t求函数f(x)(2-t)edt的最大值和最小值五、(本题满分8分)设y二ex是微分方程x/p(x)y二x的一个解，求此微分方程满足条件y%出2二0的特六、(本题满分8分)如图，设曲线L的方程为y二f(x),且y“.0,又MT,MP分别为该曲线在点3(1+v"2)2M(Xo,Vo)处的切线和法线，已知线段MP的长度为—(其中Vo二V(xo),VV^y(xo)),试推导出点P(,)的坐标表达式.七、(本题满分8分)设f(X)=xsinto蔥_tdt,计算of(x)dx.八、(本题满分8分)--_-=1,且f(x)O,证明1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)1cos(x2)sin—(1)TOC\o"1-5"\h\z【答案】—2xsin(x2)sin2—2xxx【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成，满足复合函数求导法则22122y=cos(x)Isin—+cos(x)isin-x2212111--sin(x2)2xsin2cos(x2)2sincos(-1)二xxxx1cos(x2)sin2--2xsin(x2)sin22x.xx【相关知识点】复合函数求导法则：y二(f(x))的导数为、二(f(x))f(x).(2)【答案】y=gcosxc?sinx-2x【解析】微分方程y：y二-2x对应的齐次方程y：y=0的特征方程为r2•1=0,特征根为R2=±i,故对应齐次方程的通解为C1cosx+C2sinx.设非齐次方程的特解丫二ax5,则YJa,Y'=0,代入微分方程y；y--2x,得0axb=-2x,比较系数得a=「2,b=0,故Y=-2x.所以通解为y=GcosxC2sinx-2x.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程y'P(x)y■Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程yP(x)/Q(x)^0的通解，则y二丫(x)•y*(x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即y'P(x)y、Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为9py'qy=0.其特征方程写为rpr0,在复数域内解出两个特征根口，鸟；分三种情况：(1)两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y二Ge^⑷【答案】丄•C2erg两个相等的实数根r^r2,则通解为y=G•C2xerXl;—对共轭复根ri,2=〉i-,则通解为y=exCicos1x•C2sin一：x.其中G,C2为常数•3.对于求解二阶线性非齐次方程y'P(x)y：Q(x)y二f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法，有结论如下：■*k■如果f(x)=Pm(X)e九,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(X)=XQm(x)*的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式，而k按•不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)=e/x[P|(x)cos豹X+Pn(x)sincox],则二阶常系数非齐次线性微分方程yp(x)y'q(x)y二f(x)的特解可设为y=xke'x[R^x)coscox+瓷)(x)sin^x],其中Rm)(x)与R^)(x)是m次多项式，m=max^l,n},而k按X+i灼(或九—i时)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.⑶【答案】y-3x7=0【解析】切线的斜率为dydx=_dt3t1—吕7dx2tt=22=3.t=2dt当t=2时，x=5,y=8.故所求切线方程为y-8=3(x-5).化简得y-3x7=0.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:如果"'(t)则鱼=也y=(t)dx(t)ann2n1-—2--nn2nnnnn2nn1>——2nnnn2nn+川+学习-----好资料1更多精品文档所以an2nnn1ann21n1n22nn1n22n2nn1,2=-:::limannl:+lll+n2nn2n}(n利)1n2n:：:lim1=1n—.22limn—「2n22一1由夹逼准则，得liman.即2lim(21厂jnn1nn2)=1⑸【答案】y=0【解析】函数y2_x=xe的定义域为全体实数2limy=limxexx—L:去=0,所以曲线只有一条水平渐近线y=0.f(x),则【相关知识点】铅直渐近线：如函数y=f(X)在其间断点X=x0处有limX>x。