平移与旋转压轴题

平移与旋转压轴题1.正方形ABCD中，点E、F分别是边ADAB的中点，连接EF.如图1,若点G是边BC的中点，连接FG贝UEF与FG关系为：；如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转900，得到线段FQ,连接EQ请猜想EF、EQBP三者之间的数量关系，并证明你的结论；若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQBP三者之间的数量关系：【）BEMlEB2）中的作法，请在图3中补全图形，并直EPB图22.在Rt△ABC中，/ACB=90，/A=30°,点D是AB的中点，DELBC,垂足为点E,连接CD（1）如图1（2）如图2D逆时针旋转明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照接写出DEBF、BP三者之间的数量关系.DE与BC的数量关系是;若P是线段CB上一动点（点P不与点BC重合），连接DP,将线段DP绕点60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DEBF、BP三者之间的数量关系，并证3.如图1,在厶ABC中，/A=36°,AB=AC/ABC的平分线BE交AC于E.（备用图）(1)(2)144°(3)求证：AE=BC如图（2）,过点）得到△AE'F'在（2）的旋转过程中是否存在E作EF//BC交AB于卩，将厶AEF绕点A逆时针旋转角，连结CE，BF',求证：CE=BF;CE//AB?若存在，求出相应的旋转角（O°VaV；若不存在,请说明理由.4•在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线I上，如图1他连结他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；他将正方形ODEF绕0点逆时针旋转，使点E旋转至直线I上，如图3,请你求出CF的长.ABC5•某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板与AFE按如图(1)所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角a(O°VaV90°如图(2),AE与BC交于点MAC与EF交于点NBC与EF交于点P.求证：AM=AN当旋转角a=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.6.如图，在Rt△ABC中，/C=90，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P'）,当AP旋转至AP丄AB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PE丄AC于点E.CP3l（3）（相似）当--,B—5时，求线段AB的长.47（三角函数）•如图1在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0,4）,点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABDJAJ」—1y<■-«■!0圉1A圍2（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（.3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；P的坐标；若（3）是否存在点卩，使厶OPD的面积等于—?若存在，请求出符合条件的点不存在，请说明理由.&操作发现，将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.问题解决ABC的斜边与含30BF上,AC与BD交于点求证：△CDO是等腰三角形;若DF=8求AD的长.将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在9.如图〔，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，DF分别在ABAC边上,此时BD=CFBD丄CF成立。ADBAS(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转0(0°<0<90°)时，如图2,BD=CF成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G。求证：BD丄CF。在(2)小题的条件下，AC与BG的交点为M当AB=4,AD时，求线段CM的长。10、已知：正方形ABCDh/MAN45°,ZMAt绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBD（或它们的延长线）于点MN.当/MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN=MN（1）当/MAN绕点A旋转到B昨DN时（如图2）,线段BMDN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.