2019-2020年高三数学第一轮复习《三角函数的图像与性质》讲义

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。PAGE/NUMPAGES真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。2019-2020年高三数学第一轮复习《三角函数的图像与性质》讲义基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))　(π，0)　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，－1))　(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)___；对称中心：_(kπ，0)(k∈Z)___对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋eq\f(π,2)，0)(k∈Z)__对称中心：_eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)__周期2π_　2π　π单调性单调增区间_[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)___；单调减区间[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)__单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______单调增区间_(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)).热身练习:1．函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈R(　　)．A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定义域为(　　)．A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)))，k∈Z))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ－\f(π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))3．函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象的对称轴方程可能是()A．x＝－eq\f(π,6)B．x＝－eq\f(π,12)C．x＝eq\f(π,6)D．x＝eq\f(π,12)【解析】令2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，则x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)∴当k＝0时，x＝eq\f(π,12)，选D.4．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象的一个对称中心是(　　)．A．(－π，0)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))解析　∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，由k＝－1，x＝－eq\f(3,4)π得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0)). 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　B5．下列区间是函数y＝2|cosx|的单调递减区间的是(　　)A.(0，π)　　　　　B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))　C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(eq\f(π,6))|对任意x∈R恒成立，且f(eq\f(π,2))>f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)B．[kπ，kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)C．[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)D．[kπ－eq\f(π,2)，kπ](k∈Z)【解析】当x∈R时，f(x)≤|f(eq\f(π,6))|恒成立，∴f(eq\f(π,6))＝sin(eq\f(π,3)＋φ)＝±1可得φ＝2kπ＋eq\f(π,6)或φ＝2kπ－eq\f(5π,6)，k∈Z∵f(eq\f(π,2))＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ∴sinφ<0∴φ＝2kπ－eq\f(5π,6)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(5π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ得x∈[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)，选C.7.函数f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))x∈R的最小正周期为___4π_____．8..y＝2－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值为___5_____，此时x＝_____eq\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z_________.9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实数－1≤a≤0.10．函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在区间[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上的最大值是.【解析】∵f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，又eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6).∴当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)即x＝eq\f(π,3)时，f(x)取最大值eq\f(3,2).题型一　与三角函数有关的函数定义域问题例1　求下列函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝eq\r(sinx－cosx).解　(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)>0.∵－1≤cosx≤1，∴00,－tanx－1≥0,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,8)))≠0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(1,2)，,tanx≤－1，,\f(x,2)＋\f(π,8)≠kπ＋\f(π,2).))图①如图①利用单位圆得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)0，,tanx≥0，,x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(00，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝[f(x－eq\f(π,12))]2，求函数g(x)在x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上的最大值，并确定此时x的值．【解析】(1)由图可知A＝2，eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)，则eq\f(2π,ω)＝4×eq\f(π,3)∴ω＝eq\f(3,2).又f(－eq\f(π,6))＝2sin[eq\f(3,2)×(－eq\f(π,6))＋φ]＝2sin(－eq\f(π,4)＋φ)＝0∴sin(φ－eq\f(π,4))＝0∵0<φ<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)<φ－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)∴φ－eq\f(π,4)＝0，即φ＝eq\f(π,4)∴f(x)＝2sin(eq\f(3,2)x＋eq\f(π,4))．(2)由(1)可得f(x－eq\f(π,12))＝2sin[eq\f(3,2)(x－eq\f(π,12))＋eq\f(π,4)]＝2sin(eq\f(3,2)x＋eq\f(π,8))∴g(x)＝[f(x－eq\f(π,12))]2＝4×eq\f(1－cos3x＋\f(π,4),2)＝2－2cos(3x＋eq\f(π,4))∵x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]∴－eq\f(π,4)≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，∴当3x＋eq\f(π,4)＝π，即x＝eq\f(π,4)时，g(x)max＝4.