极值点偏移1

极值点偏移1-4-第2招--含 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1,x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1.已知函数f(x)x1x22.x,xae有两个不同的零点Xi,X2,求证:不妨设X1x2，记txix2，则t0,et因此只要 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :teet12t"et10,再次换元令1,lnx，即证lnxW0,X(1,)x1构造新函数F(x)Inx2(X1,F(1)0x1求导F(x)所以F(x)0,因此原不等式x1x22获证.2(X1)20，得F(x)在(1,)上递增,X(x1)x(x1)x〔x2-■lnx1ax10,lnx2ax20,ln为lnx2a(x〔x2),lnx1lnx2a(x1x2),lnx1lnx2••——1a,欲证明_2e,即证lnx1lnx22.x〔X2-■lnx1lnx2a(x1x2),即证ax〔X2原命题等价于证明lnx1lnx2x1x2X1X2'即证：ln也x22(x〔x2)，令t丑,(tX1X2X21),构造g(t)lnt2(t1),tt11,此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数:lnx1aXiInx2x2lnx2lnx1,设x〔x2,txix2,,i),xi,(t则x2tx1,反解出：InIntx1tlntInx1Inlnt」x1,lnx2t1虹t,xilntx1lntlnxilntlnttlnttiti故x1x2e;lnx1lnx22」lnt2,转化成法二，下同，略t1X1X2.★例3.已知X1,X2是函数f(X)eXaX的两个零点,(1)求证:Xi(2)求证：X|x21.⑵要证：X1X2X1X2ee2~aXieX2、X2X2X1,e2e、2()，X2X1X1X2也即ee(eX2e")2X2(X2X1)2eX2X1(e^r-1)21令ty,tX1)X2X1等价于—7(et0),也等价于te!et0),等价于即证:tte"et10令h(t)tte2et1(t0)，则h(t)te，ite又令(t)°),(t)0,(t)在(0,)单调递减,(t)(0)0,从而h(t)0,h(t)在(0,)单调递减，h(t)h(0)0,即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数a,得到一个关于x1,X2的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不X1—ae.KS5UKS5UKS5U]X2等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式★例4.已知函数aX,f(X)xe(a0)，右存在为*(冷X2)，使f(X〔)f(X2)0，求证:再证:丑ae.X2TOC\o"1-5"\h\z..x1aX1aX1.一二Z，x2ax2Inx2而0x1ex2,Inx21•-次西兰ae.证毕.x2Inx21【招式演练】★设函数f(x)exaxa(aR)的图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)两点,(1)证明：f'(VXX2)0；(2)求证：x1x2x1x2.(2)证明：由e"a(x11),易知x2x1e改a(x21)e,从而ex1为X1人』，令x〔1,x2x21lnln由于x1x2X21,下面只要证明:-,(0结合对数函数ylnx的图像可知，只需证：(,ln1),(,ln1,―)两点连线的斜率要比(,ln),(,ln)两点连线的斜率小即可,又因为..1lnln,lnlnk1,即证：2ln0(01)，令g(2ln0,(01),则1~2)在(0,1)上单调递减，g()g(1)0,•••原不等式x1x2x1x2成立.★设函数f(x)alnx成2,其图像在点P(2,f(2))处切线的斜率为3.当a2时，令g(x)f(x)【解析】•••ax01x1x212ax1x2，又依题意f(x)1(a-)x20,得f(x)在定义域上单调递增，所以要证ax°1,只需证f(x2)f(x〔)f(a小kx，设不乂(不x2)是方程g(x)0的两个根,x°是x1,x2的等差中项，求证：g(x°)0(g(x)为函数g(x)的导函数).21★设函数f(x)ax—2alnax(a0)，函数f(x)为f(x)的导函数，且A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是xf(x)的图像上不同的两点，满足f(x〔)f(x2)0,线段AB中点的横坐标为x°,证明：ax°1.