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用插值法求抛物线的解析式

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用插值法求抛物线的解析式用拉格朗日插值法求抛物线的解析式李立波在数学的学习过程中,我们总是在不断总结规律,尽量得出一些形式化的结论•比如我们用配方法已经能够很好地解决一元二次方程根的求解问题,但是我们仍不满足,进而我们又有了公式法这一利器•今天,笔者想就抛物线解析式的求法作一下类似的探究•在初中阶段我们主要利用待定系数法求抛物线(指对称轴与x轴垂直的抛物线,本文中的抛物线均是该类型)的解析式•下面笔者就介绍一种更加直接的方法:拉格朗日插值法•「‘.22引理:若抛物线y虫以bixCi(a^^0)经过抛物线y二ax•bx•c(a=0)上的三点...

用插值法求抛物线的解析式
用拉格朗日插值法求抛物线的解析式李立波在数学的学习过程中,我们总是在不断 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 规律,尽量得出一些形式化的结论•比如我们用配方法已经能够很好地解决一元二次方程根的求解问题,但是我们仍不满足,进而我们又有了公式法这一利器•今天,笔者想就抛物线解析式的求法作一下类似的探究•在初中阶段我们主要利用待定系数法求抛物线(指对称轴与x轴垂直的抛物线,本文中的抛物线均是该类型)的解析式•下面笔者就介绍一种更加直接的方法:拉格朗日插值法•「‘.22引理:若抛物线y虫以bixCi(a^^0)经过抛物线y二ax•bx•c(a=0)上的三点A(x1,y1)>B(X2,y2)、C(X3,y3),则必有ai=a,b|=b,c^=c.证明:tA(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)在抛物线y=ax2bxc(a=0)上二Xi,X2,x互不相等22•••抛物线y=•b|X•c,和抛物线y=axbxc都经过点A2二ax,bx,c=0①a1x12b^q=0……②①一②,得:(a-ajx,2(b-bjx,(c-c,)=0同理:(a—ajx?2(b—b|)X2(c—q)=0,(a-6)乂32(b—bjx3(c—c,)=02二Xi,X2,X3是(a-ajx(b-bjx(c-q)=0的三个根由代数基本定理可知,必有a=0,b「bi=0,c-G=0即a,=a,D=b,c,二c该引理说明如果过三个点有一条抛物线,那么它必定是唯一的一条定理:若一条抛物线经过A(Xi,yj、B(X2,y2)、C(X3,鮎三点,则它的解析式为(X-X2)(X-X3)(Xi—X2)(Xi—X3)(X-Xi)(X-X3)(X2-Xi)(X2—X3)(X—Xi)(X—X2)(X3-Xi)(X3-X2)证明:A(xi,yi)、Bgyz)、C(X3,y3)在同一抛物线上y2一%y3一yXi,X2,X3互不相等并且--X2—x,x3—x,故③式一定存在,下面证明它是一个二次函数在③式中X2的系数为y-十y2十y3(X--X2)(X--X3)(X2-X-)(X2-X3)(X3-X-)(X3-X2)整理,得(Xi-X2)(Xi-X3)(X2-X3)(y2-yi)(X3-Xj-(y3-yi)(x2-x1)..y2—yi__y3—yX2_X1x3_二厲-yi)%-Xi)—a—yj(x2-n)=o故在③式中X2的系数不为0.,其图象是...y=yi(X-X2)(X-X3).y2(X-Xi)(X-X3).y3(X-Xi)(X—X2)是一个二次函数(X1—X2)(X1—X3)(X2—Xi)(X2—X3)(X3—Xi)(X3—X2)一条抛物线•容易验证:当x=为时,y=%;当x=x2时,y=y2;当x=x3时,y=y3•由引理知:过A(xi,yi)>B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的抛物线解析式必为③式•注:③式是我们用拉格朗日插值公式构造的•例:已知一抛物线经过A(0,—i),B(i,o),C(—i,2),求其解析式•解:所求抛物线的解析式为y「I(X~I)(Xi)0X(Xi)2g"(o_i)(o+i)(i-o)(i+i)(_I_0)(_I_I)整理,得:y=2x2-x-i由上可知用插值法求抛物线的解析式比用待定系数法更直接,可操作性更强•(发表于《中学数学杂志》2009年第6期)
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