（2）当/MAt绕点A旋转到如图3的位置时，线段关系？并说明理由.图1BMDN和MN之间又有怎样的数量A顺时针旋转90°后得到矩形11、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点AMEF（如图甲），连结BDMF若此时他测得BD=8cm/ADE=30°.⑴试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；⑵小红同学用剪刀将△BCDM^MEF剪去，与小亮同学继续探究•他们将厶ABD绕点A顺时针旋转得△ABD,AD交FM于点K（如图乙），设旋转角为卩（0°v卩v90°）,当厶AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角卩的度数；EF图乙12、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，BD90°,ADCD。思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板拼成一个正方形。”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。13.如图14-1,△ABC的边BC在直线I上，ACBC，且ACBC；△EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EFFP.在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；将厶EFP沿直线I向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP,BQ•猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想;(3)将厶EFP沿直线I向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ•你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.A(E)图14-2图14-314.如图23-127所示，在平面内直线I上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30°.(1)将厶ECD沿着直线AC翻折到如图23—128(1)所示的位置，ED'与AB相交于点F,求证AF=FD；⑵将厶ECD沿直线I向左平移到如图23—128(2)所示的位置，使E点落在AB上，记为E',求出平移的距离；⑶将厶ECD绕点C逆时针方向旋转到如图23—128(3)所示的位置，使得点E落在AB上，记为点E',求出旋转角的度数.平移与旋转压轴题答案1解：(1垂直且相等。(2)EF、EQBP三者之间的数量关系为：EFJ2BPEQ证明如下:如图，取BC的中点G,连接FG由(1)得EF=FGEF丄FG根据旋转的性质，FP=FQ/PFQ=90。•••/GFP玄GFE-ZEFP=90—/EFP,/EFQ=ZPFQ-/EFP=90—ZEFP。•••/GFP玄EFQ在厶FQE和厶FPG中，TEF=GFZEFQZGFP•△FQE^AFPG(SAS。•-EQ=GP•••EFGF2BG2BPGP2BPFQ=FP,EQ。CD(3)补图如下，F、EQBP三者之间的数量关系为：DMD2、解：(1)DE=「kBCoB・叭F根据旋转的性质得到ZPDF=60,DP=DF易得ZCDPZBDF,根据“SAS可判断△DCPDBF,贝UCP=BF禾U用CP=BGBP,DE二BC可得至UBF+BP^^-3DE;23补全图形如图，DEBF、BP三者之间的数量关系为BF-BP^^-3DE=33、解：(1)证明：TAB=BCZA=36°,ABC*C=72。又•••BE平分ZABC•••/ABE玄CBE=36。•ZBEC=180-ZC-ZCBE=72o「.ZABE=/A,ZBEC玄C•AE=BEBE=BC•AE=BC(2)证明：tAC=AB且EF//BC,•AE=AF由旋转的性质可知：ZE'AC=ZF'ABAE'=AF',ABACt在△。人匚和厶BAF中，FABEAC,AFAE•△CAE◎△BAFo•CE=BF'。(3)存在CE//AB由(1)可知AE=BC所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,过点C且与AB平行的直线I交于MN两点，E点经过的路径(圆弧)与如图：①当点E的像E'与点M重合时，则四边形ZBAMZABC=72，又/BAC=36。a=ZCAM=36o②当点E的像E'与点N重合时，ABCM为等腰梯形,由AB//l得，/AMNMBAM=72,•/AM=AN「・/ANMNAMN=7°。•••/MAN=18°-2X72°=36°。•••a=/CAN/CAM#MAN=7°。•当旋转角为36°或72°时，CE//ABo4、解：(1)AD=CF理由如下：在正方形ABC和正方形ODEF中，TAO=CQOD=OF/AOC#DOF=90,•••/AOC#COD#DOF#COD即/AOD#COF在厶AOD和厶COF中，TAO=CO#AOD#COFOD=OF△AOD^ACOF(SAS。