四点共圆的性质与判定

四点共圆的性质、判定及应用（一）柳州市龙城中学谭兵一、四点共圆的概念：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。DABC二、四点共圆的性质：D（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。三、四点共圆的判定方法：判定方法1：四点到某一定点的距离都相等四点共圆．判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上四点共圆．判定方法3：若凸四边形的对角互补四个顶点共圆判定方法4：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角四个顶点共圆EDABCDABCABCDDCBADABCEDCBA判定方法5：共斜边的两个直角三角形四个顶点共圆，且斜边为直径判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧四个顶点共圆．判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，若PDBPPCAP四个顶点共圆．ABCD判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，PDPCPBPA四个顶点共圆二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 若四边形ABCD内接于圆BDAC=BCAD+CDAB．托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积此四边形必内接于圆。若BDAC=BCAD+CDAB四边形ABCD内接于圆．――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3．已知：如图所示，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB的延长线于E．ABCDE求证：AD·BE＝BC·DC．6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．性质1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．判定*5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求PB判定．ABCD7．已知：梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB·CD．托勒密定理9．在△ABC中，∠A的内角平分线AD交外接圆于D．连结BD,CD．求证：AD·BC＝BD·(AB+AC)．ABCD托勒密*8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝，求AC的长.**10．如图，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E。求证：AC·AE+BD·BE＝AB211．如图，△ABC内接于圆，P为上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。求证：D、E、F三点共线。12．已知：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3，∠ABO＝∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．(1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝60°，则△PMN的形状是______，此时=______；(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；(3)在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值．例1、锐角的三条高、、交于，在、、、、、、七个点中．能组成四点共圆的组数是（　　）A、组B、组C、组D、组例2、如图，、、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。（1）证明：；（2）延长到，延长到，使得，证明：、、、四点共圆.例3、如图，在梯形中，，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．例4、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、，延长、分别交圆于、，求证：.例5、如图，，分别是，边上的点，且不与顶点重合，已知，，，为方程的两根.（1）证明：，，，四点共圆；（2）若，，，求，，，四点所在圆的半径．例6、如图，为圆的直径，为垂直于的一条弦，垂足为，弦与交于点．（1）证明：、、、四点共圆；（2）证明：．例7、如图，在平行四边形中，为钝角，且，．（1）求证：、、、四点共圆；（2）设线段与（1）中的圆交于、．求证：．例8、如图所示，为的内心，求证：的外心与、、四点共圆.例9、、、三点共线，点在直线外，，，分别为，，的外心．求证：，，，四点共圆.例10、如图，在中，，分别是，的角平分线，是与的交点，若，，，四点共圆，，则的内切圆半径为多少？例11、如图，点是外接圆弧的中点，点、在边上，使得，。证明：、、、四点共圆.例12、如图，，，，．（1）求证：、、、四点共圆；（2）若，求线段的长．例13、在的边，，上分别取，，．使得，，又点是的外心．（1）证明：，，，四点共圆；（2）证明：在的平分线上．例14、如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、、、四点共圆．（1）证明：是外接圆的直径；（2）若，求过、、、的圆的面积与外接圆面积的比值．例15、如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，点为内切圆与边的切点．（1）求证：，，，四点共圆；（2）若，求的度数．例16、如图，在正中，点，分别在边、上，且，，，相交于点，求证：（1），，，四点共圆；（2）．