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中职数学-三角函数教案三角函数一、任意角1.角的概念的推广⑴“旋转”形成角BαAO⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。210066000-150特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。2.“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，...

三角函数一、任意角1.角的概念的推广⑴“旋转”形成角BαAO⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。210066000-150特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或可以简记成。2.“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3.终边相同的角所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。S|k360,kZ二、弧度制1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0l（2）角的弧度数的绝对值公式：（l为弧长，r为半径）r2.角度制与弧度制的换算：∵360＝2rad∴180＝rad∴1＝rad0.01745rad1801801rad57.305718'3.两个公式1）弧长公式：lrlnr由公式：lr比公式l简单r180弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积12）扇形面积公式SlR其中l是扇形弧长，R是圆的半径24.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°11π弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/42π/65.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角正实数零角零负角负实数任意角的集合实数集R三、任意角三角函数的定义1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）则P与原点的距离rx2y2x2y20(x,y)ryy（1）把比值叫做的正弦记作：sinrrxx（2）把比值叫做的余弦记作：cosrryy（3）把比值叫做的正切记作：tanxx上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即k(kZ)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan无意义；2它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。三角函数值的定义域：ysinRrxcosRrytan|k,kZx22.三角函数的符号sin为正全正tancos为正为正3.终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°＝sin30°cos390°＝cos30°sin（－330°）＝sin30°cos（－330°）＝cos30°诱导公式一（其中kZ）:用弧度制可写成sin(k360)sinsin(2k)sincos(k360)coscos(2k)costan(k360)tantan(2k)tan这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。4.三角函数的集合表示：yyyTsinyMP1Pr1xxcosxOMAr1－1OM1xyMPATtanATxOMOA－1例1.在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'例2.写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）例3.用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为{|k360<0且A1，ω>0）的图象（一）函数图象的三种变换1.振幅变换y=Asinx，xR（A>0且A1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A倍而得到。A称为振幅（物体振动时离开平衡位置的最大距离）。2.周期变换:函数y=sinωx，xR（ω>0且ω1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的1横坐标变到原来的倍（纵坐标不变）。ω决定了函数的周期。3.相位变换:函数y＝sin（x＋），x∈R（其中≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动｜｜个单位长度而得到。1317例1.比较tan与tan的大小45例2.求函数ytan3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3巩固练习1.判断正误①y＝Asinωx的最大值是A，最小值是－A2②y＝Asinωx的周期是③y＝-3sin4x的振幅是3，最大值为3，最小值是-32.函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为（）622A.B.C.D.a|a||a|a3.已知函数y＝Asin（ωx＋）（A＞0，ω＞0，0＜＜2π＝图象的一个最高点是（2，3），由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式。4.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B。（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。八、两角和与差的余弦设向量aOP(cos，sin)1bOP(cos，sin)2所以ab|a||b|cos()cos()又abcoscossinsin所以cos()coscossinsin以代得：cos()coscossinsin两角和与差的余弦公式:cos()coscossinsincos()coscossinsin九、两角和与差的正弦sin(+)＝cos[(+)]＝cos[()]22＝cos()cos+sin()sin22＝sincos+cossin即：sin()sincoscossinS（+）以代得：sin()sincoscossinS（）两角和与差的正弦公式sin()sincoscossinsin()sincoscossin十、两角和与差的正切tan(+)公式的推导∵cos(+)0sin()sincoscossintan(+)＝cos()coscossinsin当coscos0时,分子分母同时除以coscos得：tantantan()1tantantantan以代得：tan()1tantan其中R,R,,,都不等于k,kZ2两角和与差的正切公式tantantantantan()tan()1tantan1tantan小结：两角和与差的正、余弦、正切公式cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintantantantantan()tan()1tantan1tantan33例1.计算①cos105②cos15③coscossinsin51051022tan例2.已知sin(+)＝,sin()＝求的值35tan巩固练习51.已知，求函数ycos(x)cos(x)的值域x0,212122cos10sin202.求的值cos20十一、二倍角公式的推导在公式(S)，(C)，(T)中，当时，得到相应的一组公式：sin22sincos；(S)2cos2cos2sin2；(C)22tantan2；(T)1tan22因为sin2cos21，所以公式(C)可以变形为2cos22cos21或cos212sin2(C)2公式(S)，(C)，(C)，(T)统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。2222二倍角公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin22tantan21tan2注意：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。（2）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。（4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：1cos21cos2cos2,sin2这两个形式今后常用。22几个三角恒等式1、积化和差公式的推导1sin(+)+sin()＝2sincossincos＝[sin(+)+sin()]21sin(+)sin()＝2cossincossin＝[sin(+)sin()]21cos(+)+cos()＝2coscoscoscos＝[cos(+)+cos()]21cos(+)cos()＝2sinsinsinsin＝[cos(+)cos()]22、和差化积公式的推导若令+＝，＝φ，则，代入得：2211sincos[sin()sin()](sinsin)22222222∴sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin225例1.已知sin,(,)，求sin2，cos2，tan2的值。132例2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。1111例3.若270°＜α＜360°，则cos2等于（Ｄ）2222A.sinB.cosC.－sinD.－cos2222巩固练习1、不查表，求下列各式的值5555（1）(sincos)(sincos)12121212（2）cos4sin42211（3）1tan1tan（4）12cos2cos22、求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°3、化简：cos20cos40cos804、化简下列各式：（可直接写答案）（1）4sincos44tan40（2）1tan240（3）2sin2157.51＝5（4）sinsin1212课后作业一、选择题1、sin1050的值为（）6262A、23B、23C、D、442、若tanx0,cosx0，则2x在（）A、第一、二象限B、第三、四象限C、第二、三象限D、第二、四象限3、在ABC中，已知a6,b32,A300则B为（）A．450B、600C、600或1200D450或13505104、已知,为锐角，sinsin则为（）510A、450B、1350C、2250D、450或13505、已知a8,b6且C300则S为（）ABCA、48B、24C、163D、2436、在ABC中，acosBbcosA0则这个三角形为（）A、直角三角形B、锐角三角形C等腰三角形D等边三角形、7、下列与sin(x450)相等的是（）A、sin(450x)B、sin(x1350)C、cos(1350x)D、sin(1350x)8、在ABC中，若a2b2c2则ABC一定为（）A．直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定10、若cosxsinx2sin(x)，则tan为（）22A、1B、－１C、D、22二、填空题11、sin150sin750=412、在△ABC中，已知cosA，则sin2A513、在ABC中，已知a2,b3,c7则ABC的面积为14在ABC中，已知a3,b5,c7，则三角形的最大角为度15、在△ABC中，已知a2b2c2ab0，那么C=。116、已知sin(x)，x，则sin(x)43424xcos17、已知则xy的最大值为ysin18、在ABC中，已知sinBcosB2，则那么内角B=19、已知直线l:y2x2，则直线l绕着它与x轴的交点旋转450后的直线的斜率为220、计算cos3sin2cos()=3三、解下列各题21计算cossin12123422、已知，sin，求：tan()的值254123、在△ABC中，已知A=，AC=1，△ABC的面积为，求BC边的长424524、若sin,cos()（,为第一象限角）求cos的值51325．若角的终边经过点P（-3，4），求sin()和sin2+cos2的值．3sinA526、在△ABC中，已知：，B600，△ABC的面积为103，求AC的长sinC227．在ABC中，角A、C、B成等差数列，b5，a4，求：（6分）(1)c的长；(2)ABC的面积.

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