【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝eq\f(最高点－最低点,2)；②K的确定：根据图象的最高点和最低点，即K＝eq\f(最高点＋最低点,2)；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－eq\f(φ,ω)(即令ωx＋φ＝0，x＝－eq\f(φ,ω))确定φ.例4若方程eq\r(3)sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．【解析】∵eq\r(3)sinx＋cosx＝2sin(x＋eq\f(π,6))，x∈[0,2π]，作出y＝2sin(x＋eq\f(π,6))在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a＜2或－2＜a＜1时，直线y＝a与y＝2sin(x＋eq\f(π,6))有两个交点，故a的取值范围为a∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a＜2时，x1＋eq\f(π,6)＋x2＋eq\f(π,6)＝π.∴x1＋x2＝eq\f(2π,3).当－2＜a＜1时，x1＋eq\f(π,6)＋x2＋eq\f(π,6)＝3π，∴x1＋x2＝eq\f(8π,3).【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征．例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq\f(π,2))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为M(eq\f(2π,3)，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,12)个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥eq\r(2)且x∈[0，π]的实数x的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M(eq\f(2π,3)，－2)，得A＝2，由x轴上相邻两个交点间的距离为eq\f(π,2)，得eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，∴ω＝eq\f(2π,π)＝2.又点M(eq\f(2π,3)，－2)在图象上，得2sin(2×eq\f(2π,3)＋φ)＝－2，即sin(eq\f(4π,3)＋φ)＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)，又φ∈(0，eq\f(π,2))，∴φ＝eq\f(π,6).综上可得f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(2)将f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))的图象向右平移eq\f(π,12)个单位，得到f1(x)＝2sin[2(x－eq\f(π,12))＋eq\f(π,6)]，即f1(x)＝2sin2x的图象，然后将f1(x)＝2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤π,gx＝2sin4x≥\r(2)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤π,sin4x≥\f(\r(2),2))).则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤π,2kπ＋\f(π,4)≤4x≤2kπ＋\f(3π,4)k∈Z))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤π,\f(kπ,2)＋\f(π,16)≤x≤\f(kπ,2)＋\f(3π,16)k∈Z)).故eq\f(π,16)≤x≤eq\f(3π,16)或eq\f(9π,16)≤x≤eq\f(11π,16).题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2).(1)若coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq\f(π,3)，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．【解析】(1)由coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0得cos(eq\f(π,4)＋φ)＝0.∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).(2)由已知得eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(2π,3)，ω＝3∴f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．设函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)，则g(x)＝sin[3(x＋m)＋eq\f(π,4)]＝sin(3x＋3m＋eq\f(π,4))g(x)是偶函数当且仅当3m＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)即m＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,12)(k∈Z)∴最小正实数m＝eq\f(π,12).题型五　三角函数的单调性与周期性例2　写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))；(2)y＝|tanx|.解　(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，它的增区间是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的减区间，它的减区间是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的增区间.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(11π,12)，k∈Z.故所给函数的减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z；增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(5π,12)，kπ＋\f(11π,12)))，k∈Z.最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，减区间是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.最小正周期：T＝π.探究提高　(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝eq\f(π,|ω|)，单调区间利用ωx＋φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，解出x的取值范围，即为其单调区间.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.变式训练2(1)求函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4x))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))的周期、单调区间及最大、最小值；(2)已知函数f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值.解:y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4x))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))(1)周期为T=eq\f(π,2)　函数的递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)＋\f(kπ,2)，\f(π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)；函数的递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)＋\f(kπ,2)，\f(7π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)ymax＝2；ymin＝－2(2)f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4))),最大值为2；最小值为－1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2已知向量＝(eq\r(3)sin2x－1，cosx)，＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝，x∈R.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调递增区间．【解析】(1)f(x)＝m·n＝eq\r(3)sin2x－1＋2cos2x＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))∴对称轴方程为：2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，即x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．