【强化训练】如图，是⊙的直径，弦，的延长线相交于点，垂直的延长线于点．求证：（1）；（2），，，四点共圆．2、如图，已知是⊙的切线，为切点，是⊙的割线，与⊙交于，两点，圆心在的内部，点是的中点．（1）证明，，，四点共圆；（2）求的大小．3、如图，已知为半圆的直径，、分别为半圆的切线，切点分别为、，的延长线交于，的延长线交于．，为垂足．（1）求证：、、、四点共圆；（2）求证：．4、如图，已知中的两条角平分线和相交于，，在上，且．（1）证明：，，，四点共圆；（2）证明：平分．5、如图，已知是⊙的直径，是⊙的切线，割线、分别交⊙于、，连接、．求证：．6、如图，⊙与⊙相交于、两点，圆心在⊙上，⊙的弦切⊙于点，及其延长线交⊙于，两点，过点作，交的延长线于点．（1）求证：、、、四点共圆；（2）若，，求出由四点、、、所确定圆的直径．7、如图所示，已知切圆于，割线交圆于、，于，与的延长线相交于点，连接并延长交圆于点，连接．（1）求证：，，，四点共圆；（2）当，时，求圆的半径．8、如图，是直角三角形，．以为直径的圆交于点点是边的中点，连交圆于点（1）求证：，，，四点共圆；（2）求证：.9、如图所示，在中，，点为三角形外的一点，以为圆心，为半径的圆与边相切，切点为，圆与边相交于点，直径与边交于点，连接．求证：10、如图，在中，是直角，是线段上一点，以为直径的半圆交于，连接交半圆于点，延长交于．（1）求证、、、四点共圆；（2）若，求的值．11、如图所示，是⊙的直径，为延长线上的一点，是⊙的割线，过点作的垂线，交的延长线于点，交AD的延长线于点，过作⊙的切线，切点为．求证：（1），，，四点共圆；（2）．12、如图，已知与⊙相切于点，为⊙的割线，弦，与相交于点，为上一点，且。（1）求证：、、、四点共圆。（2）若，，求的长．13、如图，由⊙外一点引⊙的切线、，过引割线交⊙于、。与交于。求证：.14、如图，、、是的三条高，是垂心，求证：.【典例精讲】例1、在的、、边上各任取一点、、，过、、作圆与过、、作圆相交于另一点，求证：、、、四点共圆。例2、在平行四边形的对角线上任取一点，过作、的公垂线，作、的公垂线，、、、分别为垂足，求证：。例3、如图所示，在中，，任意延长到，再延长到，使，求证：的外心与点、、四点共圆。例4、给出锐角，以为直径的圆与边的高及其延长线交于，．以为直径的圆与边的高及其延长线将于，．求证：，，，四点共圆。（第19届美国数学奥林匹克）例5、如图，从圆外一点作圆两条切线，切点分别为，，与交于点，设为过点且不过圆心的一条弦，求证：，，，四点共圆。例6、内接于圆，引直径，过点引切线交的延长线于，连结交、于、，求证：。【强化训练】1、在中，，平分交于，如图，垂直，垂足为，垂直，为垂足．是中点，是中点．若的外接圆与的另一个交点为，求证：、、、四点共圆．2、如图，⊙是的内切圆，与⊙切于点，与⊙切于点，与交于点，与交于点，点是的中点．（1）求证：、、、四点共圆；（2）若，求证：是等边三角形．3、线段和圆交于、两点，且，由、分别在的两侧引圆的切线、，、为切点，求证：平分4、过的垂心与两顶点、的圆与、分别交于、，求证：。5、为的三条高的垂足三角形，为的外心，求证：。6、在平行四边形内取一点，若，求证：。【典例精讲】例1、三角形的内切圆，切、于、两点，延长和交于，求证：。例2、设为圆的弦的中点，过作弦、，连结、交于点、，求证：。例3、如图，四边形内接于一圆，的内心是，的内心是，的内心是．求证：（1）、、、四点共圆；（2）。例4、如图，为两个同心圆的圆心，自圆外一点引大圆的切线，其切点为，又自引小圆的切线、，求证：平分。例5、设内接于圆，弦分别交、边于点、，且，求证：、、、四点共圆。例6、如图，在圆的直径的延长线上取一点，由引割线，并引的垂线，与、延长线的交点分别为、，求证：、、、四点共圆。例7、设是等腰直角三角形底边的中点，过、两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连结交此圆于点，求证：垂直。例8、（1）如图1，中，，点，分别在线段，上运动（不与端点重合），而且，是的外心，试证明，，，四点共圆．（2）如果将图1中的点“分离”成两个点，那么就有：如图2所示，在凸四边形中，，点，分别在线段，上运动（不与端点重合），而且，直线，相交于点，直线，相交于点，直线，相交于点．当点，分别在线段，上运动（不与端点重合）时，探究的外接圆是否经过除点外的另一个定点？如果是，请给出证明，并指出是哪个定点；如果不是，请说明理由．例9、⊙、⊙、⊙两两外切，是⊙与⊙的切点，、分别是⊙、⊙与⊙的切点，连心线交⊙于点，交⊙于点。求证：、、、四点共圆。【强化训练】1、在梯形中，，，，分别是腰、上的点，，求证：。2、如图，的内切圆分别切、于点、，是的中点，、的平分线分别与直线交于点、，证明：。3、已知是平行四边形，于，中垂线交于点，交于点，中点为。求证：。4、由圆周上任一点引弦的垂线，垂足为，再由点引过、两点的切线的垂线，，垂足分别为、，求证：。5、从圆心作圆外任意直线的垂线，垂足为，从引割线交圆于、两点，过、的两切线与分别交于、两点，求证：。6、如图，在等腰三角形中，为底边上任意一点，过点作两腰的平行线分别与、相交于、两点，又点是点关于直线的对称点，求证：点在三角形的外接圆上。7、如图，，它们之间的距离等于；，它们之间的距离等于；，它们之间的距离等于，求证：、、、、、六点共圆。8、已知是圆内接四边形，，过点作、的垂线，垂足分别为点、，求证：平分。9、如图，在的两边，上分别取点，，使得.求证：.10、如图所示，在梯形中，，，，，且，求的长11、在锐角三角形中，不等于，是高，是上一点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，已知、、、四点共圆，问：是否一定是三角形的垂心？证明你的结论。12、的重心关于边的对称点是，证明：、、、四点共圆的充分条件是13、为圆的直径，在圆上并且垂直，为圆上一点，位于、之间，直线与相交于点，过作直线与垂直，交直线于点，求证：。14、如图，在三角形中，已知垂直，垂直，与相交于点，为边的中点，过点作垂直，垂足为点。求证：。15、如图，是圆内接四边形，是圆的直径，，与的交点为，在的延长线上，连结，在的延长线上，使得，在的延长线上，，证明：、、、四点共圆。16、自圆外一点，向圆心两旁引割线，，劣弧和的中点分别为、，、与弦的交点分别为、，、与弦的交点分别为、，求证：、、、四点共圆。17、为内一点，，，求证：为的垂心。