x=X。是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线：当limf(x)二a(a为常数),则y=a为函数的水平渐近线.xL:二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】方法一：反证法，利用连续函数的性质，即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.申()9()设函数一凶无间断点，因为f(x)是连续函数，则(x)凶f(x)必无间断点，这与f(x)f(x)(x)有间断点矛盾，故应选择(D).方法二：排除法，举出反例排除f(xr1,(x::x：0,X-0,学习-----好资料更多精品文档则［f(X)］三1,f［“X)］三1,［：(x)］2三1都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D).⑵【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有D222j0X(x—1)(2—x)dx=Lx(x—1)(2—x)dx12=「j0x(x-1)(2-x)dx/(x-ld-xldx应选择(C).方法二：画出曲线y=x(x-1)(2-x)的草图，所求面积为图中两面积之和12-.0x(x-1)(2-x)dx彳x(x-1)(2-x)dx,故应选(C).(3)【答案】(D)【解析】因为对任意x(,x2,当x-1x2时，-论：：：必，则函数f(-xj::：f(-x2),即-f(—Xj$—f(—'X?),故―f(-x)是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令f(x)=x3,则对任意X1,X2,当X1X2时，都有f(X1)•f(X2),但f(0)=3x2L=0,2f(-x)=3(-x)-0,f(~x)=-X,在其定义域内单调减少故排除(A)(B)(C).⑷【答案】(B)【解析】由f(x).0可知f(x)在区间［0,1］上为严格的单调递增函数，故f(1)f(x)f(0),(0：：x：：1)由微分中值定理，f(1)-f(0)=f「),(0「：：：1).所以f(1)f⑴一f(0)=f()f(0),(0:：:：1)应选择(B).⑸【答案】(A)【解析】函数f(X)在X二X。处可导的充分必要条件是f」X0)与f.(X0)存在且相等由于F(xHf(X)f(X)|sinx|,而f(x)可导，所以F(x)在x=0处可导等价于f(x)|sinx|在x=0可导.令(x)二f(x)|sinx|,则(0)=lim竺沁彳T+x「(0)-limf(x)lsinx|I._T一xf(x)sinx=1叫f(0),..f(x)sinx---limf(0),x)0「x于是要使F(x)在x=0处可导,当且仅当-f(O)=f(O),即f(0)=0.故选择(A).三、(本题共6小题，每小题5分,满分30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算，即当x>0时，sinx[_x.2i2X原于「1-cosx11「2sin2原式=limlim一x」x(1_cosVx)1+Jcosx272xsi£Jxxi22厂=-lim2—2K2x⑵【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数方法一：将方程两边对x求导，得f(y)-xef(y)f(y)y=eyf(y)ey-xf(y)ef(y)将xef(y)=ey代入并化简，得y1x(1-f(y))两边再对x求导，得-0-〔x(1-f(y))l-〔(1-f(y))x(-f(y)y)ly--R(1—f(y))f[x(1_f(y))f_1+yf"(y)xx2(1-f(y))x2〔(1-f(y))3方法二：方程两边先取对数再对x求导.(1-f(y))x〔(1-f(y))厂1x(1-f(y))代入并化简得求导得因为f21,所以八x(1-f(y))以下同方法【相关知识点】复合函数求导法则：讨仝*f(x))的导数为y''hF:,：(f(x))f(x).⑶【解析】首先应求出(X)的表达式•由22Xf(x-1)=lnrlnx-2x2-11x2-1-1令x2-1=t,得f(t)=1n^1.又t-1护(x)+1f["lnih(x)1则—1(x)-1X+1=X.解得(x^-因此X—1x+12厚(x)dx=J——dx=心+——)dx=x+2lnx—1■X_1X_1(4)【解析】函数f(X)在X二X。处的导函数连续的充分必要条件是f_(X。)与「(X。)存在且必与f(X。)相等.1当x=0时，f(x)二arctan飞x空4,由于1X412x2limf(x)=limf(x^limf(x)=limarcta1X4f(x)1二limarctan—2x「ox^xx)ox2所以iimf(X)二』mf(X)二f(0).f(0^limf(^)砂=limxTx-0T故f(x)在x=0处连续.