(2)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,6)∴f(x)的单调递增区间为[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)．【点评】对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)：①若求y＝f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，求出x；若求y＝f(x)的对称中心的横坐标，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x；②若求y＝f(x)的单调增区间，只需令2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)，求出x；若求y＝f(x)的单调减区间，只需令2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3π,2)，求出x.题型七　三角函数的对称性与奇偶性例3　(1)已知f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|≤\f(π,2)))的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________.(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)　(1)eq\f(π,6)　(x)＝2sin，y＝f(x＋φ)＝2sin图象关于x＝0对称，即f(x＋φ)为偶函数．∴eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以当k＝0时，φ＝eq\f(π,6).(2)A3cos＝3cos＝3cos∴eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为eq\f(π,6).故选探究提高　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.变式训练3　(1)已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝eq\f(5π,3)，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是(　　)A.eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(2\r(6),3)由题意得f(0)＝f，∴a＝－eq\f(\r(3),2)－eq\f(a,2).∴a＝－eq\f(\r(3),3),g(x)＝－eq\f(\r(3),3)sinx＋cosx＝eq\f(2\r(3),3)sin，∴g(x)max＝eq\f(2\r(3),3).(2)若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝eq\f(π,4ω)，函数f′(x)的图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，0))，则f(x)的最小正周期是________.　(1)B　(2)π由题设，有＝±eq\r(a2＋b2)，即eq\f(\r(2),2)(a＋b)＝±eq\r(a2＋b2)，由此得到a＝b.又，所以aω＝0，从而taneq\f(ωπ,8)＝1，eq\f(ωπ,8)＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2，于是f(x)＝a(sin2x＋cos2x)＝eq\r(2)asin故f(x)的最小正周期是π.题型八三角函数的值域与最值的求法及应用例3(1)求函数y＝eq\f(2sinxcos2x,1＋sinx)的值域；(2)求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值；(3)若函数f(x)＝－asineq\f(x,2)·cos(π－eq\f(x,2))的最大值为2，试确定常数a的值．【解析】＝2sinx(1－sinx)＝2sinx－2sin2x＝－2(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2).∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤eq\f(1,2).故函数y＝eq\f(2sinxcos2x,1＋sinx)的值域为(－4，eq\f(1,2)]．(2)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)，且|t|≤eq\r(2).∴y＝eq\f(1,2)(t2－1)＋t＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；当t＝eq\r(2)时，ymax＝eq\r(2)＋eq\f(1,2).(3)f(x)＝eq\f(2cos2x,4cosx)＋asineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\f(1,2)cosx＋eq\f(a,2)sinx＝eq\r(\f(1,4)＋\f(a2,4))sin(x＋φ)，(其中tanφ＝eq\f(1,a))由已知得eq\r(\f(1,4)＋\f(a2,4))＝2，解得a＝±eq\r(15).【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法．(1)y＝asinx＋bcosx型，可引用辅角化为y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中tanφ＝eq\f(b,a))．(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型，可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x＋C.(3)y＝asin2x＋bcosx＋c型，可换元转化为二次函数．(4)sinxcosx与sinx±cosx同时存在型，可换元转化．(5)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))型，可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y＝eq\f(asinx＋b,ccosx＋d)型，可用斜率公式来解决．例4已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a为常数)，且eq\f(π,4)是函数y＝f(x)的一个零点．(1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，eq\f(π,2)]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．【解析】(1)由eq\f(π,4)是y＝f(x)的零点得f(eq\f(π,4))＝sineq\f(π,2)＋acos2eq\f(π,4)＝0，求解a＝－2，则f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))－1，故f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由x∈[0，eq\f(π,2)]得2x－eq\f(π,4)∈[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，则－eq\f(\r(2),2)≤sin(2x－eq\f(π,4))≤1，因此－2≤eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))－1≤eq\r(2)－1，故当x＝0时，f(x)取最小值－2，当x＝eq\f(3π,8)时，f(x)取最大值eq\r(2)－1.设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(eq\f(π,2)－x)满足f(－eq\f(π,3))＝f(0)，求函数f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(11π,24)]上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝eq\f(a,2)sin2x－cos2x由f(－eq\f(π,3))＝f(0)得－eq\f(\r(3),2)·eq\f(a,2)＋eq\f(1,2)＝－1，解得a＝2eq\r(3).∴f(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,6))当x∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]时，2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]，f(x)为增函数．当x∈[eq\f(π,3)，eq\f(11π,24)]时，2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]，f(x)为减函数．∴f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(11π,24)]上的最大值为f(eq\f(π,3))＝2又∵f(eq\f(π,4))＝eq\r(3)，f(eq\f(11π,24))＝eq\r(2)∴f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(11π,24)]上的最小值为f(eq\f(11π,24))＝eq\r(2).