出2即f(—x2)f(x2)0a111不妨设x〔x2,注意到f(—)0,由函数单调性知，有x1—,x2-,aaa构造函数F(x)f(2x)f(x)，则F(x)f(x)f(2x)；(ax1)2,aax(2ax)、“1.—1.1式成立，故当x—时，F(x)0,即F(x)单调递减，当x一时，F(x)F(—)0,从而不等式原不等式成立.1..★已知函数f(x)alnx(aR).x若a2,求函数f(x)在(1,e2)上的零点个数；41右f(x)有两岑点x1,x2(x1x2)，求证：2x1x23e1.【点评】1.方程的变形方向：①x1,x2是函数f(x)的两个零点，1是该函数的极值点.②x1,x2是函数h(x)的两个零点，ea1是该函数的极值点.2.难点x1x23ea11的证明依赖利用x1x22放缩.★已知函数.(I)讨论口£的单调性；(口)设，证明：当时，；(山)设如％是的两个零点，证明J「岗_.M，知f(—j—)>0【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】(I)在上单调递减，在上单调递增；(n)当时，r(a+X)•、；(山)证明过程见解析(n)令，则求导数，得，当时，，在上是减函数.而，，故当时，(m)由(I)可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，贝U,,由(n)得，从而，于是，由(I)知，.点晴：本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在(I)中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间.(□)通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可.(m)要充分利用(i)(口)问的结论.★已知函数fx4lnx12-mx(m0).2x的单调递增区间;(n)若函数gxxm4x，对于曲线上的两个不同的点Mx-i,gx-i,Nx2,gx2,记直线MN的斜率为证明：x1x22x0.0,2(2)见解析由题设得gxogx〔gx24lnx1lnx2xx2x〔x2xix2x〔x22x〔x2lnx1lnx2--gxoxix2x〔x2x2Xlnx2lnx12x2x1x2x〔X2x2xi不妨设lnx2x1垒x〔x1x2，竺则tx〔ln羹竺1为x〔lntt1(tt11).lnt(t1),21—0，所以h1,上单调递增，所以hth10,2X21TOC\o"1-5"\h\z故In生一^10.[Xi空1xi又因为X2Xi0,因此gX0g匚0,即gJgX022-,4又由gx-mX4m知gx在0,上单倜递减，X所以Xi一全X0,即X1X22X0.212★已知函数fX1n(x1),g(x)—xxa1』,x1x1x.2（I）求过点1,0且与曲线yfx相切的直线方程;（n）设hxafxgx,其中a为非零实数，yhX有两个极值点x1,x2，且X1x2,求a的取值范围；（川）在（口）的条件下，求证：2hx2X10.【答案】（1）xey10（2）见解析［解得X0.In冷1切线的斜率为1,e(n)hxafxX01••切线方程为xey10_..12gxalnx1x2当a10时，即a1时，hX上单调递增;当0a1时，由hx。得，X141a,x241，故hx在1,41a上单调递增,在＞/1a^/1―a上单调递减，在^/1a,上单调递增;当a0时，由hx。得，x0^1~a,hx在J1―,―a上单调递减，在J1—a,单调递增.当0a1时，hx有两个极值点，即X1,x2，即a的范围是（0,1）点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略⑴构造差函数hxfxgx.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为元函数.★已知函数fX(1)证明：当x1时，x2x10；fx(2)若函数g2xax有两个零点x2(x1x2,a0)，证明：x〔2x2.g1a.详见解析(2)详见解析试题解析:(1)欲证2x1lnx0,QKxxx20,1Kx在1,上递增，KxK10x21(2)1,2xlnxx1令sx1x2lnx，易知sx在0,递减，s10x1,sx0,hx,x1,sx0,x1,hx0,x0,hx[KS5UKS5U][KS5UKS5U]0,hx,hxh1,要合题意，如图，0a1,1a0,右大于左，原题得证★例2.已知函数f(x)lnxax,a为常数，若函数f(x)有两个零点x1,x2，证明:法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数:不妨设x1x2,