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最新同济版大一高数第十章第二节二重积分的计算精品课件

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最新同济版大一高数第十章第二节二重积分的计算精品课件高等数学第十五讲第一页,共45页。第二节一、利用(lìyòng)直角坐标计算二重积分二、利用(lìyòng)极坐标计算二重积分二重积分的计算(jìsuàn)法第十章第二页,共45页。曲顶柱体体积(tǐjī)的计算设曲顶柱体的底为任取平面(píngmiàn)故曲顶柱体体积(tǐjī)为截面积为截柱体的截柱体对应薄片的体积:第三页,共45页。同样(tóngyàng),曲顶柱的底为则其体积(tǐjī)可按如下两次积分计算第四页,共45页。一、利用直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)计算二重积分且在D上连续(liánx...

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高等数学第十五讲第一页,共45页。第二节一、利用(lìyòng)直角坐标计算二重积分二、利用(lìyòng)极坐标计算二重积分二重积分的计算(jìsuàn)法第十章第二页,共45页。曲顶柱体体积(tǐjī)的计算设曲顶柱体的底为任取平面(píngmiàn)故曲顶柱体体积(tǐjī)为截面积为截柱体的截柱体对应薄片的体积:第三页,共45页。同样(tóngyàng),曲顶柱的底为则其体积(tǐjī)可按如下两次积分计算第四页,共45页。一、利用直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)计算二重积分且在D上连续(liánxù)时,由曲顶柱体体积(tǐjī)的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则第五页,共45页。计算(jìsuàn)二重积分的步骤:一、画积分(jīfēn)域D二、选择积分(jīfēn)次序三、定积分限四、计算若D为X–型区域若D为Y–型区域左右夹,从下向上穿上下夹,从左向右穿计算二重积分的基本思想——将其化成两次定积分来计算。定内限——域中一线穿定外限——域边两线夹(是常数)第六页,共45页。 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 :(1)若积分(jīfēn)区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以(kěyǐ)交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成(fēnchénɡ)若干X-型域或Y-型域,则第七页,共45页。例1.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)D是直线y=1,x=2,及y=x所围的闭区域(qūyù).解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则第八页,共45页。例2.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)D是直线所围成的闭区域(qūyù).解:第九页,共45页。例3.计算(jìsuàn)解:第十页,共45页。例4.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)D是抛物线所围成的闭区域(qūyù).解:求交点及直线则为计算简便,先对x后对y积分,第十一页,共45页。注:本 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (běntí)计算中若先对后对积分(jīfēn):由于(yóuyú)的原函数不能用初等函数来 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示,则本题只能采用先对后对积分。例5计算其中D是由直线所围成。第十二页,共45页。例6计算(jìsuàn)其中(qízhōng)D是由直线所围成。解:画域第十三页,共45页。例7计算(jìsuàn)解:由被积函数(hánshù)可知,因此(yīncǐ)取D为X–型域:先对x积分不行,第十四页,共45页。交换二次积分的积分次序(cìxù)的步骤:1、根据(gēnjù)已给的二次积分的积分限用不等式表示区域(qūyù)D,并画出D的图形。2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示,以确定改变积分次序后的积分限。把所给的二次积分化成另一种二次积分。第十五页,共45页。例8.交换下列积分(jīfēn)顺序解:积分域由两部分(bùfen)组成:视为Y–型区域(qūyù),则第十六页,共45页。例9计算(jìsuàn)解:先画D域由:将D域分为(fēnwéi)D1和D2第十七页,共45页。例10求两个(liǎnɡɡè)底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱(yuánzhù)方程为利用对称性,考虑(kǎolǜ)第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第十八页,共45页。二、利用(lìyòng)极坐标计算二重积分换元积分法是计算定积分的一种常用(chánɡyònɡ)的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,在计算(jìsuàn)重积分中有类似的换元法。一种换元法就是本节所介绍的极坐标。将二重积分的从直角坐标换为积分变量第十九页,共45页。解:先求曲线(qūxiàn)的交点引例(yǐnlì):计算第二十页,共45页。极坐标:若将直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系中的原点取为极点,轴的正半轴取为极轴。设直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系中点的坐标(zuòbiāo)极坐标系中点的坐标称为极坐标的极径。称为极坐标的极角。二重积分中被积函数把由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系:第二十一页,共45页。求极坐标下的积分(jīfēn)元素在极坐标系下,用射线(shèxiàn)=常数则除包含(bāohán)边界点的小区域外,及同心圆r=常数,的表示方法。小区域的面积由图可知:分划区域D为第二十二页,共45页。极坐标中二重积分(jīfēn)化为二次积分(jīfēn)的方法类似于直角则特别(tèbié),对坐标系中的方法(fāngfǎ)。设:第二十三页,共45页。思考(sīkǎo):下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围(fànwéi)是什么?(1)(2)第二十四页,共45页。例1:将化成(huàchénɡ)极坐标下的二次积分。第二十五页,共45页。例1:将化成极坐标下的二次积分。第二十六页,共45页。3.例1:将化成极坐标下的二次积分。第二十七页,共45页。4.例1:将化成极坐标下的二次积分。第二十八页,共45页。由极坐标计算(jìsuàn)引例:引例(yǐnlì):计算解:求曲线(qūxiàn)的交点第二十九页,共45页。例2.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)解:在极坐标系下原式的原函数不是初等(chūděng)函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.第三十页,共45页。注:利用例2可得到一个(yīɡè)在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常(fǎncháng)积分公式事实上,当D为R2时,利用(lìyòng)例2的结果,得①故①式成立.第三十一页,共45页。例3.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)D为由圆所围成的及直线(zhíxiàn)解:平面闭区域.第三十二页,共45页。例4.计算(jìsuàn)二重积分其中(qízhōng)D为解:利用(lìyòng)极坐标.第三十三页,共45页。解例5第三十四页,共45页。例6:计算(jìsuàn)解:先画D域(分析(fēnxī)D域在第一象限)第三十五页,共45页。例7.计算(jìsuàn)二重积分其中(qízhōng)D为圆域解:利用(lìyòng)对称性.第三十六页,共45页。解:积分(jīfēn)域是圆域,关于x,y轴对称例8.第三十七页,共45页。其中(qízhōng)D是由曲线所围成的平面(píngmiàn)域.例9.计算(jìsuàn)与解和被积函数的奇偶性利用积分区域的对称性2004考研D第三十八页,共45页。例10.求由曲面(qūmiàn)柱面以及(yǐjí)平面解:该立体向xoy面作投影(tóuyǐng),投影(tóuyǐng)区域D:所围的立体的体积。第三十九页,共45页。例11.求球体(qiútǐ)被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体(lìtǐ)的体积.解:设由对称性可知(kězhī)第四十页,共45页。内容(nèiróng)小结(1)二重积分化为累次积分的方法(fāngfǎ)直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系情形:若积分区域为则若积分区域为则第四十一页,共45页。则极坐标系情形:若积分(jīfēn)区域为第四十二页,共45页。(2)计算(jìsuàn)步骤及注意事项•画出积分(jīfēn)域•选择(xuǎnzé)坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式(两边夹,一线穿)第四十三页,共45页。2.交换积分(jīfēn)顺序提示(tíshì):积分域如图第四十四页,共45页。例9.计算(jìsuàn)其中(qízhōng)D由所围成.解:令(如图所示)显然(xiǎnrán),第四十五页,共45页。
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上传时间:2021-12-02
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