AD=CF(2)与(1)同理求出CF=AD如图，连接DF交OE于G,贝UDF丄OEDG=OG=OE2•••正方形ODEF的边长为.2,•OE=「2X2=2。1DG=OG=OE=—X2=1o2AG=AO+OG=3+1=4在Rt△ADG中，AD.AG2―DG^.4212.17,•CF=AD=17o5、解：（1）证明：•••用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角a（0°VaV90°）,•AB=AF,/BAM#FANFANBAMA•••在△ABM和厶AFN中，ABAF,BF△ABM^AAFN(ASA。AM=AN当旋转角a=30°时，四边形ABPF是菱形。理由如下:连接AP,T/a=30°,•/FAN=30o•/FAB=120。•//B=60°,「.AF/BP。•/F=/FPC=60。•/FPC=/B=60°o•AB//FPo•四边形ABPF是平行四边形。tAB=AF,•平行四边形ABPF是菱形。•直线AB的解析式是y94。6、解：(1证明：TAP是AP旋转得到，•••AP=AP°「./APP=ZAPP。•••/C=90,AP丄AB,：/CBP+ZBPC=9)°,/ABP+7APP=90。又•••/BPC/APP(对顶角相等)。•/CBP=/ABF。(2)证明：如图，过点P作PD丄AB于D,•//CBP玄ABP,/C=90,•CP=DP•/P'E丄ACEAP+/APE=90°。又•••/PAD/EAP=90°,•••/PAD玄APE。在^APD和厶P'AE中，PADAPEADPPEA900,APAP•△APD^AP'AE(AAS。•-AE=DP.•AE=CP(3)TC?PE3—,•••设CP=3kPE=2k,贝UAE=CP=3KAP'=AP=3k+2k=5k。2在Rt△AEP中,22PE5k3k4k,P'E±AC,CBP+/BPC=90,/EPP+/P'PE=90。(对顶角相等)，•/CBP=/P'P吕C=90,•//BPC玄EPP又•••/BAP=/P'EP=90,•△ABPEPPPA.»1"o—PAAB。2k2•.AB空。即ABPEPE4k在Rt△ABP中，AB2222PABP，即AB21AB24解得AB=107、解：(1)如答图1,过点B作BE丄y轴于点E,由已知得：BF=OE=2•OFJ42222J5。•点B的坐标是(23,2)o设直线AB的解析式是y=kx+b(kz0)，则有作BF丄x轴于点F。3，(2)•••△ABD由△AOP旋转得到，•••△ABD^AAOP•••AP=AD/DAB玄PAO•••/DAP玄BAO=60o•△ADP是等边三角形。•DPAP43t32.3$19o如答图2，过点D作DHLx轴于点H,延长EB交DH于点G贝UBGLDH在Rt△BDG中，/BGD=90,/DBG=60,①当t>0时，如答图2,BD=OP=tDG」t,•DH=2+-?to22—1-.DG=BDsin60°=322•BG=BDcos60°=丽_2••OH=EG=^.3,DH=7o225l7•••点D的坐标为(,-)o22（3）存在。假设存在点P,在它的运动过程中，使△OPD的面积等于3。设点P为（t，0）,下面分三种情况讨论:解得ti,t22i32.3•••点Pi的坐标为（二1②•••当D在x轴上时，如答图3,根据锐角三角函数求出BD=OP心3•••当UVt<0时，如答图1,343BD=°2t，DG=〒，•GH=BF=2-(—t)2=2+2o21t22-^t，解得ti243，•••点P2的坐标为（0），点P3的坐标为（4,BD=OP-t，DG=③当t<时，如答图3DH=2-2。2•••△OPD的面积等于-I,4•1t2三t虫，解得J-JLW,t2亘（舍去）。2241323•••点P4的坐标为（，2123,0）。3综上所述，点P的坐标分别为P（阿2歯,o）、比（昼,0）、R（^3,0）、3P4（2123,0）。38、解；（1）证明：由图①知BC=DEBDC=/BCD•••/DEF=30，•/BDC/BCD=75。•••/ACB=45，•/DOC=30+45°=75°。•/DOC/BDCCDC是等腰三角形。（2）作AGLBC,垂足为点在Rt△DHF中，/F=60°,在Rt△BDF中，/F=60°,G,DH!BF,垂足为点H,DF=8•DH=43,HF=4DF=8•-DB=83,BF=16o•BC=BD=83。•/AG丄BC,/ABC=45,•BG=AG=43。二AG=DH•/AG//DH•四边形AGHE为矩形。•AD=GH=B-BG-HF=16-43-4=12-43。9、解：(1)BD=CF成立。理由如下：•••△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，•••AB=ACAD=AF，/BAC玄DAF=90。•••/BAD玄BAC-ZDAC/CAF=/DAF-ZDACBAD玄CAR在厶BAD和厶CAF中，TAB=ACZBADZCAF,△BAD^ACAF(SAS。•BD=CF证明：•••△BAD^ACAF(已证)，•/ABMZGCM又tZBMAZCMG・」BMA^ACMGZBGCZBAC=90。二BD丄CF。过点F作FN丄AC于点N。GF•••在正方形ADEF中,AD=DE亍AN=FN=AE=。•••在等腰直角△ABC中，AB=4,CN=AC-AN=3。•••在Rt△FCN中，，在Rt△ABM中,。AM=•-CM=A&AM=4~o