数学数列与不等式的综合问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
突破策略题1】等比数列(an｝的公比q>1,第17项的平方等于第24项，求使ai+a2+•••+&>1111,一+—+一十……+—怛成立的正整数n的范围.a〔a2a3a”题2】设数列(an｝的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n€N*⑴设bn=Sn-3n,求数列(bn｝的通项
公式
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；(2)若an+1>an,n€N*,求a的取值范围题3】数列(an｝是等差数列，其前n项和为Sn,a3=7,S4=24.1⑴求数列(an｝的通项公式；⑵设p、q都是正整数，且p^q,证明：Sp+q<-(S2p+&q).题4】已知数列(an｝中，a1=3,an+=2an—1(n芝1)设bn=an—1(n=1,2,3川)，求证：数列(bn｝是等比数列；求数列(an｝的通项公式、“2n1设G=,求证：数列(cn｝的刖n项和Sn〈一.anan13题5】已知数列la」满足⑴求数列(an｝的通项公式；(2)若数列(bn｝的前n项和Sn=n2,Tn=aQ+a2b2+a3b3+川+anbn,求证：Tn<3.题6】已知a为锐角，且tan"=J2—1,函数f(x)=x2tan2a+xsin(2a+兰)，数列｛an｝的首项41s\a1=2,an1=f(an).⑴求函数f(X)的
表
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达式；⑵求证:an*Aan；111*、⑶求证:1<—十—十…+—<2(n〉2,nuN)题7】已知数列妇』满足涌=1合噌=2an+1(n亡N*)求数列妇』的通项公式；若数列板｝满足-z-x-i…4卜=血+1)bn,证明：｛aj是等差数列；11..12证明：一+—+HI+〈一(n^N)a2a3an13题8】数列稣｝满足a1=-,an=^=1(n芝2,n正N).4.!.._1an」-题10】等比数列｛an｝的首项为a1=2002,公比q=一〈.⑴设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；⑵当n取何值时，f(n)有最大值.(1)求数列也」的通项公式an；、—1■_-(2)设bn=—^,求数列｛bn｝的前n项和Sn；an(3)设cn=ansin~—,数列'cn)的前n项和为Tn.24求证:对任启、的n在N,Tn<,.一一_.，、……『■-、..一・___*__...鼬9】已知数列｛an｝的刖n项和为Sn,且对于任怠的n^N，恒有Sn=2an—n,设bn=1092孔+1).(1)求证：数列｛an+1｝是等比数列；(2)求数列的通项公式an和bn；…4G+C2+川+&•2bn(3)若Cn=,证明:anan1题11】已知｛an｝的前n项和为Sn,且an+Sn=4.求证：数列｛an｝是等比数列；Sk+1—2是否存在正整数k,使>2成立.Sk-2题12】已知数列｛an｝¥n｛bn｝满足：a〔=入an+1=an+n—4,bn=(—1)n(an—3n+21),其3中入为实数，n为正整数.(1)对任意实数入，证明数列｛an｝不是等比数列；(2)试判断数列｛bn｝是否为等比数列，并证明你的结论；设0vavb,Sn为数列｛bn｝的前n项和.是否存在实数入，使得对任意正整数n,都有avSnvb常存在，求入的取值范围；若不存在，说明理由.题13】设数列也」农｝满足a〔=加=6,a?=b2=4,a3=b3=3,且数列Gn*-anXn亡n+尾等差数列，数列板-2*仆N+)是等比数列.求数列和板｝的通项公式；……一一+一如1、是否存在k*N，使ak-bk*0,—I,右存在，求出k,右不存在，说明理由.<2；数列与不等式综合解答与评析类型1:求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D,则当x€D时，有f(x)新恒成立uf(x)min>M；f(x)枸恒成立仁f(x)max
aL-q,把a2=qT8代入上式并整理，得qT8(qn_1)>q(1-q-11_1q1qn>q19,-q>1,..n>19,故所求正整数n的取值范围是n>20.些评】本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用题2】第（1）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（口）小题将条件an+i>an转化为关于n与a的关系，再利用a2时，an=Sn—Sn-1=3n+(a—3)23^—(a-3)2"=2xn」+(a一3)2n%3an+1—an=4X广+(a—3)2此=2胞•[1g)n・什a-3],当na2时，an+1^an,即2n*-[12)n,(+a—3]a0,22n,什a—3a0,•'a>-9,综上，所求的a的取值范围是［—9,+8）些评】一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.类型2:数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；⑵