(5)【解析】由弧微分公式得所以jiji=—-0-—22ds=,〔x(t)丨ly(t)fdt二.sin21(1-cost)2dt「2(1-cost)dt,乙■'2s=o；2(1-cost)dt二0sin—2tdt=2Jr2sin’dt11=4cos4(-1-1)=8.12一。'丿(6)【解析】设质点的运动速度为v(t),由题设，阻力为—v(t),按牛顿第二定律有其中质量m=1,即①二-v(t).dt这是简单变量可分离的微分方程，解之得v(t)二Ce」.另有初始条件v(0)=v0,得v(t)二voe'.当此质点的速度为v°时,有也二we"1,得t=ln3.TOC\o"1-5"\h\z33到此时刻该质点所经过的路程为In3-」屮3(12S=J0v0edt=-v0e]0=—v03j丿=§v0.四、(本题满分8分)x2t【解析】对函数f(x)(2-t)edt两边求导并令f(X)=0,得2x2f(x)=2x(2-X2)e=0,解得驻点X=0,Xht柩.由于「(x)>0,「(x)c0,「(x)>0,f(x)7：x_、2,-、2x0,0x：、2,■.2x：：,f(x)严格单调增,f(x)严格单调减,f(x)严格单调增,f(x)严格单调减,所以f(i、2),f('、2)为函数f(x)的极大值点，f(0)为函数f(x)的极小值点，且f(土临=f(2-t)e」dt=-(2-t)e」2-fe'dtR+e',0丄f(0H0(2-t)edt=0,又f(x)=!i_mf(x)=讥(2-t)e^dt=-(2-t)e'：-广e'dt=1,所以f(-2)=1e^为函数f(x)最大值，f(0)=0为函数f(x)的最小值.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：舟：ftdt"x：x—f：x：x•五、（本题满分8分）【解析】把y二ex和y丄ex代入所给的一阶线性微分方程，得xexp(x)ex=x,解得p（x）=xe」-x.线性方程被确定为xy'（xe」-x）y=x,即y（e」-1）y"这是一阶线性非齐次微分方程，通解为_(e丄J)dx=e(f|(e」4)dx!edxCx_xr_e••.xe••xdx+C)=e_e—dxCee-1如=eiie」-dxC再由=e"x(e"C)=exCe"xyx=ln21ln2en22=0得eCe=0,即C=-e2故所求的特解为y二ex-e"近【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程¥p（x）y二q（x）的通解公式为：—P(x)dxy=e(.q(x)ep(x)dxJdx+C),其中C为常数.六、（本题满分8分）【解析】要求点P的坐标，也就是说，要用x0,y0,y0,y0,表示出,.由MP=(1+y02『/yo：有「-Xo）2（—y。）—丄纶y。又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系，知-X。-yo把②式,即「一X。）--y°（-y。）代入①消去,得到2222(-yo)=(1yo)/y。,由y".o,知曲线是向上凹的，容易看出.y0,所以③可化为yo于是得E=Xo—£(1+yo2),!y;二yo•—.(1•y。2).yo七、（本题满分8分）【解析】方法一：这是一个积分上限函数求定积分由于因而由分部积分法和2yo(1yo)sinx■-xf(0)=o^dt=O,有」o兀_tf(x)dxf(x)d(xoon二o(二_x)方法二：对于二重积分jio其中,可以考虑用定积分的分部积分法TTt兀)=f(x)(x_兀)o+f(x)(兀-x)dxsinx■:|dxsinxdx=一cosxL=2-.oo-xoof(x)dx=o].；凹tdtdx,可以通过变换积分次序来求解ixsintif(x)dx—dtdx「_tsintdtdx,D二「（x,t）O^x乞二，0空t—xl=「（x,t）O^t汀，t沁乞二I于是■:■:■:sint二sint■:■:of(x)dx=.o^.。二叫处异臥卄2.八、(本题满分【解析】由于limf(X)=1,所以必有f(0)=0,且J0x=lim竺1.x-0x—0xf(°)=四f(X)-f(0)证法一：用函数单调性证明不等式.(X)=f(x)—X,「(x)二f(X)二f(x)_f(0).由于f(X).0,所以函数f(x)单调增加,y(x)=f〔X)—f'(0)>0,x>0,「(x)二f(x)-f(0)：：0,x：：0,:(X)在x=0由负变正，所以x=0是(X)的极小值点也是最小值点(x)二f(x)-x_(0)=f(0)-0=0,即f(x)_x.证法二：用泰勒公式.11f(x)=f(0)f(0)xf()x2=xf()x2.因为f(X)0,所以-f()X^0.2所以f(x)=X1f()x2_X.1+厂(y)方程两边取对数得lnxf(y)=y,