题型九分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：已知函数f(x)＝－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a和b的值.(2)若a＞0，设g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．点评　①求出2x＋eq\f(π,6)的范围，求出sin(2x＋eq\f(π,6))的值域.②系数a的正、负影响着f(x)的值，因而要分a>0，a<0两类讨论.③根据a>0或a<0求f(x)的最值，列方程组求解.解　(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6))).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴－2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1，g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))－1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1＞1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＞eq\f(1,2)，∴2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，其中当2kπ＋eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.又∵当2kπ＋eq\f(π,2)＜2x＋eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋eq\f(π,6)＜x＜kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项正确的是()A．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】f(x)＝sin2xf(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是递减的，A错；f(x)的最小正周期为π，C错；f(x)的最大值为1，D错；选B.2．若α、β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】α、β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，tanx在此区间上单调递增．当α＜β时，tanα＜tanβ；当tanα＜tanβ时，α＜β.故选C.3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移eq\f(π,6)个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象()A．关于点(eq\f(π,12)，0)对称B．关于直线x＝eq\f(5π,12)对称C．关于点(eq\f(5π,12)，0)对称D．关于直线x＝eq\f(π,12)对称【解析】由已知得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)设平移后的函数为g(x)，则g(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3)＋φ)(|φ|<eq\f(π,2))且为奇函数∴φ＝－eq\f(π,3)，f(x)＝sin(2x－eq\f(π,3))∴图象关于直线x＝eq\f(5π,12)对称，选B.4．已知f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(eq\f(π,4)，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)的x的取值范围是()A．[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]B．[eq\f(3π,4)，eq\f(7π,4)]C．[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]D．[eq\f(3π,4)，eq\f(3π,2)]【解析】设(x，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点(eq\f(π,4)，0)对称的点为(eq\f(π,2)－x，－y)，由题意知该点必在f(x)的图象上．∴－y＝sin(eq\f(π,2)－x)，即g(x)＝－sin(eq\f(π,2)－x)＝－cosx，由已知得sinx≤－cosx⇒sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤0又x∈[0,2π]∴eq\f(3π,4)≤x≤eq\f(7π,4).5．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，若对任意x∈R，都有f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)，则g(eq\f(π,3))＝____.【解析】由f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)，知y＝f(x)关于直线x＝eq\f(π,3)对称，∴sin(ω·eq\f(π,3)＋φ)＝±1.∴g(eq\f(π,3))＝3cos(ω·eq\f(π,3)＋φ)＝3eq\r(1－sin2ω·\f(π,3)＋φ)＝0.6．设函数f(x)＝2sin(eq\f(πx,2)＋eq\f(π,5))，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x2－x1|的最小值为____.【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”，可得f(x1)、f(x2)分别是f(x)的最小值、最大值．∴|x2－x1|的最小值为函数f(x)的半周期，又T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.∴|x2－x1|min＝2.7．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，eq\f(π,2)]时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))∴y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴2x＋eq\f(π,4)∈[eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)]∴sin(2x＋eq\f(π,4))∈[－eq\f(\r(2),2)，1]，∴函数F(x)的值域为[0,1＋eq\r(2)]．8．设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0＜α＜eq\f(π,2)，且g(x)是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)g(x)＝f(x＋α)＝eq\r(2)sin[2(x＋α)＋eq\f(π,4)]＝eq\r(2)sin(2x＋2α＋eq\f(π,4))，g(x)是偶函数，则g(0)＝±eq\r(2)＝eq\r(2)sin(2α＋eq\f(π,4))，∴2α＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.α＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)(k∈Z)，∵0＜α＜eq\f(π,2)，∴α＝eq\f(π,8).三角函数的图象与性质练习二1.函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))图象的对称轴方程可以为(　　)A.x＝eq\f(5π,12)B.x＝eq\f(π,3)C.x＝eq\f(π,6)D.x＝eq\f(π,12)解析　令2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝eq\f(π,12).本题也可用代入验证法来解．答案　D2.y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象的一个对称中心是(　　)A.(－π，0)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))3.函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝eq\f(π,4)对称，则φ的可能取值是(　　)A.eq\f(3π,4)B.－eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,2)二、填空题4.函数y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为____(k∈Z)_________.5.已知函数f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x∈[0，eq\f(π,2)]，则f(x)的取值范围是_______________.4．函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递增，且在这个区间上的最大值是eq\r(3)，那么ω等于________．解析　因为f(x)＝2sinωx(ω＞0)在