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的题3】根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第（1）小题；第（2）小题利用差值比较法就可顺利解决解】（1）设等差数列｛an｝的公差是d,依题意得，』a〔+2d=74a1+6d=24'解得a〔=3d=2'.•数列｛an｝的通项公式为an=a〔+(n-1)d=2n+1.n(aa)„(2)证明:■•'an=2n+1,.•.Sn==n2+2n.22Sp+q—(S2p+S2q)=2[(p+q)2+2(p+q)]—(4p2+4p)—(4q2+4q)=—2(p—q)2,•••2Sp+q-(S2p+S2q)V0,•.•Sp+qV<(S2p+S2q).【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化_a1—题4】(1)由an+=2an—1得到为中―1=2(an—1),即一^—=2……2分an-1句二%-1,妃「二%]-1故蛭=2】数列也｝是等比数列……4分(2)由(1)知〔妇是^=3-1=2,「2的等比数列；TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK"bookmark88"\o"CurrentDocument"故=^^=22*-1=2"=«#-1.：勺=2s+1,……7分HYPERLINK"bookmark91"\o"CurrentDocument"⑴e—23_/(2fl)-(歹+1)二11m"一"帝-(2*+1)(2^+1)一(2"+1)(2"+1+1)-2"+12"-l+1HYPERLINK"bookmark97"\o"CurrentDocument"„,1111、，11、111=(+)+C—_—T)H+I,十)=——<—a2】+123+123+12^4-12J12"+1+132山+13些评】关于数列求和与不等式相结合的问题，常结合裂项相消或错位相减法放缩求和n111题5】（1）为“伐=214：，二E=」,anan111na”424TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK"bookmark106"\o"CurrentDocument"…1111又,a=匚，aa2=匚；a^HYPERLINK"bookmark109"\o"CurrentDocument"2244「，1I”n二｛an｝是公比为一的等比数列，an=,-2n12J(2)bn=2n—1,Tn2Tn2Tn352n-32n-1.宗成.川一,35-十—+>+十23242n222=2芬己川川22212n2nD,空+2^111川②，①一②得:2n-132tan:题6】⑴tan2=21-tan2(.2-1)1-(.2-1)22n3=1ji•-2-S=—4,sin(2：f(x)⑵an1=a2an•a〔an都大于0..a20•'•an-1anan12an1an1a1-a2..an1an(1an)an1ananan11a21an1_——十a2a2a31+——anan-1二42-a31an1a3an-1.an.-.1:::1a〔1a2an1::2+■-+一:——<1an题7】(1)-an+=2an+1，二an**1=2(an+1)分故数列｛an+1｝是首项为2,公比为2的等比数列。分二an+1=2n,an=2n-1(2)L4加14烷4bn」=(a+1)bn,4(b1也中.呐5=2nbn2(b1+b2十…+bn)-2n=nbn①2(bi+b2+…+bn+bn.)—2(n+1)=(n+1)b"②②一①得2bn41—2=(n+1)bn*-nbn,即nbn_2=(n—1)bn*③二(n+1)bz—2=nbH(l④一③得2nbn+=nbn+nbn」,即2bn.1=bn-bnJ所以数列｛bn｝是等差数列一cn1』'■_nH-an2-12-22a~、几111设S=—十一十…+——，则Sa2a3an11111111一._(_2a2a3)=ana22(S-)an1分111<一a214分13a2an13an1一一1n题8】(1)•—=(―1)anan_11n—(T)=(一2)[anL+(-1广],an411n又、一+(—1)=3,.•.数列』一+(-1j1＞是首项为3,公比为—2的等比数列.an1(-1)n=3(-2广(-1广即an=(1)an32n41(2)bn=(3,2nf)2=94nJ62nJ1Sn=91^4X61^Xn=34n+62n+n-9.1-41-2(2nT)二(3)'「sin)-=(-广(-俨1=—;=—;.3(_2)7—(—1)n32nd1当n占3时，则Tn土上+…+…32nJ1二人—*却1一(扩]TOC\o"1-5"\h\z4732232332281--2111,1、n2,11147484[1—(_)]286228684847分144-T11,Tf(11)|>|f(10)|>・>|f(1)|，当n>11时，f(n+"=2002<1,.-.|f(11)|>|f(12)|>|f(13)|>•••,|f(n)|2n•f(11)v0,f(10)v0,f(9)>0,f(12)>0,•.•f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者.f(12)f(9)200212(j661—=20023以20029顷.••当n=12时，f(n)有最大值为f(12)=200212j66.些评】本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与f(9)的大小.整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况类型4:求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.题11】第(1)小题通过代数变换确定数列an+1与an的关系，结合定义判断数列｛an｝为等比数列；而第(2)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.解】(I)由题怠,Sn+an=4,Sn+1+an+1=4,1由两式相减,碍(Sn+1+an+1)—(Sn+an)=0,即2an+1—an=0,an+1=?&n,1又2a〔=S〔+a〔=4,•'a1=2,数列｛an｝是以首项a〔=2,公比为q=：的等比数列12[1亏尸](n)由(I),得Sn==4—22^.11―一2又由>2,得—>2,整理，得一v21-k<1,即1<2kT<-,Sk-24-22虫一2323•.k£N*,.-.2^^€N*,这与2kT£(1,/相矛盾，故不存在这样的k,使不等式成立些评】本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件k€N*”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱题12】第(1)小题利用反证法证明；第(2)小题利用等比数列的定义证明；第(3)小题属于存在型问题，解答时就假设avSnVb成立，由此看是否能推导出存在存在实数入.解】(1)证明：假设存在一个实数入，使｛an｝是等比数列，则有a22=a〔a3,即(2入—3)2=X4入—4)U；来-4入+9=4入2—4右9=0,矛盾，所以｛an｝不是等比数列.(2)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+i-3(n+1)+21]=(-1)n+1(-an—2n+14)=—2(an—3n-21)=—2bn,333又b1=—(入+18),所以当入=—18时，bn=0(neN*),此时(bn｝^是等比数列；当入乒一18时，b〔=一(入+18)丰曲上可知bn^0,.如1=—2(n£N*).bn3故当入乒一18时，数列｛bn｝是以一(入+18)为首项，一-为公比的等比数列.3⑶由(2)知，当『一18,bn=0(nCN*),Sn=0,不满足题目要求；.入乒—18,故知bn=—(入+18)x§户*,于是Sn=—~(入+18),(U了n]要使avSnVb对任意正整数n成立，即av——3(入+18)-(U《)n]vb,(n€N*).TOC\o"1-5"\h\z53a3b得v一一(计18)v,(n£N*)①1-(-^)^51—(冬33令f(n)=1—(—-)n则当n为正奇数时，1vf(n)当n为正偶数时一3a).当avbv3a时，由—b—18A—3a—18,不存在实数满足题目要求；当b>3a存在实数入，使得对任意正整数n,都有avSnvb,且入的取值范围是(一b-18,—3a—18).股评】存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾,则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设一一推证一一定论.本题解答注意对参数入及项数n的双重讨论.题13】(1)由已知a2—a1=-2,a3-a2=—1二公差d=-1一(一2)=1.ani-an=(a2-a〔)(n-1)1=n-3an=a〔(a?-a〔)g-a〔)•(anf」)=6(-2)(-1)0」n-4)(_2)(n-4)(n-1)n2-7n18=6十=2TOC\o"1-5"\h\z由已知灯—2=4,b2-2=25分1所以公比Q=1q26分bn=28-2.•.如-2=(也-2(2)=4〈2j2k(2)设f(k)=ak—bki127iI1=I—k2_—k+9|2+8勺_24947TOC\o"1-5"\h\z所以当k芝4时，f(k)是增函数.1盼「•1十，,C…1-义:f(4)=一，所以当kN2时f(k)N—,怯HYPERLINK"bookmark85"\o"CurrentDocument"22又f(1)=f(2)=f(3)=0,1盼所以不存在k,使f(k)w14
浙公网安备 33021202002483